培優訓練三：平面直角坐標系（壓軸題）一、坐標與面積：【例1】如圖，在平面直角坐標中，A(0，1)，B(2，0)，C（2，1.5）．（1）求△ABC的面積；（2）如果在第二象限內有一點P（a，0.5），試用a的式子表示四邊形ABOP的面積；（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【例2】在平面直角坐標系中，已知A（-3，0），B（-2，-2），將線段AB平移至線段CD.（1）如圖1，直接寫出圖中相等的線段，平行的線段；（2）如圖2，若線段AB移動到CD，C、D兩點恰好都在坐標軸上，求C、D的坐標；（3）若點C在y軸的正半軸上，點D在第一象限內，且S△ACD=5，求C、D的坐標；（4）在y軸上是否存在一點P，使線段AB平移至線段PQ時，由A、B、P、Q構成的四邊形是平行四邊形面積為10，若存在，求出P、Q的坐標，若不存在，說明理由；【例3】如圖，△ABC的三個頂點位置分別是A（1，0），B（－2，3），C（－3，0）．（1）求△ABC的面積；（2）若把△ABC向下平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，得到△，請你在圖中畫出△；（3）若點A、C的位置不變，當點P在y軸上什么位置時，使；（4）若點B、C的位置不變，當點Q在x軸上什么位置時，使．【例4】如圖1，在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，2），且滿足，過C作CB⊥x軸于B．（1）求三角形ABC的面積；（2）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，求∠AED的度數；（3）在y軸上是否存在點P，使得三角形ABC和三角形ACP的面積相等，若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．【例5】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD各頂點的坐標分別是A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）（1）在坐標系中，畫出此四邊形；（2）求此四邊形的面積；（3）在坐標軸上，你能否找一個點P，使S△PBC=50，若能，求出P點坐標，若不能，說明理由．【例6】如圖，A點坐標為（－2，0），B點坐標為（0，－3）.(1)作圖，將△ABO沿x軸正方向平移4個單位，得到△DEF，延長ED交y軸于C點，過O點作OG⊥CE，垂足為G；(2)在(1)的條件下，求證:∠COG＝∠EDF；（3）求運動過程中線段AB掃過的圖形的面積．【例7】在平面直角坐標系中，點B（0，4），C（-5，4），點A是x軸負半軸上一點，S四邊形AOBC=24.（1）線段BC的長為，點A的坐標為；（2）如圖1，EA平分∠CAO，DA平分∠CAH，CF⊥AE點F，試給出∠ECF與∠DAH之間滿足的數量關系式，并說明理由；（3）若點P是在直線CB與直線AO之間的一點，連接BP、OP，BN平分，ON平分，BN交ON于N，請依題意畫出圖形，給出與之間滿足的數量關系式，并說明理由.【例8】在平面直角坐標系中，OA＝4，OC＝8，四邊形ABCO是平行四邊形．（1）求點B的坐標及的面積；（2）若點P從點C以2單位長度/秒的速度沿CO方向移動，同時點Q從點O以1單位長度/秒的速度沿OA方向移動，設移動的時間為t秒，△AQB與△BPC的面積分別記為，，是否存在某個時間，使＝，若存在，求出t的值，若不存在，試說明理由；（3）在（2）的條件下，四邊形QBPO的面積是否發生變化，若不變，求出并證明你的結論，若變化，求出變化的范圍．【例9】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（－1，0），（3，0），現同時將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D連結AC，BD．(1)求點C，D的坐標及四邊形ABDC的面積S四邊形ABDC；（2）在y軸上是否存在一點P，連結PA，PB，使S△PAB＝S△PDB，若存在這樣一點，求出點P點坐標，若不存在，試說明理由；（3）若點Q自O點以0.5個單位/s的速度在線段AB上移動，運動到B點就停止，設移動的時間為t秒，（1）是否是否存在一個時刻，使得梯形CDQB的面積是四邊形ABCD面積的三分之一？（4）是否是否存在一個時刻，使得梯形CDQB的面積等于△ACO面積的二分之一？AAyxOCB【例10】在直角坐標系中，△ABC的頂點A（—2，0），B（2，4），C（5，0）．（1）求△ABC的面積（2）點D為y負半軸上一動點，連BD交x軸于E，是否存在點D使得？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．（3）點F（5，n）是第一象限內一點，，連BF，CF，G是x軸上一點，若△ABG的面積等于四邊形ABDC的面積，則點G的坐標為（用含n的式子表示）FFAOCByx二、坐標與幾何：【例1】如圖，已知A(0，a)，B（0，b），C（m，b）且（a－4）2＋|b＋3|＝0，S△ABC＝14.（1）求C點坐標（2）作DE⊥DC，交y軸于E點，EF為∠AED的平分線，且∠DFE＝900.求證：FD平分∠ADO；（3）E在y軸負半軸上運動時，連EC，點P為AC延長線上一點，EM平分∠AEC，且PM⊥EM，PN⊥x軸于N點，PQ平分∠APN，交x軸于Q點，則E在運動過程中，eq\f(∠MPQ,∠ECA)的大小是否發生變化，若不變，求出其值.【例2】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（-5,0），B（5.0），D（2，7），（1）求C點的坐標；（2）動點P從B點出發以每秒1個單位的速度沿BA方向運動，同時動點Q從C點出發也以每秒1位的速度沿y軸正半軸方向運動（當P點運動到A點時，兩點都停止運動）。設從出發起運動了x秒。①請用含x的代數式分別表示P,Q兩點的坐標；②當x=2時，y軸上是否存在一點E，使得△AQE的面積與△APQ的面積相等？若存在，求E的坐標，若不存在，說明理由？【例3】如圖，在平面直角坐標系中，∠ABO=2∠BAO，P為x軸正半軸上一動點，BC平分∠ABP，PC平分∠APF，OD平分∠POE。（1）求∠BAO的度數；（2）求證：∠C=15°+12∠OAP（3）P在運動中，∠C+∠D的值是否變化，若發生變化，說明理由，若不變求其值。【例4】如圖，A為x軸負半軸上一點，C（0,-2），D（-3，-2）。（1）求△BCD的面積；（2）若AC⊥BC，作∠CBA的平分線交CO于P，交CA于Q，判斷∠CPQ與∠CQP的大小關系，并說明你的結論。（3）若∠ADC=∠DAC，點B在x軸正半軸上任意運動，∠ACB的平分線CE交DA的延長線于點E，在B點的運動過程中，EQ\F(∠E,∠ABC)的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，說明理由。【例5】如圖，已知點A（-3,2），B（2,0），點C在x軸上，將△ABC沿x軸折疊，使點A落在點D處。（1）寫出D點的坐標并求AD的長；（2）EF平分∠AED，若∠ACF-∠AEF=15o，求∠EFB的度數。【例6】如圖，在直角坐標系中，已知B（b，0），C（0，a），且|6–2b|QUOTE|b+3|+（2c-8）2=0.BD⊥x軸于B.（1）求B、C的坐標；（2）如圖，AB//CD，Q是CD上一動點，CP平分∠DCB，BQ與CP交于點P，求∠DQB+∠QBC+∠QPC的值。【例7】如圖，A、B兩點同時從原點O出發，點A以每秒m個單位長度沿x軸的負方向運動，點B以每秒n個單位長度沿y軸的正方向運動。（1）若|m+2n-5|+|2m-n|=0，試分別求出1秒鐘后A、B兩點的坐標。（2）如圖，設∠BAO的鄰補角和∠ABO的鄰補角平分線相交于點P，問：點A、B在運動的過程中，∠P的大小是否會發生變化？若不發生變化，請求出其值；若發生變化，請說明理由。（3）如圖，延長BA至E，在∠ABO的內部作射線BF交x軸于點C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分線相交于點G，過點G作BE的垂線，垂足為H，試問∠AGH和∠BGC的大小關系如何？請寫出你的結論并說明理由。【例8】如圖，在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，2），且滿足（a+b）2+|a-b+4|=0，過C作CB⊥x軸于B。（1）求三角形ABC的面積。（2）若過B作BD//AC交y軸于D，且AE、DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖，求∠AED的度數。（3）在y軸上是否存在點P，使得三角形ABC和三角形ACP的面積相等，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。【例9】如圖，在平面直角坐標系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜邊AB與y軸交于點C.(1)若∠A=∠AOC，求證：∠B=∠BOC；(2)延長AB交x軸于點E，過O作OD⊥AB，且∠DOB=∠EOB，∠OAE=∠OEA，求∠A度數；(3)如圖，OF平分∠AOM，∠BCO的平分線交FO的延長線于點P.當△ABO繞O點旋轉時（斜邊AB與y軸正半軸始終相交于點C），在(2)的條件下，試問∠P的度數是否發生改變？若不變，請求其度數；若改變，請說明理由．【例10】如圖，y軸的負半軸平分∠AOB，P為y軸負半軸上的一動點，過點P作x軸的平行線分別交OA、OB于點M、N.（1）如圖1，MN⊥y軸嗎？為什么？（2）如圖2，當點P在y軸的負半軸上運動到AB與y軸的交點處，其他條件都不變時,等式∠APM=（∠OBA－∠A）是否成立？為什么？（3）當點P在y軸的負半軸上運動到圖3處（Q為BA、NM的延長線的交點），其他條件都不變時，試問∠Q、∠OAB、∠OBA之間是否存在某種數量關系？若存在，請寫出其關系式，并加以證明；若不存在，請說明理由.AAOBQMPNyx圖3【例11】在平面直角坐標系中，點，，，且滿足，過點C作軸，D是MN上一動點.（1）求的面積；（2）如圖1，若點的橫坐標為-3，交于，求點的坐標；（3）如圖2，若，是上的點，Q是射線DM上的點，射線QG平分，射線PH平分，，請你補全圖形，并求的值.ABCyxO【例12】如圖，直角坐標系中，C點是第二象限一點，CB⊥y軸于B，且B（0，b）是y軸正半軸上一點，A（a，0）是x軸負半軸上一點，且ABCyxO（1）求C點坐標；ABCyxODEFP（2）設D為線段OB上一動點，當AD⊥AC時，∠ODAABCyxODEFPDABCyxOMN（3）當D點在線段OB上運動時，作DM⊥AD交CB于M，∠BMD，∠DAODABCyxOMNO2-4xyACB【例13】在直角坐標系中，A（-4，0），B（2，0），點C在O2-4xyACB（1）求點C的坐標；O2-4xyACB（2）是否存在位于坐標軸上的點P，S△ACP=S△O2-4xyACB【例14】如圖，（1）DO平分∠EDC，探究∠E，∠C，∠DOC的關系．11DEOC2（2）在直角坐標系中，第一