基于兒童立場的簡易方程研讀及思想方法剖析摘要：簡易方程是人教版五年級上冊，數(shù)與代數(shù)領域的一個重要內(nèi)容，它的學習基礎直接影響著中學數(shù)學方程與函數(shù)的學習進度，但小學生不喜歡用方程解決問題仍然是目前教學的一個難點問題。因此基于兒童立場針對簡易方程單元，在課程標準要求、教科書中的概念與教學方法、作業(yè)分類分層設計、數(shù)學思想方法滲透等方面進行了整體研讀，從小學生長遠發(fā)展的角度，提出一至四年級的教學中不要忽視早期代數(shù)知識的鋪墊，在算術教學中滲透一些簡單方程思想的建議。關鍵詞：兒童立場；簡易方程；數(shù)學思想方法；研讀TheSimpleEquation'sUnderstandingandAnalysisfromtheChildren'sPerspectiveAbstract:Thesimpleequationisanimportantteachingcontentinthemathematicstextbookforgrade5primarystudents.Theacquisitionofequationwoulddirectlyaffectstudents'studyoncomplexequationandfunctioninthemiddleschool.Thepaperpresentedthestandardrequirement,theconceptandteachingmethods,thelayereddesignofassignment,andthemaththinkingmethods,providingsuggestionsofearlierrelativeknowledgeintroducedduringthemathteachingfromgrade1tograde4.Keywords:children'sperspective;simpleequation;maththinkingmethods;understanding1問題的緣起在一次近期觀摩的《解簡易方程》數(shù)學示范課中，教師通過一系列等式與不等式的對比后得出“含有未知數(shù)的等式叫做方程”。遺憾的是沒有學生能夠提出“那么學過的公式，例如正方形周長是否算作方程呢？”。這樣的現(xiàn)象一方面反映出教師講什么學生就學什么，缺少質(zhì)疑能力，另一方面作為教育工作者不得不思考：通過這樣學習后學生是否真正的理解了方程本質(zhì)？這樣理解方程對學生后繼學習列方程是否有影響？因此，在方程教學前教師很有必要對這部分內(nèi)容進行整體的研讀，從兒童發(fā)展與需要的角度，讀透教材知識結(jié)構(gòu)與基本線索，深挖知識本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系。1.1簡易方程在數(shù)學教學中的重要性簡易方程屬于早期代數(shù)的核心主題，在數(shù)學課程標準中亦是數(shù)與代數(shù)領域的一個重要內(nèi)容。對簡易方程的理解程度直接影響小學后一階段分式方程的學習。而小學階段的早期代數(shù)基礎，又為初中的一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程以及高中階段三元方程、高次方程的理解提供了支持。甚至更大程度影響著學生今后關于方程與函數(shù)間的區(qū)分、認識與理解。由此可以看出，學好簡易方程可提升代數(shù)的綜合應用與理解能力，為中學進一步學習打下基礎。1.2小學簡易方程教學中的難點問題1.2.1學生學習存在的障礙以及產(chǎn)生障礙的原因（1） 受算數(shù)思維定式，很難構(gòu)建與新內(nèi)容相匹配的認知圖式。在第一學段（1至3年級）教師會盡量避免提及方程思想，學生慣性使用的算術法多是逆向思維。到了第二學段（4至6年級）突然接觸代數(shù)，方程的引入打破學生的常規(guī)，逆向思維到順向思維轉(zhuǎn)變的適應度不夠。因此部分學生感受到學習更抽象、更有阻力了，與前一階段的學習不一樣了！產(chǎn)生了一定的學習壓力，有時甚至降低了學習熱情。（2） 列方程局限于模仿，沒有建模意識。學生對于方程認識基于表層，并未感受到方程的出現(xiàn)是基于解決問題。學生在課堂上仿佛聽懂了教師的列方程解題思路，但稍加變化問題條件與結(jié)論，獨立完成就變得束手無策了。（3） 解方程的程序繁瑣、容易出錯。在算數(shù)法解題時只要能夠列式，計算便是輕車熟路。而列方程解應用題需要順向思維，求未知數(shù)需要逆向思考。學生感覺計算繞來繞去后容易出錯，甚是不便。（4） 利用方程解決問題的優(yōu)越性不明顯。面對一個問題時，小學生總喜歡用最簡單直接的方法,而不想去理解更復雜的解決方案，除非嘗到其中甜頭。然而初學方程時教師提出的問題較簡單，算術法更易獲取答案。造成學生對方程的學習動機不高,興趣也不大。1.2.2教師教學存在的問題以及問題形成原因（1） 第一學段的數(shù)學教學沒有對方程做好鋪墊,扼殺了學生早期代數(shù)的萌芽。第一學段的教學中刻意強調(diào)算數(shù)法，抑制學生用類似方程形式思考呈現(xiàn)問題。這樣直接導致學生從低年級開始就認為順向思維不能很好地解決問題，只有算術法才是解題最簡便的方法。但符號感的建立不能夠一朝一夕就完成，到第二學段才發(fā)現(xiàn)學生的符號感尚未建立為時稍晚。例如，“字母表示數(shù)”一課應該是依據(jù)已有學習體驗對早期代數(shù)中字母進行抽象概括，但大部分學生課后依然不能完全表述字母可以表示哪些量。（2） 部分教師不重視方程教學，功利地應付考試。一些教師認為不需要知道什么是建模與方程思想，只要能讓學生列出方程，會解方程就行。另有一些教師認為，學生初次接觸方程，不管怎么教都需要一個過渡與適應期。如果應付考試只要重復多次、依據(jù)公式練習自然就會“套用”了。也正因如此，雖然很多學生表面上聽懂了題目，一旦稍加變化則表現(xiàn)得束手無策。可以看出學生是在機械模仿，并未能體會方程帶來的便捷。生搬硬套的方式消磨了學生學習興趣也不利于其思維發(fā)展。（3） 教師概念教學設計不夠完善，導致學生不能完全獨立列出方程。大部分小學教師在進行簡易方程概念教學時，僅采用“天平的平衡性”幫助學生對簡易方程的結(jié)構(gòu)進行理解。然后拋出方程的定義“含有未知數(shù)的等式叫做方程”。這樣的定義只能讓學生從表層判斷出哪些式子是方程。放到實際意義中卻不能理解等號兩邊為什么能夠、怎么能夠建立平衡。這樣的教學忽略了模型思想滲透，并未深刻讓學生理解“未知量也能與已知量建立某種相等關系”使問題得到解決。（4） 教師的解方程教學時規(guī)則過多，使學生感受不到方程妙處，反而認為求解方程既繁瑣又易錯。其實學生對簡單方程的求解有自己的認知，若擔心學生出錯而要求必須按照書本步驟，教條且按部就班，反而使計算失去了靈活度又容易出錯。（5） 大多數(shù)例題選擇利用算數(shù)法就能輕松解決，方程方法沒有提起學習動機。依據(jù)圖式理論與最近發(fā)展區(qū)理論，學生只有因舊的知識不足以解決新問題才不自覺引發(fā)對新知學習的渴望。但教材編排遵循了由易到難原則，考慮到學生方程學習中的接受能力，初學時的應用題都是簡單的。學生算術法就能夠輕松獲取答案，感受不到方程法的益處。2簡易方程教材研讀與思想方法剖析對簡易方程教學中存在的種種問題，教師應基于兒童需要對課程標準與教科書仔細研讀。在研讀過程中挖掘細節(jié)、叩問本質(zhì)、創(chuàng)新延伸。只有加深教師自身對教材蘊含的方程內(nèi)容知識的理解，才能提高學生的邏輯抽象思維、分析問題、解決問題的能力［1］o以下將以人教版小學數(shù)學教科書五年級上冊［2］為例，基于兒童立場對簡易方程的學習進行研讀與思想方法剖析。2.1基于兒童的認知建構(gòu)，理解與反思課程標準要求義務教育數(shù)學課程標準（2011）中對于方程的內(nèi)容在第一學段中沒有安排。第二學段的要求是：“在具體情境中學會用字母表示；結(jié)合簡單的實際情境，了解等量關系，能用方程表示；能用方程表示簡單情景中的等量關系，了解方程的作用；了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程”⑶。雖然課程標準第一學段中沒有提及簡易方程相關內(nèi)容，但教師在早期教學中忽略對代數(shù)必要引導與鋪墊，五年級學習“式與方程”就顯得非常不適應。算術與代數(shù)的割裂是各國教育的傳統(tǒng)與現(xiàn)實，這種割裂某種程度上會使小學生忽視現(xiàn)實的代數(shù)情境的意義。使得學生失去在小學接受代數(shù)思維訓練的良好時機，造成了學生后期學習代數(shù)的諸多困難。2.2基于兒童的認知基礎，叩問方程本質(zhì)，創(chuàng)造性使用教科書簡易方程單元的第一節(jié)內(nèi)容為字母表示數(shù)。在小學階段依據(jù)學生的經(jīng)驗，可以將字母代表數(shù)歸結(jié)為幾類：（1）用字母表示任意數(shù)。（2）用字母代表某一類數(shù)。如，用字母N代表自然數(shù)；R代表實數(shù)；Q代表有理數(shù)。（3）用字母表示數(shù)量關系。如，運算定律、路程公式、變化規(guī)律等數(shù)量關系。（4）用字母表示特定未知數(shù)。如，小紅出門帶了1。元錢，買了一些水果花了B元，回家后剩下5元。教科書中雖有具體案例，但是并未幫助學生進行概括、整理與歸類。教師在課堂上可以幫助學生依據(jù)學習經(jīng)驗，回憶、類比、舉例所學過的字母代替數(shù)字的例子，幫助學生總結(jié)得出：有時出現(xiàn)大量的數(shù)據(jù)、某個具體未知數(shù)據(jù)、或一種復雜的數(shù)量關系，用字母代替表示可以更方便地描述與幫助理解。對于用字母表示特定未知數(shù)的學習，也為下一節(jié)內(nèi)容的學習進行了鋪墊。簡易方程單元的第二節(jié)內(nèi)容為解簡易方程。內(nèi)容的第一部分是利用天平平衡引出“含有未知數(shù)的等式就是方程。”在此不由得想起學者傅贏芳提出的兩個疑問：“天平”是否反應方程的本質(zhì)？“用字母表示未知數(shù)”是否反應方程本質(zhì)？[4]雖然小學階段我們不必要一定對學生介紹完備的定義，但是這樣的定義略顯得只重形式而忽略實質(zhì)意義。這個定義還有一漏洞就是前一節(jié)內(nèi)容中的運算定律、路程公式、類似函數(shù)的等式都可以包含于此定義，但它們并不屬于簡易方程。在此，筆者比較贊同張奠宙老先生對簡易方程做出的定義：“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關系。”[5]要確定這樣的定義，教學引入中依然可以沿用第一節(jié)的內(nèi)容。例如：小紅出門帶了10元錢，買了一些水果花了B元，回家后剩下5元。還可以怎樣表達反映這句話的意思？相信不同的學生都有不同的表達方式，最后將學生引入到用數(shù)學語言進行表示：B+5=10或10-5=B或10-B=5等等。再讓學生討論哪種表達方式最簡潔、完備、容易理解且能快速獲得結(jié)果。最后在學生深入理解“把未知數(shù)與已知數(shù)建立關系”基礎上引出定義。簡易方程單元的第三節(jié)內(nèi)容為等式的性質(zhì)，學生能夠依據(jù)具體的生活經(jīng)驗進行理解與感悟，教師可以通過合作學習的方式讓學生操作、表達與交流。重點在于，學生能夠用不同的方法解釋出等式左右兩邊同時乘或除以一個不為0的數(shù)，等式的值不變。在理解基礎上的表達可以為后續(xù)的應用做足準備。簡易方程單元的第四節(jié)是解方程。在舊版本的教科書中是讓學生應用四則運算法則進行求解，而新版本中是利用等式的性質(zhì)。筆者認為可以大膽放手讓學生去猜想驗證并說明算理。所謂算理就是說清楚為什么能這樣計算。只要學生說理正確清晰,沒有必要糾正學生必須使用新版本教科書的算理進行計算。對于復雜的方程則可以采用劃“整體”的方法分析結(jié)構(gòu)，再歸結(jié)為已能夠解決的簡單的方程進行計算。另外，可以對B+5=10或1。-5=5這兩種等式找找差異、找找相同點、做對比與小結(jié)，增進學生算數(shù)與代數(shù)之間的鏈接認識。2.3基于兒童的思維特點，對習題進行分類分層次設計2.3.1對字母表示數(shù)的練習標注所屬分類學生在練習的過程中應該進一步提升思維的系統(tǒng)性與完備性。可以讓學生對習題分類并描述，加深對字母不僅可以表示一類數(shù)、特殊值還可以表示各種數(shù)量關系的認識。例如：教科書52至55頁，主要表現(xiàn)的是用字母表示數(shù)量關系。練習54頁第3題，使用字母表示運算律；練習54頁第5題，使用字母表示公式。2.3.2對實際問題與方程進行模塊化學習與練習實際問題與方程這一節(jié)是對字母表示特定未知數(shù)、方程、列方程、解方程的綜合應用能力的培養(yǎng)。教科書的應用題可以分類為：“和差問題”“和倍問題”“單價與總價問題，，“行程問題（包括追及和相遇問題）”“盈虧問題”“工程問題”“銷售問題”等。教師可以嘗試將應用題分類后以模塊形式呈現(xiàn)和練習，讓學生從模塊學習中體會利用解決同一類問題時模型的優(yōu)勢。2.3.3拔高層次讓學生體會方程解決復雜問題的優(yōu)勢高年級小學生都不太喜歡利用方程解題，多數(shù)時候遇到難題就主動放棄。主要原因在于學習過程中沒有感受到方程的便利。教師可以制造一些特殊問題激發(fā)學生對方程的興趣。讓學生自發(fā)地感覺利用算術法的局限性，自覺主動地去探究方程的方法。建議教師對幾個模塊講解后拔高層次。首先,專設例如“雞兔同籠問題”“年齡問題”等模塊進行訓練。讓學生分別利用選擇算術法與方程法進行計算，并討論算理與算法。在小組合作、探究、對比中，總結(jié)方程與算數(shù)法的優(yōu)缺點以及如何選擇使用。其次，平時注意積累、收集特殊現(xiàn)實問題（使用方程是唯一或者最簡便方法）。對其進行情景設計并應用于教學。例如，一快遞員上午送走了車內(nèi)一半的貨物，又增加了18件貨物，最后車內(nèi)貨物件數(shù)是原來貨物件數(shù)的兩倍，原來有幾件貨物？通過拋出這些類似的問題，讓學生在做與討論中感受到方程帶給人們的便捷。最后，設計開放性問題。對同一個問題不斷進行條件與結(jié)論互相交換、增加條件，修改結(jié)論等等的變式訓練，培養(yǎng)發(fā)散思維。讓學生養(yǎng)成不盲目照搬模型，遇到問題靈活應變的習慣。2.4基于兒童的未來發(fā)展，剖析承載的思想方法字母表示數(shù)中體現(xiàn)“符號思想”。教師教學中要幫助學生認識到：符號的參與使某些復雜的文字語言變成了簡單易讀的數(shù)學關系；人們可以從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律并用符號表示；利用符號表示數(shù)量關系，能夠比閱讀文字語言更快速提取其中的關系；在一定的算法下，符號關系還可以解決特定的問題。列方程體現(xiàn)“模型思想”。所謂模型，廣義理解就是現(xiàn)實生活中抽象出來的能夠解決某一類問題的數(shù)學關系。在模塊化學習中所提及的“和差問題”“和倍問題”“單價與總價問題”“行程問題（包括追及和相遇問題）”“盈虧問題”“工程問題”“銷售問題”“雞兔同籠問題”等，不正是學生之前學習過程中腦海里已建立起來的一個個模型嗎？小學生在五年級以前已經(jīng)接觸太多了！而五年級下學期，需要教師幫助學生系統(tǒng)地整理、歸類并總結(jié)：在解決實際問題時，可以先把它歸結(jié)為是否是已經(jīng)建立起來的模型的問題。如果是，可以利用已經(jīng)建立好的模型與問題條件進行對應并獲得等量關系。列方程與解方程中的“化歸思想”。列方程的過程是化歸為已知模型的過程。如果不是已知模型的問題，一樣可以在條件中分析對比出相似的模型