三角函數總復習教學資料一、考綱要求：1.理解任意角的概念、弧度的意義，能正確進行弧度和角度的互換。2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數的基本關系式，掌握正弦、余弦的誘導公式，理解周期函數與最小正周期的意義。3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4.能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡，求值和恒等式的證明。5.了解正弦函數、余弦函數，正切函數的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數，余弦函數和函數y=Asin(wx+φ)的簡圖，理解A、、φ的物理意義。6.會由已知三角函數值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctgx表示。7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形，能利用計算器解決三角形的計算問題。8.理解反三角函數的概念，能由反三角函數的圖像得出反三角函數的性質，能運用反三角函數的定義、性質解決一些簡單問題。9.能夠熟練地寫出最簡單的三角方程的解集。二、知識結構1.角的概念的推廣：(1)定義：一條射線OA由原來的位置OA，繞著它的端點O按一定方向旋轉到另一位置OB，就形成了角α。其中射線OA叫角α的始邊，射線OB叫角α的終邊，O叫角α的頂點。(2)正角、零角、負角：由始邊的旋轉方向而定。(3)象限角：由角的終邊所在位置確定。第一象限角：2kπ＜α＜2kπ+,k∈Z第二象限角：2kπ+＜α＜2kπ+π,k∈Z第三象限角：2kπ+π＜α＜2kπ+,k∈Z第四象限角：2kπ+＜α＜2kπ+2π,k∈Z(4)終邊相同的角：一般地，所有與α角終邊相同的角，連同α角在內(而且只有這樣的角)，可以表示為k·360°+α，k∈Z。(5)特殊角的集合：終邊在坐標軸上的角的集合｛α｜α＝，k∈Z｝終邊在一、三象限角平分線上角的集合｛α｜α＝kπ+，k∈Z｝終邊在二、四象限角平分線上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝終邊在四個象限角平分線上角的集合｛α｜α＝kπ，k∈Z｝2.弧度制：(1)定義：用“弧度”做單位來度量角的制度，叫做弧度制。(2)角度與弧度的互化：1°＝弧度，1弧度＝()°(3)兩個公式：(R為圓弧半徑，α為圓心角弧度數)。弧長公式：l=｜α｜R扇形面積公式：S=lR=｜α｜R23.周期函數：(1)定義：對于函數y=f(x)，如果存在一個非零常數T，使得x取定義域內的任意值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數y=f(x)叫做周期函數，其中非零常數T叫做這個函數的一個周期，如果T中存在一個最小的正數，則這個最小正數叫做這個函數的最小正周期。(2)幾個常見結論：①如果T是函數y=f(x)的一個周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也是y=f(x)的周期。②如果T是函數y=f(x)的一個周期，那么也是y=f(x)(≠0)的周期。③一個周期函數不一定有最小正周期，如常函數y=f(x)=c。4.三角函數定義：(1)定義：設α是一個任意大小的角，P(x，y)是角α終邊上任意一點，它與原點的距離｜PO｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分別是sinα=,cosα=,tgα=,ctgα=,Secα=,cscα=(如上圖)。(2)六個三角函數值在每個象限的符號：(如下圖)(3)同角三角函數的基本關系式：倒數關系：sinα·cscα=1,cosα·secα=1,tgα·ctgα=1商數關系：tgα=,ctgα=平方關系：sin2α+cos2α=1,1+tg2α=sec2α,1+ctg2α=csc2α(4)誘導公式：α2kπ+α-απ-απ+α2π-α-α+α正弦sinα-sinαsinα-sinα-sinαcosαcosα余弦cosαcosα-cosα-cosαcosαsinα-sinα正切tgα-tgα-tgαtgα-tgαctgα-ctgα余切ctgα-ctgα-ctgαctgα-ctgαtgα-tgα上述公式可以總結為：奇變偶不變，符號看象限。5.已知三角函數值求角6.三角函數的圖象和性質：(1)三角函數線：如下圖，sinα=MP,cosα=OM,tgα=AT,ctgα=BS(2)三角函數的圖像和性質：函數y=sinxy=cosxy=tgxy=ctgx圖像定義域RR｛x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+時ymax=1x=2kπ-時ymin=-1［-1,1］x=2kπ時ymax=1x=2kπ+π時ymin=-1R無最大值無最小值R無最大值無最小值周期性周期為2π周期為2π周期為π周期為π奇偶性奇函數偶函數奇函數奇涵數單調性在［2kπ-,2kπ+］上都是增函數；在［2kπ+,2kπ+π］上都是減函數(k∈Z)在［2kπ-π，2kπ］上都是增函數；在［2kπ，2kπ+π］上都是減函數(k∈Z)在(kπ-，kπ+)內都是增函數(k∈Z)在(kπ，kπ+π)內都是減函數(k∈Z)7.函數y=Asin(wx+φ)的圖像：函數y=Asin(wx+φ)的圖像可以通過下列兩種方式得到：(1)y=sinxy=sin(x+φ)y=sin(wx+φ)y=Asin(wx+φ)(2)y=sinxy=sin(wx)y=sin(wx+φ)y=Asin(wx+φ)8.兩角和與差的三角函數：(1)常用公式：兩角和與差的公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ，tg(α±β)=倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，tg2α=.半角公式：sin=±,cos=±,tg=±.積化和差公式：sinαcosβ=〔sin(α+β)+sin(α-β)〕,cosαsinβ=〔sin(α+β)-sin(α-β)〕cosαcosβ=〔cos(α+β)+cos(α-β)〕,sinαsinβ=-〔cos(α+β)-cos(α-β)〕和差化積公式：sinα+sinβ=2sin,sinα-sinβ=2coscosα+cosβ=2cos,cosα-cosβ=-2sin萬能公式：sinα=，cosα=,tgα=(2)各公式間的內在聯系：(3)應注意的幾個問題：①凡使公式中某個式子沒有意義的角，都不適合公式。②靈活理解各公式間的和差倍半的關系。③在半角公式中，根號前的符號由半角所在像限來決定。④常具的變形公式有：cosα=,sin2α=,cos2α=,tgα+tgβ＝tg(α+β)(1-tgαtgβ).⑤asinα+bcosα=sin(α+φ).(其中φ所在位置由a，b的符號確定，φ的值由tgφ=確定)。9.解斜三角形：在解三角形時，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內角和定理A+B+C=π+＝，2A+2B＝2π-C余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCcosA=cosB=cosC正弦定理為ΔABC的外接圓半徑a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCsinA=,sinB=,sinC=射影定理acosB+bcosA=cacosC+cosA=bbcosC+ccosB=a面積公式①SΔ=aha=bhb=chc②SΔ=absinC=acsinB=bcsinA③SΔ=④SΔ=(P=(a+b+c))⑤SΔ=(a+b+c)r(r為ΔABC內切圓半徑)sinA=sinB=sinC=10.反三角函數：名稱反正弦函數反余弦涵數反正切函數反余切函數定義y=sinx(x∈〔-,〕的反函數，叫做反正弦函數，記作x=arcsinyy=cosx(x∈〔0,π〕)的反函數，叫做反余弦函數，記作x=arccosyy=tgx(x∈(-,)的反函數，叫做反正切函數，記作x=arctgyy=ctgx(x∈(0,π))的反函數，叫做反余切函數，記作x=arcctgy理解arcsinx表示屬于［-,］且正弦值等于x的角arccosx表示屬于［0，π］，且余弦值等于x的角arctgx表示屬于(-，)，且正切值等于x的角arcctgx表示屬于(0，π)且余切值等于x的角圖像性質定義值［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域［-，］［0，π］(-，)(0，π)單調性在〔-1，1〕上是增函數在［-1，1］上是減函數在(-∞，+∞)上是增數在(-∞，+∞)上是減函數奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctg(-x)=-arctgxarcctg(-x)=π-arcctgx周期性都不是同期函數恒等式sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-,］)cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］)arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)tg(arctgx)=x(x∈R)arctg(tgx)=x（x∈(-,)）ctg(arcctgx)=x(x∈R)arcctg(ctgx)=x(x∈(0,π))互余恒等式arcsinx+arccosx=(x∈［-1,1］)arctgx+arcctgx=(X∈R)11.三角方程：(1)最簡單三角方程的解集：方程方程的解集sinx=a｜a｜＞1Φ｜a｜=1｛x｜x=2kπ+arcsina,k∈z｝｜a｜＜1｛x｜x=kπ+(-1)karcsina,k∈z｝cosx=a｜a｜＞1Φ｜a｜=1｛x｜x=2kπ+arccosa,k∈z｝｜a｜＜1｛x｜x=2kπ±arccosa,k∈z｝tgx=a｛x｜x=kπ+arctga,k∈z｝ctgx=a｛x｜x=kπ+arcctga,k∈z｝(2)簡單三角方程：轉化為最簡單三角方程。三、知識點、能力點提示三角函數是中學數學的主要內容之一，也是每年高考的必考內容，其主要內容由以下三部分構成：三角函數的定義，圖像和性質；三角恒等變形；反三角函數。在高考中，第二部分為主要內容，進行重點考查，當然也不放棄前后兩部的考查，對近幾年高考試題進行分析后，可以看出：對三角函數的考查主要有兩種方式：單獨考查三角函數或與其它學科綜合考查，前一部分通常是容易題或中等題，而后一部分有一定難度。下面對常見考點作簡單分析：1.角、三角函數定義的考點：這是對三角基礎知識的直接考查，一般不會單獨成題，更多地是結合其它方面的內容(如：三角恒等變形，三角函數性質等)對多個知識點作綜合考查。2.三角函數圖像的考查：通常有三種方式：由圖像到解析式：由圖像到性質；圖像的應用。3.三角函數性質的考查(1)定義域和值域：(2)周期性：通常結合恒等變形考查如何求三角函數的最小正周期，或考查與周期性相關的問題，如：設f(x)是(-∞，+∞)上的奇函數，f(x+2)=-f(x)，當0≤x≤1時，f(x)=x，則f(7.5)=()(3)單調性：通常以處理最值問題的形式出現，總與恒等變形聯系在一起，一般地二次函數，對數函數等的最值問題相結合。4.三角恒等變形：以化簡、求值、證明等各種題型出現，以題中通常考查和、差、倍、半各公式的運用，大題中通常考查和積互化公式的運用，這是三角函數的重要內容。5.反三角函數：對這部分的考查多屬于容易題或中檔題，重點是反三角函數的定義和性質。6.代數、三角、解幾、立幾，不等式等的綜合考查。進行三角恒等變形是處在三角問題最常用的技能，下面分析幾種常見的解題思路：1.角的變換：觀察各角之間的和、差、倍、半關系，減少角的種類，化異角為同角。2.函數名的變換：觀察、比較題設與結論之間，等號的左右兩邊的函數名差異，化異名為同名。3.常數的變換：常用方式有1=sin2α+cos2α=sec2α-tg2α=tg,=sin等。4.次數的變化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。5.結構變化：對條件，結論的結構施行調整，或重新分組，或移項，或變除為乘，或求差等6.和積互化：這既是一種基本技能，也是一種常見解題思路，且應用比較廣泛。7.綜合運用上述各種方式。例1sin600°的值是()A.B.-C.D.-解：sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-∴應選D.例2已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),則ctgθ的值是_______.解:sinθ+cosθ=(sinθ+cosθ)2=()2sinθ·cosθ=-.∴sinθ和cosθ是方程t2-t-=0,即方程25t2-5t-12=0的兩根.25t2-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的兩根為t1=,t2=-.∵θ∈(0.π)sinθ＞0.∴sinθ=,從而cosθ=-,∴ctgθ=.=-.應填-.例3tg20°+tg40°+tg20°·tg40°的值是.解：∵=tg60°=tg(20°+40°)=,∴tg20°+tg40°=(1-tg20°·tg40°).∴原式=(1-tg20°·tg40°)+tg20°·tg40°=應填.例4求值：cos·cos=.解：cos·cos=(cos+cos)=(-+0)=-.例5關于函數f(x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命題：①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整數倍；②y=f(x)的表達可以改寫為y=4cos(2x-)；③y=f(x)的圖像關于點(-,0)對稱；④y=f(x)的圖像關于直線x=-對稱；其中正確命題的序號是_______.(注：把你認為正確的命題序號都填上)解：分別討論四個命題.①令4sin(2x+)=0,得2x+=kπ(k∈Z),x=(k∈Z),設x1=,x2=,k1≠k2,k1,k2∈Z,則f(x1)=f(x2)=0,但x1-x2=(k1-k2),當k1-k2為奇數時，x1-x2不是π的整數倍∴命題①不正確.②y=f(x)=4sin(2x+)=4cos［-(2x+)］=4cos(-2x+)=4cos(2x-)∵命題②正確③根據2x+0π2πx-y040-40作出y=f(x)=4sin(2x+)的草圖，如圖由圖知，f(x)的圖像關于點(-，0)對稱，∴命題③正確④由圖知，y=f(x)的圖像不關于直線x=-對稱∴命題④不正確應填②、③例6函數y=sin(x-)·cosx的最小值是_______.解：利用積化和差公式(注：今后高考試卷中會印寫公式)，得y=sin(2x-)+sin(-)=sin(2x-)-.∵sin(2x-)∈［-1,1］,∴ymin=-.應填-.例7如圖，函數y=tg(x-π)在一個周期內的圖像是()解：y=tg(-)=tg［(x-)］因為它的周期為＝2π，從而B，D錯；又當x=時，y=0，從而C錯。應選A。例8在直角三角形中，兩銳角為A和B，則sinA·sinB()A.有最大值和最小值0B.有最大值但無最小值C.既無最大值也無最小值D.有最大值1但無最小值解：∵A+B=.∴sinA·sinB=sinA·cosA=sin2A,A∈(0,)2A∈(0,π)∴sinAcosA有最大值但無最小值.應選B.例9求函數y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值解：∵2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=∴y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+2·=sin2x+cos2x+2=(sin2x·cos+cos2x·sin)+2=sin(2x+)+2∴當2x+=+2kπ時,ymax=2+即x=+Kπ(K∈Z)，y的最大值為2+例10已知α是第三象限角，且sinα=-則tg=()A.B.C.-D.-解：∵sinα=,sinα=-,∴-=.化簡得12tg2+25tg+12=0，即(4tg+3)(3tg+4)=0.解出tg=-,tg=-.又已知α是第三象限角，即α∈(π+2kπ，+2kπ)，∴∈(+kπ，+kπ)，∴tg∈(-∞，-1)，∴tg=-(舍去tg=-1).應選D.例11sin220°+cos280°+sin20°·cos80°=.解：sina220°+cos280°+sin20°·cos80°=+·2sin20°·cos80°=1-(cos40°+cos20°)+(sin100°-sin60°)=1-cos30°cos10°+cos10°-=應填.例12求sin220°+cos250°＋sin20°·cos50°的值.解:sin220°+cos250°+sin20°cos50°=sin220°+sin240°+sin20°sin40°=(sin20°+sin40°)2-sin20°sin40°=(2sin30°cos10°)2+(cos60°-cos20°)==應填.例13cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值等于()A.B.C.D.1+解：cos275°+cos215°＋cos75°cos15°=(sin215°+cos215°)+sin15°=1+=.應選C.例14已知ctg=3,則cosθ=.解：由已知有tg=.∴cosθ==.例15已知tgA+ctgA=m,則sin2A=.解：tgA+ctgA=mtg2A+1=mtgA∴sin2A=.例16已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.(1)b≠0時，求tg3A的值(用a、b表示)；(2)求(1+2cos2A)2（用a、b表示）.解：(1)利用和差化積公式可得：a=sin3A(1+2cos2A),b=cos3A(1+2cos2A),∴tg3A=.(2)由上可知ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)2∴(1+2cos2A)2=.又sin6A==,∴(1+2cos2A)2==a2+b2.例17一個直角三角形三內角的正弦值成等比數列，其最小內角為()A.arccosB.arcsinC.arccosD.arcsin解：不妨設此直角三角形三內角為A、B、C且A＜B＜C=90°.由已知，sinA,sinB,sin90°=1成等比數列，∴sin2B=sinA又A+B=90°，得sinB=cosA,∴cos2A=sinA,1-sin2A=sinA，即sin2A+sinA-1=0.解出sinA=(舍去sinA=)∴A=arcsin,應選B.例18如圖，若sin2x＞cos2x，則x的取值范圍是().A.｛x｜2kπ-＜x＜2kπ+,k∈Z｝B.｛x｜2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z｝C.｛x｜kπ-＜x＜kπ+,k∈Z｝D.x｜kπ+＜x＜kπ+,k∈Z}解：由于sin2x和cos2x的周期都是π，故可先研究在［0,π］上不等式的解.在同一坐標系在區間［0，π］上作出sinx和cosx的圖像.把［，π］的cosx的圖像沿x軸上翻后，求出兩曲線交點的橫坐標為x1=,x2＝.∴在(+2kπ，+2kπ)上有sin2x＞cos2x.應選D.例19下列四個命題中的假命題是()A.存在這樣的α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβB.不存在無窮多個α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβC.對于任意的α和β，使得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβD.不存在這樣的α和β的值，使得cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ解：C是兩角和的余弦展開公式，當然正確，從而D也正確.對于A，取α=β=0，則cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,∴A正確.對于B，取α=β=2kπ，k∈Z，則cos(2kπ+cos2kπ)=cos2kπcos2kπ+sin2kπsin2kπ,∴B.不正確.應選B.例20解不等式(arctgx)2-3arctgx+2＞0.解：〔(arctgx)-1〕〔(arctgx)-2〕＞0.∴arctgx＜1或arctgx＞2.又-＜arctgx＜.∴-＜arctgx＜1,即有-∞＜x＜tg1.例21滿足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范圍是()A.［-1,-］B.［-,0］C.［0,］D.［,1］解：反余弦函數的定義域為［-1,1］,且為減函數.∴應選D.例22已知cos2α=,α∈(0,),sinβ=-,β∈(π,)求α+β(用反三角函數表示).解：由題設得sinα=,從而cosα=,且cosβ=-又α+β∈(π,2π)(α+β-π)∈(0,π),cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-.∴cos(α+β-π)=cos〔π-(α+β)〕=-.∴-π+(α+β)=arccos即α+β=π+arccos例23記函數y=的圖像為l1，y=arctgx的圖像為l2，那么l1和l2的交點個數是()A.無窮多個B.2個C.1個D.0個解：作出函數草圖可知有2個交點.又x:0→時,arctgx:0→+∞,:+∞→0.∴x＞0時，l1和l2有一個交點.又arctgx和都是奇函數，∴x＜0時，l1和l2也有一個交點.應選B.【同步達綱練習】1.以下命題中正確的命題是()(A)終邊相同的角一定相等(B)若sinα≥0，那么α是第一或第二象限的角(C)若角α與β的終邊關于x軸對稱，那么α+β＝0(D)若α為鈍角，則cosα＜0(考查象限角的概念)2.扇形圓心角為60°，半徑為a，則扇形內切圓面積與扇形面積之比是()(A)1∶3(B)2∶3(C)4∶3(D)4∶9(考查扇形面積公式)3.若sin=,cos=-,則θ角的終邊在()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(考查象限角與三角函數值的符號)4.sin21°+sin22°+…+sin290°的值屬于區間()(A)（43，44］(B)（44，45］(C)（45，46］(D)（46，47］(考查同角三角函數的關系及三角函數的有界性)5.已知2sinα=1+cosα,那么tg()(A)等于(B)等于或不存在(C)等于2(D)等于2或不存在(考查三角函數公式的應用)6.己知0＜a＜1，＜α＜，則下列元數M=,N=,P=的大小關系是()(A)M＞N＞P(B)M＞P＞N(C)M＜N＜P(D)M＜P＜N(考查對數函數，指數函數的單調性，同角三角函數關系)7.若f(sinx)=sin3x,則cos3x等于()(A)f(cosx)(B)-f(cosx)(C)f(sinx)(D)-f(sinx)(考查誘導公式與函數解析式)8.方程sinx=lgx的實根個數是()(A)1(B)2(C)3(D)以上都錯(考查三角函數與對數函數的圖像)9.下面的4條直線中，是函數y=2cos2x-2sinxcosx-的圖像的對稱軸的是()(A)x=(B)x=(C)x=(D)x=-(考查三角函數圖像的特征)10.如圖是周期為2π的三角函數y=f(x)的圖像，那么f(x)的解析式可以寫成()(A)f(x)=sin(1+x)(B)f(x)=-sin(1+x)(C)f(x)=sin(x-1)(D)f(x)=sin(1-x)(考查三角函數的圖像與解析式)11.函數f(x)=cos,則下列等式中成立的是()(A)f(2π-x)=f(x)(B)f(2π+x)=f(x)(C)f(-x)=f(x)(D)f(-x)=-f(x)(考查余弦函數的奇偶性，對稱性)12.函數y=sin(-2x)+cos2x的最小正周期是()(A)(B)π(C)2π(D)4π(考查三角函數的周期和恒等變形)13.設函數y=sin(ωx-)·cos(ωx+)的最小正周期為2，且ω＞0，是ω的值為()(A)1(B)π(C)(D)(考查三角函數的性質，同角三角函數關系)14.若a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，則下列不等式中成立的是()(A)a＞＞b(B)a＜＜b(C)a＜b＜(D)b＜a＜(考查輔助角公式，三角函數的單調性)15.下列四個命題中的假命題是()(A)存在這樣的α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ(B)不存在無窮多個α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C)對于任意的α和β，都有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(D)不存在這樣的α和β的值，使得cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ(考查公式的記憶，理解和邏輯語言的理解)16.tgα、tgβ是方程7x2-8x+1=0的二根，則sin2(α+β)-sin(α+β)cos(α+β)+cos2(α+β)的值是()(A)(B)(C)(D)(考查兩角和的正切公式，同角三角函數關系及有關求值)17.已知cos2α-cos2β=m,則sin(α+β)·sin(α-β)＝()(A)-m(B)m(C)-(D)(考查同角三角函數關系，兩角差的余弦公式)18.函數f(x)=sin2x+5cos(-x)+3的最小值是()(A)-3(B)-6(C)-(D)-1(考查同角三角函數關系，半角公式，萬能公式)19.函數y=的值域是()(A)｛-2,4｝(B)｛-2,0,4｝(C)｛-2,0,2,4｝(D)｛-4,-2,0,4｝(考查同角三角函數關系)20.在△ABC中，(1)已知tgA=sinB=，則∠C有且只有一解，(2)已知tgA=,sinB=,則∠C有且只有一解，其中正確的是()(A)只有(1)(B)只有(2)(C)(1)與(2)都正確(D)(1)與(2)均不正確(考查綜合有關公式，靈活處理三角形中的計算)21.已知不等邊△ABC中，sinA=sinB，則下列等式：①A=B;②A+B=;③A+B=π;④A-B=,其中可能成立的是()(A)①、②(B)①、③(C)①、②、④(D)②、③、④(考查三角形的內角和定理及角的正弦值關系)22.給出下列四個命題：①若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形；②若sinA=cosB，則△ABC是直角三角形；③若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC是鈍角三角形；④若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，則△ABC是等邊三角形，以上命題正確的個數是()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個(考查靈活運用公式判斷三角形形狀和判斷正誤的能力)23.函數y=cosx(π≤x≤2π)的反函數是()(A)y=π+arccosx(B)y=π-arcsinx(C)y=π+arcsinx(D)y=π-arccosx(考查反函數的求法，誘導公式，反三角弦函數定義)24.下列各組函數中表示同一函數的一組是()(A)y=arcsin(cosx)與y=arccos(sinx)(B)y=sin(arccosx)與y=cos(arcsinx)(C)y=arctgx與y=arcctg(D)y=sin(arcsinx)與y=tg(arctgx)(考查有關反三角恒等式及其運算，函數的定義)25.設m=arcsin,n=arccos,p=arctg，則m，n，p的大小關系是()(A)p＞n＞m(B)n＞m＞p(C)p＞m＞n(D)m＞n＞p(考查反三角函數的運算及其單調性)26.設函數y=2arcsin(cosx)的定義域為(-，)，則其值域是()(A)(，)(B)(，π)(C)(-，)(D)(-，π)(考查三角函數與反三角函數的定義域和值域)27.函數y=的定義域是.(考查函數定義域的求法，數形結合解三角不等式)28.f(x)=sinx-sin｜x｜的值域是.(考查絕對值定義，誘導公式，正弦函數的簡圖，函數值域)29.把y=sinx的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)。然后將新得圖像向左平移單位，這樣得到的圖像的解析式是。(考查三角函數圖像的變換)30.若函數y=sin(x+φ)+cos(x+φ)是偶函數，則φ的值是。(考查函數的奇偶性，三角恒等變形，最簡單三角方程)31.(1)tg17°+tg28°+tg17°·tg28°=(2)△ABC中，(1+tgA)(1+tgB)=2，則log2sinc=(3)(1+tg1°)(1+tg2°)(1+tg3°)……(1+tg45°)=(4)己知tgA+tgB+tgAtgB，且sinAcosB=，則△ABC的形狀是(5)若tgθ和tg(-θ)是方程x2+px+q=0的兩根，則p、q之間的關系是.(考查兩角和的正切公式的變形運用，倍角公式，韋達定理，對數值計算)32.函數y=cosx-1(0≤x≤2π)的圖像與x軸所圍成圖形的面積是。(考查三角函數圖形的對稱變換)33.函數y=｜sinx｜+｜cosx｜的值域是(考查三角函數的定義域、值域、單調性)34.關于函數f(x)=4sin(2x+)(x∈R)，有下列命題①由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是π的整數倍；②y=f(x)的表達式可改寫為y=4cos(2x-)；③y=f(x)的圖像關于點(-，0)對稱；④y=f(x)的圖像關于直線x=-對稱其中正確命題的序號是(考查簡單三角方程，誘導公式，圖像的對稱性)35.設三角函數f(x)=sin(+)，其中k≠0(1)寫出f(x)的極大值M，極小值m，最小正周期T。(2)試求最小的正整數k，使得當自變量x在任意兩個整數間(包括整數本身)變化時，函數f(x)至少有一個值是M與一個值m，(考查三角函數的最值、周期，以及分析問題、解決問題的能力)36.己知x+=2cosθ，試求xn+(n∈N)的值(結合三角函數，考查數學歸納法，增量法)37.求值：(1)(2)sec50°+tg10°(考查同角三角函數關系，倍角公式，輔助角公式，和差化積等)38.解答下列各題：(1)己知A、B均為鈍角，且sinA=,sinB=,求A+B(2)己知α、β∈(0,π),且tg(α-β)=,tgβ=-,求2α-β(3)己知α、β都是銳角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求證：α+2β=(4)求證：arcsin+arcsin(-)＝arcsin(考查如何求角，如何證明關于角的等式)39.根據下列所給條件，分別求出cos(α+β)的值：(1)己知sinα-sinβ=，cosα-cosβ=(2)己知α、β是方程2cosx-sinx+b=0的兩個根(α≠2kπ+β,k∈z)；(3)己知z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，z1-z2=+i；(4)己知直線y=2x+m與圓x2+y2=1有兩個公共點M，N，且x軸正半軸逆轉到兩射線OM，ON(O為原點)的最小正角依次為α、β(考查三角與方程、復數、解幾的聯系，萬能公式的運用)40.設△ABC的三邊a,b,c成等差數列，a,b,c所對的角分別是A、B、C，且cos=2coscos,(1)求證tgtg=;(2)求tg的值。(考查三角形中三角函數的證明與求值)41.解答下列各題：(1)若y=acosx+b的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx的最大值。(2)求y=的最值(3)設函數y=-2sin2x-2cosx-2a+1的最小值是f(a)，①寫出f(a)的表達式；②試確定能使f(a)=的a的值。(4)求f(x)=的值域(5)求y=2sinxsin2x的最大值(6)若θ為鈍角，求y=+(a＞b＞0)的最小值(7)己知sinxsiny=，求cosxcosy的取值范圍(8)己知3sin2α+2sin2β=2sinα，求cos2α+cos2β的最值(考查三角函數常見最值的求法)42.已知sinx+siny=sinx·siny，求證：(cos-sin)2=1(考查三角函數中恒等式的證明)43.在△ABC中，三邊a,b,c成等差數列，求5cosA-4cosAcosC+5cosC的值.A(考查三角形中的有關計算)44.若f(θ)=sin2θ+3sinθcosθ+4cos2θ(0≤θ≤)，求f(θ)的最小值.(考查三角函數的最值問題)45.己知f(x)=tgx,x∈(0,)，若x1,x2∈(0,)，且x1≠x2，證明：［f(x1)+f(x2)］＞f()(綜合考查三角函數與不等式)46.己知實數x，y滿足x=1，問x2+y2是否為定值?若是，請求該值，否則求其取值范圍。(考查代數與三角的綜合題)47.在高出地面30m的小山頂C處建造一座電視塔CD(如圖)，今在距離B點60m的地面上取一點A，若測得CD對A所張的角為45°，求電視塔的高度。(考查應用數學知識處理實際問題的能力)48.如圖，海中小島A周圍20海里內有暗礁，船向正南航行，在B處測得小島A在船的角偏東30°，在C處測得A在船的南偏東60°，如果此船不改變航向，有無觸礁的危險?(考查應用正弦定理處理實際問題的能力)49.外國船只，除特許者外，不得進入離我海岸線D里以內的區域，設A，B是我們的觀測站，A與B間的距離是S里，海岸線是過A，B的直線，一外國船只在P點，在A處測得∠BAP=α，同時在B處測得∠ABP=β，問α及β滿足什么三角不等式時，就應當問這艘未經特許的外國船發出警告，命令退出我海域?(考查靈活應用三角知識處理實際問題的能力)50.在已知△ABC中(如圖)，∠C＝90°，高CD⊥AB于D，作∠CDE＝∠CDF＝x，交AC于F，BC于E，求當x取何值時，△DEF面積最大，并求出最大面積的值.(考查分析問題和解決問題的能力)51.己知半徑為1，圓心角為的扇形，求一邊在半徑上的扇形的內接矩形的最大面積。(考查三角函數在圓形最值中的運用)52.腰為a的等腰△ABC中，∠A=90°，當A，B分別在x軸，y軸正半軸上移動，且點C與原點O在AB的兩側時，求OC長的最大值。(綜合考查三角、解幾、最值問題)53.如圖所示，水渠橫斷面為等腰梯形，渠深為h，梯形面積為S，為使渠道的滲水量達到最小，應使梯形兩腰及下底邊長之和最小，問此時腰與下底夾角α應該是多少?(考查代數與三角的綜合)54.用一塊長為a，寬為b(a＞b)的矩形木塊，在二面角為α的墻角處圍出一個直三棱柱的儲物倉(使木板垂直于地面的兩邊緊貼墻面，另一邊與地面緊貼)試問，怎樣圍才能使儲物倉的容積最大?并求出這個最大值(考查代數、三角、立幾的綜合運用)55.如圖所示，在平面直角坐標系中，在y軸的正半軸上給定兩點A，B，試在x軸正半軸上求一點C，使∠ACB最大。(考查代數，三角，解幾的綜合運用)參考答案【同步達綱練習】1.D2.B3.D4.C5.A6.B7.B8.C9.B10.D11.C12.B13.C14.B15.B16.C17.A18.D19.B20.B21.A22.B23.C24.B25.D26.D27.｛x｜2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈z｝28.［-2，2］29.y=sin(2x+)30.φ=kπ+(k∈z)31.(提示：應用公式tgα+tgβ＝tg(α+β)(1-tgαtgβ))(1)1(2)-(3)223(提示：用(2)的結論)(4)正三角形(5)p-q+1=032.2π33.［1，］34.①②35.(1)M=1,m=-1，T=(2)k=32(提示：令T≤1)36.2cosnθ方法(一)：用數學歸納法方法(二)：設x=cosθ+t,則==cosθ-t∴t2=-sin2θ于是取t=isinθ∴x=cosθ+isinθ代入即可37.(1)-4(2)38.(1)∵A+B∈(0，π)