因式分解【知識精讀】因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。1.因式分解的對象是多項式；2.因式分解的結果一定是整式乘積的形式；3.分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止；4.公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式；5.結果如有相同因式，應寫成冪的形式；6.題目中沒有指定數的范圍，一般指在有理數范圍內分解；7.因式分解的一般步驟是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續分解；（2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數法、拆項（添項）等方法；下面我們一起來回顧本章所學的內容。【分類解析】1.通過基本思路達到分解多項式的目的例1.分解因式分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；也可把，，分別看成一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。解一：原式解二：原式=2.通過變形達到分解的目的例2.分解因式解一：將拆成，則有解二：將常數拆成，則有3.在證明題中的應用例3：求證：多項式的值一定是非負數分析：現階段我們學習了兩個非負數，它們是完全平方數、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數，需要變形成完全平方數。證明：設，則例4．求證：32000-4×31999+10×31998能被7整除。分析：先把32000-4×31999+10×31998因式分解證明：∵32000-4×31999+10×31998

=31998×(32-4×3+10)

=7×31998

∴32000-4×31999+10×31998能被7整除。4.因式分解中的轉化思想例5：分解因式：分析：本題若直接用公式法分解，過程很復雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關系，努力尋找一種代換的方法。解：設a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要的。5.因式分解的其他應用例6．不解方程組求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值。分析：先把7y(x-3y)2-2(3y-x)3進行因式分解，再將2x+y=6和x-3y=1整體代入。解：7y(x-3y)2-2(3y-x)3

=7y(x-3y)2+2(x-3y)3

=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]

=(x-3y)2(2x+y)∵∴原式=12×6=6評注：先化簡再求值以及整體代入的思想在求值問題中經常運用。中考點撥：例1.在中，三邊a,b,c滿足求證：證明：說明：此題是代數、幾何的綜合題，難度不大，學生應掌握這類題不能丟分。例2.已知：__________解：說明：利用等式化繁為易。題型展示：1.若x為任意整數，求證：的值不大于100。解：說明：代數證明問題是較為困難的問題。一個多項式的值不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。2.將解：說明：利用因式分解簡化有理數的計算。【實戰模擬】1.分解因式：（5）5x2-21x+182.已知：的值。3.矩形的周長是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。4.求證：是6的倍數。（其中n為整數）5.已知：a、b、c是非零實數，且，求a+b+c的值。6.已知：a、b、c為三角形的三邊，比較的大小。求證：對于任何自然數n，的值都能被6整除。8.已知：a=10000，b=9999，求a2+b2－2ab－6a+6b+9的值。若，求的最小值．【試題答案】1.（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：2.解：3.解：4.證明：5.解：用abc乘以第二個條件等式的兩邊，得：說明：因式分解與配方法是代數式化簡與求值中常用的方法和手段，應當熟練掌握。6.分析：比較兩式大小最基本的方法是作差看它們與零的大小。解：【課后鞏固】一、選擇題1、（2010·上海中考）分解因式：a2─ab=______________.【解析】a2─ab=a(a─b)答案：a(a─b)2、（2008·寧夏中考）下列分解因式正確的是（）A．B．C．D．【解析】選C.選項A提取公因式不正確，選項B提取公因式后符號處理不正確，選項D不是因式分解.3、（2010·眉山中考）把代數式分解因式，下列結果中正確的是（）A．B．C．D．【解析】：選D=m（x2－6x＋9)=m(x－3)24、（貴陽中考）將整式9－x2分解因式的結果是（）A．(3－x)2B．(3＋x)(3－x)C．(9－x)2D．(9＋x)(9－x)【解析】選B.根據平方差公式因式分解.5、(溫州中考)把多項式x2一4x+4分解因式，所得結果是().A．x(x一4)+4B.(x一2)(x+2)C．(x一2)2D．(z+2)2【解析】選C.利用完全平方公式因式分解.6、（北京中考）把分解因式，結果正確的是（）A. B. C D【解析】選D.先提取公因式，在利用完全平方公式因式分解.7、（內江中考）在邊長為的正方形中挖去一個邊長為的小正方形（）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（）A．B．C．D．【解析】選C.圖甲中陰影部分的面積為a2－b2，圖乙中陰影部分的面積為(a+b)(a－b)，所以a2－b2=(a+b)(a－b)，故選C.8、(2008·安徽中考）下列多項式中，能用公式法分解因式的是（）A.x2－xy B.x2＋xy C.x2－y2 D.x2＋y2【解析】選C.選項C可以利用平方差公式因式分解.9、（2008·廣東中考）下列式子中是完全平方式的是（）A． B．C． D．【解析】選D.完全平方式符合首平方、尾平方、2倍在中央.二、填空題10．（2010·宜賓中考）分解因式：2a2–4a+2=【解析】2a2–4a+2=2（a2–2a+1）=2（a–1）211、（福州中考)分解因式：=答案：x（x－２）12、（長沙中考）因式分解：．答案：13、（威海中考）分解因式：（x+3）2－(x+3)___________．答案：(x+3)(x+2)14、（廣東中考）分解因式=______.答案：2x(x+2)(x－2)15、若是完全平方式，的值是。三、解答題16、（吉林中考）在三個整式中，請你任意選出兩個進行加（或減）運算，使所得整式可以因式分解，