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文檔簡介

嚴格滿足自相似條件的圖形，我們稱之為數字分形，也叫做有規分形。在地球科學和物理學中存在的分形，它們的自相似是近似的或統計意義上的，我們稱之為統計分形，或無規分形。如果我們將一個自相似圖形縮小倍，原來的圖形包括了a個縮小的圖形，從自相似角度定義的分維D可以由下式得出，1a=-SD數盒子法(Box-Countingmethod)這是一種常用的分形圖形分維的實用方法。取邊長為r的小盒子(可以理解為拓撲維d的小盒子)，把分形覆蓋起來。由于分形內部有各種層次的空洞和縫隙，所以有些盒子是空的，有些小盒子覆蓋了分形的一部分。數數多少小盒子不是空的，所得的非空盒子數記為N(r)。然后縮小盒子的尺寸r，所得N(r)自然要增大。當rT0時，得到數盒子法定義的維數：-lim-limrtOlgN(r)

lgr在實際應用中只能取有限的r。通常做法是求一系列的r和n(r)，然后由雙對數坐標中lgN~lgr的直線的斜率求D0，這里要強調的是，式()必須要求存在標度關系N(r)~r-D如果不存在這種標度關系，就根本不能使用分維的概念。這樣求得的D0叫做容量維。信息維數盒子方法式()的主要缺點是沒有反映幾何對象的不均勻性，含有一個點和許多點的盒子在式()中具有同樣的權重。因此，我們將修改分維的定義，并相應修改數盒子的方法。具體做法是把小盒子編號，如果第i個盒子落入Ni(r)個點，我們就知道分形中的點落入第i個盒子的概率

P(r)二N(r)/N(r)ii這里N(r)是總的點數。然后利用信息量的公式I(r)=-嗆P(r)logP(r)i 2ii=1定義信息維D=-lim1 rTOlog2r不難看出，當各個盒子具有同等權重，即Pi(r)=1/N(r)時，信息量/(r)=log2N(r),這時信息維D1等于容量維D0。 1關聯維若在空間中某一集合由N個點組成,每個點的空間坐標是Xj=(i=1,2,…，N)。凡空間距離小于r的點對，稱為有關聯的點對。數一下有多少對關聯點對，它在一切可能的N2配對中所占的比例稱為關聯積分：-yI)-yI)iiC(r)= °(r-1xN2i豐j式中臺階函數°(r)”0當r太大時，任何兩點都發生關聯，C(r)=l，取對數后為0。如果取得合適，而原始數據客觀地反映出C(r)~rD的標度性質，那么可以定義關聯維D2D=hm也)2 rT0lgr分形大體上可以分成兩類：一類是嚴格滿足自相似條件的分形，如Cantor集合，Koch曲線等，分形的自相似性所要求的整體和局部完全(從形狀、數量等所有的角度來看都是)相似的條件得到嚴格的滿足；另一類是自然界中遇到的大多數圖形，如連綿起伏的山脈輪廓線曲折蜿蜒的江河川流，頻繁演變的海岸線，變幻無常的布朗微粒運動軌跡，以及材料斷裂后展示的奇妙的斷口圖

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