普通物理學第?版第七章課后習題答案第七章剛體?學7.1.1設地球繞?作圓周運動.求地球?轉和公轉的?速度為多少rad/s?估算地球?道上?點因地球?轉具有的線速度和向?加速度.估算地?因公轉?具有的線速度和向?加速度（??搜集所需數據）.[解答]7.1.2汽車發動機的轉速在12s內由1200rev/min增加到3000rev/min.（1）假設轉動是勻加速轉動，求?加速度.(2)在此時間內，發動機轉了多少轉？[解答]（1）22(30001200)1/601.57(rad/s)t12ωπβ?-?===VV（2）222220()(30001200)302639(rad)2215.7πωωθβ--===?所以轉數=2639420()2π=轉7.1.3某發動機飛輪在時間間隔t內的?位移為球t時刻的?速度和?加速度.[解答]7.1.4半徑為0.1m的圓盤在鉛直平?內轉動，在圓盤平?內建?O-xy坐標系，原點在軸上.x和y軸沿?平和鉛直向上的?向.邊緣上?點A當t=0時恰好在x軸上，該點的?坐標滿?21.2tt(:rad,t:s).θθ=+求（1）t=0時，（2）?t=0開始轉45o時，（3）轉過90o時，A點的速度和加速度在x和y軸上的投影.[解答]（1）A??t0,1.2,Rj0.12j(m/s).0,0.12(m/s)xyωνωνν====∴==v（2）45θ=o時，

由2A1.2tt,t0.47(s)42.14(rad/s)vRπθωω=+==∴==?vvv得（3）當90θ=o時，由7.1.5鋼制爐門由兩個各長1.5m的平?臂AB和CD?承，以?速度10rad/sω=逆時針轉動，求臂與鉛直45o時門中?G的速度和加速度.[解答]因爐門在鉛直?內作平動，門中?G的速度、加速度與B或D點相同。所以：7.1.6收割機拔?輪上?通常裝4到6個壓板.拔?輪?邊旋轉，?邊隨收割機前進.壓板轉到下?才發揮作?，???把農作物壓向切割器，另???把切割下來的作物鋪放在收割臺上，因此要求壓板運動到下?時相對于作物的速度與收割機前進?向相反.已知收割機前進速率為1.2m/s，拔?輪直徑1.5m，轉速22rev/min,求壓板運動到最低點擠壓作物的速度.[解答]取地?為基本參考系，收割機為運動參考系。取收割機前進的?向為坐標系正?向7.1.7飛機沿?平?向飛?，螺旋槳尖端所在半徑為150cm，發動機轉速2000rev/min.（1）槳尖相對于飛機的線速率等于多少？（2）若飛機以250km/h的速率飛?，計算槳尖相對于地?速度的?，并定性說明槳尖的軌跡.[解答]取地球為基本參考系，飛機為運動參考系。（1）研究槳頭相對于運動參考系的運動：（2）研究槳頭相對于基本參考系的運動：

由于槳頭同時參與兩個運動：勻速直線運動和勻速圓周運動。故槳頭軌跡應是?個圓柱螺旋線。7.1.8桑塔納汽車時速為166km/h.車輪滾動半徑為0.26m.?發動機?驅動輪的轉速?為0.909.問發動機轉速為每分多少轉.[解答]設發動機轉速為n發，驅動輪的轉速為n輪。由題意：n0.909,n0.909nn==發發輪輪（1）汽車的速率為316610,60?316610n2R60π?∴=輪輪（2）（2）代?（1）3316610n0.9091.5410(rev/min)2R60π?==?發輪7.2.2在下?兩種情況下求直圓錐體的總質量和質?位置.（1）圓錐體為均質；（2）密度為h的函數:h(1),Lρρρ=-oo為正常數.[解答]建?如圖坐標O-x,由對稱軸分析知質?在x軸上。由cdmdvdvdmdvdvxxxxρρ===得：（1）L20c2(a/L)d3L14

aL3xxxππ==質量21mvaL3ρπρ==（2）L200c200ah()(1)d4LLL(h=L)ha5(1)()dLLxxxxxxxππρρπ??-==--質量22000haLm(1)()daLL4xxπρπρπ=-?=?7.2.3長度為l的均質桿，令其豎直地?于光滑的桌?上，然后放開?，由于桿不可能絕對沿鉛直?向，故隨即到下.求桿?的上端點運動的軌跡（選定坐標系，并求出軌跡的?程式）.[解答]建?坐標系，?平?向為x軸，豎直?向為y軸.桿上端坐標為（x,y）,桿受重?、地?對桿豎直向上的?承?，??平?向?。由icFam=∑rr外（質?運動定理）質?在桿的中點，沿?平?向質?加速度為零。開始靜?，桿質???平?向移動。由桿在下落每?瞬時的?何關系可得：即桿上端運動軌跡?程為：7.3.1（1）?積分法證明：質量為m長為l的均質細桿對通過中?且與桿垂直的軸線的轉動慣量等于21m12l.[解答]建??平?向o—x坐標（2）?積分法證明：質量為m、半徑為R的均質薄圓盤對通過中?且在盤?內的轉動軸的轉動慣量為21mR4.

如圖坐標系，z軸垂直紙?向外。由質?運動定理得：（Ox-向投影）cFma=（質?在桿中點）（1）[解答]令xRsinθ=或3R22224mI(Rx)dx,3Rπ=-?利?公式7.3.2圖?實驗?的擺，0.92m=l，r0.08m=，m4.9kg=l，rm24.5kg=，近似認為圓形部分為均質圓盤，長桿部分為均質細桿.求對過懸點且與擺?垂直的軸線的轉動慣量.[解答]將擺分為兩部分：均勻細桿（1I），均勻圓柱（2I）則12III=+1I=221mL0.14(kgm)3lBg2I=22rr1mrm(Lr)2++（?平?軸定理）I=0.14+2.51=2.652(kgm)g7.3.3在質量為M半徑為R的均質圓盤上挖出半徑為r的兩個圓孔，圓孔中?在半徑R的中點，求剩余部分對過?圓盤中?且與盤?垂直的軸線的轉動慣量.[解答]設未挖兩個圓孔時?圓盤轉動慣量為I。如圖半徑為r的?圓盤轉動慣量為1I和2I。則有x12IIII=--（12II=）7.3.5?轉動系統的轉動慣量為2I8.0kg.m=，轉速為41.9rad/sω=，兩制動閘?對輪的壓?都為392N，閘?與輪緣間的摩擦系數為0.4μ=，輪半徑為r0.4m=，從開始制動到靜?需要?多少時間？[解答]7.3.6均質桿可繞?點O轉動，當與桿垂直的沖?作?某點A時，?點O對桿的作??并不因此沖?之作??發?變化，則A點稱為打擊中?.設桿長為L，求打擊中?與?點的距離.[解答]桿不受Fv作?時，?點O對桿的作??Nv，向豎直向上，??為桿的重量。依題意，當桿受?Fv時，Nv不變。建?由轉動定理得：

201FOAImL3ββ==（2）有?量與線量的關系c1aL2β=（3）（1）（2）（3）聯?求解21mL23OAL13L2ββ==7.3.7現在?阿特伍德機測滑輪轉動慣量.?輕線且盡可能潤滑輪軸.兩端懸掛重物質量各為1m0.46kg=，且2m0.5kg=.滑輪半徑為0.05m.?靜?始，釋放重物后并測得5.0s內2m下降0.75m.滑輪轉動慣量是多少？[解答]分析受?。建?坐標系，豎直向下為x軸正?向，?平向左為y軸正?向。z軸垂直紙?向?。根據?頓第?定律，轉動定理，?量與線量關系可列標量?程組：已知21121122121aR,aa,TT,TT,atm,m,R,,t2xxβ''=====VV（其中為已知）求解上列?程組：7.3.8斜?傾?為θ，位于斜?頂端的卷揚機?輪半徑為R，轉動慣量為I，受到驅動?矩M，通過繩索牽引斜?上質量為m的物體，物體與斜?間的摩擦系數為μ，求重物上滑的加速度.繩與斜?平?，不計繩質量.[解答]分析受?及坐標如圖。z軸垂直紙?向外。列標量?程組：Tmgsinmgcosmaθθμ--=（1）MTR=Iβ'-+-（2）aRβ=（3）TT'=（4）解得：2TmgsinmgcosmaR(MmgRsinmgRcos)

a=ImRθθμθθμ--=--+7.3.9利?圖中所?裝置測?輪盤的轉動慣量，懸線和軸的距離為r.為減?因不計軸承摩擦?矩?產?的誤差，先懸掛質量較?的重物1m，從距地??度h處由靜?開始下落，落地時間為1t，然后懸掛質量較?的重物2m，同樣由?度h下落，所需時間為2t，根據這些數據確定輪盤的轉動慣量.近似認為兩種情況下摩擦?矩相同.[解答]分析受?及坐標如圖。z軸垂直紙?向?。列?程：解得122112h2hMmr(g)Itrt=--阻即12222211222h2h2h2hmr(g)Imr(g)Itrttrt--=--7.4.1扇形裝置如圖，可繞光滑的鉛直軸線O轉動，其轉動慣量I為.裝置的?端有槽，槽內有彈簧，槽的中?軸線與轉軸的垂直距離為r.在槽內裝有??球，質量為m，開始時?細線固定，只彈簧處于壓縮狀態.現?燃?柴燒斷細線，?球以速度vo彈出.求轉動裝置的反沖?速度.在彈射過程中，由?球和轉動裝置構成的系統動能守恒否？總機械能守恒否？為什么？（彈簧質量不計）[解答]取?球和轉動裝置為物體系，建?順時針為轉動正?向。在彈射過程中，物體系相對于轉動軸未受外?矩，故可知物體受對轉軸的?動量守恒。有00rmIrm0,Iνωνω-=∴=動能不守恒，原因是彈性?對系統作正功，物體系動能增加。總機械能守恒。原因是此過程中?耗散?做功。應有守恒關系式：7.4.2質量為2.97kg，長為1.0m的均質等截?細桿可繞?平光滑的軸線O轉動，最初桿靜?于鉛直?向.?彈?質量為10kg，以?平速度200m/s射出并嵌?桿的下端，和桿?起運動，求桿的最?擺?θ.[解答]取?彈和桿為物體系。分兩個過程。過程1：?彈嵌?前?瞬時開始到完全嵌?時為?。此過程時間極短，可視為在原地完成。此時受?為mgv，Mg,Nvv為轉軸對桿的?承?，對于軸，外?矩為零。有?動量守恒。規定逆時針為轉軸正?向。得:解得：2022m2.0(rad/s)1Mm3νω==+lll過程2：由過程1末為始到物體系擺?最?點為?。

此過程中?切耗散?做功為零。故物體系機械能守恒。取桿的最低點為重?勢能零點。有2222111MgmM(1cos)mg(1cos)MgMg222322ωωθθ++=-+-+llllll解得2211(Mm)23cos10.864M(m)g230.3ωθθ+=-=+∴=oll7.4.3?質量為1m，速度為1v的?彈沿?平?擊中并嵌??質量為21m99m=，長度為L的棒的端點，速度1v與棒垂直，棒原來靜?于光滑的?平?上.?彈擊中棒后共同運動，求棒和?彈繞垂直于平?的軸的?速度等于多少？[解答]取1m與2m為物體系。此物體系在?平?內不變外?矩。故?動量守恒，規定逆時針為轉動正?向。設1m嵌?后物體系共同質?為c'，c'到棒右端距離為r，棒??質?為c。由12Lmrm(r)(2=-質?公式）有物體系對點的?動量守恒可得：解得10.058/Lων=，半徑為?千?，質量與太陽的質量?致相等，轉動?速率很?.試估算周期為50ms的脈沖星的轉動動能.（??查找太陽質量的數據）[解答]7.5.110m?的煙囪因底部損壞?倒下來，求其上端到達地?時的線速度.設倒塌時底部未移動.可近似認為煙囪為細均質桿.[解答]7.5.2?四根質量各為m長度各為l的均質細桿制成正?形框架，可繞其?邊的中點在豎直平?內轉動，?點O是光滑的.最初，框架處于靜?且AB邊沿豎直?向，釋放后向下擺動，求當AB邊達到?平時，框架質?的線速度CV以及框架作?于?點的壓?N.[解答]框架對O點的轉動慣量：在框架擺動過程中，僅受重?和?點的?撐?，重?為保守?，?撐?不做功，故此過程中框架的機械能守恒。取過框架中?的?平線為重?勢能零點：有2014mgI22ω=l解得：20c4mg12gI722ωωνω===∴=?==llll框架轉到AB?平位置時，0cM0,0.a0(τβ===∑即?平?向）故?點O對框架的作??N'v，僅有法向分量。由質?運動定理得：框架作??點的?N與N'v是作??與反作??。7.5.3由長為l，質量各為m的均質細桿制成正?形框架，其中??連于光滑?平轉軸O，轉軸與框架所在平?垂直.最初，對?線OP處于?平，然后從靜?開始向下擺動.求對?線OP與?平成45o時P點的速度，并求此時框架對?點的作??.[解答]框架對O點轉動慣量由機械能守恒：先求?點O對框架作??Nr，由轉動定理ooMIβ=∑o2oM2mg3g10I5m3β===∑lll由質?運動定理：投影得：解得：nNmg5=設N與?i-?向夾?為θ，則nN11tg,79.7N2τθθ==∴=o7.5.4質量為m長為l的均質桿，其B端放在桌?上，A端???住，使桿成?平.突然釋放A端，在此瞬時，求：（1）桿質?的加速度，（2）桿B端所受的?.[解答]取桿為隔離體，受?分析及建?坐標如圖。規定順時針為轉動正?向。依據質?運動定理有：cNmgmaττ-=（1）依據轉動定理：BmgI2β=l（2）依據?量與線量關系：ca2τβ=-l（3）此外，2cncnNmam/2τν==l2B1Im3=l（4）由ccn0.0,N0τνν=∴==聯?上述四個?程求得：7.5.5下?是均質圓柱體在?平地?上作?滑滾動的?種情況，求地?對圓柱體的靜摩擦?f.（1）沿圓柱體上緣作?以?平拉?F，柱體作加速滾動.（2）?平拉?F通過圓柱體中?軸線，柱體作加速滾動.（3）不受任何主動?的拉動或推動，柱體作勻速滾動.（4）在主動?偶矩τ的驅動下作加速滾動.設柱體半徑為R.[解答]取均勻圓柱體為隔離體，建?坐標系，?平向右為x軸正?向，z軸垂直紙?向?。假設cfv?向?平向右。（1）得Ff3=-（符號表?實際?向與假設?向相反）（2）得Ff3=（符號表?實際?向與假設?向相同）（3）得2Mf3R=-（符號表?實際?向與假設?向相反）7.5.6板的質量為M，受?平?F的作?，沿?平?運動.板與?平?間的摩擦系數為μ.在板上放?半徑為R質量為2M的實?圓柱，此圓柱只滾動不滑動.求板的加速度.[解答]設所求板對地的加速度為a，（?向與Fv相同）。以板為參照系(?慣性系)。取圓柱體為隔離體，分析受?如圖，z軸垂直紙?向?。依質?運動定律有：022cffMa*-=板

（1）依據轉動定理有：20021fRIMR2βθ-==（2）依據?量與線量關系有：caRβ=板（3）此外：22NMg=（4）22fma*=（5）取板為隔離體，受?如圖，并建?如圖坐標系。列標量?程有：12NNMg=0'--(6)1Ffff0*'---=(7)1fMa*=(8)1fNμ=(9)22NN'=(10)00ff'=(11)將上述??個?程聯?求解得：7.5.7在?平桌?上放置?質量為m的線軸，內徑為b，外徑為R，其繞中?軸轉動慣量為21mR3.線軸與地?間的靜摩擦系數為μ.線軸受??平拉?F，如圖所?.（1）使線軸在桌?上保持?滑滾動之F最?值是多少？（2）若F與?平?向成θ?，試證，cosb/Rθ>時，線軸向前滾動；cosb/Rθ<時，線軸線后滾動.[解答]取線軸為隔離體。建?坐標系，?平向右為x正?向，z軸垂直紙?向?。（1）依據質?運動定理有：cFfma-=（1）依據對質?軸的轉動定理有：201fRFbImR3ββ-==（2）由?量與線量的關系得：caRβ

=（3）上述三式聯?求解得：欲保持?滑滾動得：maxffN=mgμμ≤=即max4RmgFR3bμ=+（2）