專題冪的運算章末重難點題型【蘇科版】【考點1科學記數法】【方法點撥】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【例1】（2019春?岱岳區期中）花粉的質量很小，一粒某種植物花粉的質量約為，已知，那么用科學記數法表示為A． B． C． D．【變式1-1】（2018春?寶豐縣期中）小聰在用科學記數法記錄一個較小的數時，多數了2位，結果錯誤地記成，正確的結果應是A． B． C． D．【變式1-2】（2019春?龍口市校級期中）1納米等于1米的10億分之一，人的頭發的直徑約為6萬納米，用科學記數法表示一根頭發的直徑是米．A． B． C． D．【變式1-3】（2019春?高新區期中）下列用科學記數法表示正確的是A． B． C． D．【考點2零指數冪和負整數指數冪】【方法點撥】零指數冪：任何不等于0的數的0次冪都等于1.即（≠0）負整數指數冪：任何不等于零的數的（為正整數）次冪，等于這個數的次冪的倒數，即（≠0，是正整數）.【例2】（2019春?電白區期中）若有意義，則取值范圍是 B． C．或 D．且【變式2-1】（2019春?天寧區校級期中）如果，，，那么、、三數的大小為A． B． C． D．【變式2-2】（2019春?東平縣期中）計算的結果是A．0 B．1 C．4 D．6.5【變式2-3】（2019春?秦淮區期中）如果等式，則等式成立的的值的個數為A．1 B．2 C．3 D．4【考點3冪的基本運算判斷】【方法點撥】同底數冪的乘法法則：（都是正整數）同底數冪相乘，底數不變，指數相加。注意底數可以是多項式或單項式。冪的乘方法則：（都是正整數）冪的乘方，底數不變，指數相乘。積的乘方法則：（是正整數）積的乘方，等于各因數乘方的積。同底數冪的除法法則：（都是正整數，且同底數冪相除，底數不變，指數相減?！纠?】（2019秋?永春縣期中）下列計算錯誤的是A． B． C． D．【變式3-1】（2019秋?開福區校級期中）下列運算正確的是A． B． C． D．【變式3-2】（2019春?皇姑區校級期中）下列運算正確的是A． B． C． D．【變式3-3】（2019春?雨城區校級期中）下列運算正確的是A． B． C． D．【考點4冪的混合運算】【例4】（2019春?銅山區期中）計算：（1）（2）【變式4-1】（2018秋?長寧區校級期中）計算：【變式4-2】（2018秋?浦東新區期中）計算：．【變式4-3】（2019秋?杜爾伯特縣校級期中）計算：．【考點5巧用冪的運算法則進行簡便計算】【例5】（2019春?城關區校級期中）計算：【變式5-1】（2019春?欒城區期中）計算：．【變式5-2】（2019春?太倉市期中）用簡便方法計算下列各題（1）．（2）．【變式5-3】（2019春?鼓樓區校級期中）計算：（1）；（2）．【考點6冪的逆運算】【例6】（2019春?邵陽縣校級期中）已知，，用含，的式子表示下列代數式，求：（1）；（2）的值．【變式6-1】（2019春?杭州期中）（1）已知，，用含，的式子表示下列代數式：①求：的值②求：的值（2）已知，求的值．【變式6-2】（2019秋?化德縣校級期中）（1）已知，且，求的值．（2）已知是整數，且，求的值．【變式6-3】（2019秋?鄒平縣校級期中）求值（1）已知，求的值．（2）已知，，求的值．【考點7巧用冪的運算法則比較大小】【例7】（2019春?涉縣期中）若，，，，試比較，，，的大?。咀兪?-1】（2019春?馬鞍山期中）若．（1）猜想與的大小關系；（2）證明你的猜想．【變式7-2】（2019春?揚州校級期中）已知，，，請用“”把它們按從大到小的順序連接起來，并說明理由．【變式7-3】（2019春?清遠校級期中）運用所學的“冪的運算性質”，，，．（1）已知，，，比較、、的大?。?）已知，，找出、、之間的等量關系；（3）試比較與的大小．【考點8冪的運算中的新定義問題】【例8】（2018春?金山區期中）觀察下列等式：結論：兩個有理數乘積的乘方等于把積的每一個因數分別乘方，再把所得的冪相乘．根據上述材料完成以下各題：（1）填空：．（2）填空：．（3）解方程：．【變式8-1】（2019春?瑤海區期中）（1）你發現了嗎？，由上述計算，我們發現；（2）仿照（1），請你通過計算，判斷與之間的關系．（3）我們可以發現：（4）計算：．【變式8-2】（2019春?南山區校級期中）規定兩正數，之同的一種運算，記作：，如果，那么．例如，所以（1）填空：，（2）小明在研究這和運算時發現一個現象：，，小明給出了如下的證明：設，，即，即，所以，，所以，，請你嘗試運用這種方法說明下面這個等式成立：，，，【變式8-3】（2019秋?南安市期中）材料：一般地，若且，那么叫做以為底的對數，記作，比如指數式可以轉化為對數式，對數式可以轉化為指數式．根據以上材料，解決下列問題：（1）計算：，，；（2）觀察（1）中的三個數，猜測：且，，，并加以證明這個結論；（3）已知：，求和的值且．【考點1同位角、內錯角、同旁內角的判斷】【方法點撥】直線AB，CD被第三條直線EF所截。這三條直線形成了兩個頂點，圍繞兩個頂點的8個角之間有三種特殊關系：*同位角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,CD的同側，在第三條直線EF的同旁（即位置相同），這樣的一對角叫做同位角；*內錯角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,CD之間，在第三條直線EF的兩旁（即位置交錯），這樣的一對角叫做內錯角；*同旁內角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,CD之間，在第三條直線EF的同旁，這樣的一對角叫做同旁內角；【例1】（2019春?巴州區校級期中）如圖，下列說法中錯誤的是（）A．∠3和∠5是同位角 B．∠4和∠5是同旁內角 C．∠2和∠4是對頂角 D．∠2和∠5是內錯角【變式1-1】（2019春?西湖區校級月考）同學們可仿照圖用雙手表示“三線八角”圖形（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．下面三幅圖依次表示（）A．同位角、同旁內角、內錯角 B．同位角、內錯角、同旁內角 C．同位角、對頂角、同旁內角 D．同位角、內錯角、對頂角【變式1-2】（2019春?閔行區期中）如圖，同位角共有（）對．A．6 B．5 C．8 D．7【變式1-3】（2019春?九龍坡區校級期中）如圖，下列結論正確的是（）A．∠4和∠5是同旁內角 B．∠3和∠2是對頂角 C．∠3和∠5是內錯角 D．∠1和∠5是同位角【考點2平行線的判定】【方法點撥】兩條直線被第三條直線所截，以下幾種情況可以判定這兩條直線平行：平行線判定定理1：同位角相等，兩直線平行平行線判定定理2：內錯角相等，兩直線平行平行線判定定理3：同旁內角互補，兩直線平行平行線判定定理4：兩條直線同時垂直于第三條直線，兩條直線平行【例2】（2019春?西湖區校級月考）如圖，下列條件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判斷直線l1∥l2的有（）A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④【變式2-1】（2019春?西湖區校級月考）如圖，點E在AC的延長線上，對于給出的四個條件：（1）∠3＝∠4；（2）∠1＝∠2；（3）∠A＝∠DCE；（4）∠D+∠ABD＝180°．能判斷AB∥CD的有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-2】（2019春?南關區校級月考）如圖，下列條件，其中能判定AB∥CD的有（）①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ABC＝180°．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【變式2-3】（2019春?吳江區期中）以下四種沿AB折疊的方法中，由相應條件不一定能判定紙帶兩條邊線a，b互相平行的是（）A．展開后測得∠1＝∠2 B．展開后測得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．測得∠1＝∠2 D．測得∠1＝∠2【考點3利用平行線的性質求角】【方法點撥】兩條直線平行則同位角、內錯角相等，同旁內角互補.【例3】（2019春?澗西區校級月考）如圖所示，將含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角頂點放在相互平行的兩條直線其中一條上，若∠1＝38°，則∠2的度數（）A．28° B．22° C．32° D．38°【變式3-1】（2019春?西湖區校級月考）如圖，把三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若∠1＝32°，則∠2的度數為（）A．68° B．58° C．48° D．32°【變式3-2】（2018秋?襄汾縣期末）如圖，某江段江水流向經過B、C、D三點拐彎后與原來方向相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，則∠CDE的度數為（）A．20° B．25° C．35° D．50°【變式3-3】（2018秋?方城縣期末）將AD與BC兩邊平行的紙條ABCD按如圖所示折疊，則∠1的度數為（）A．72° B．45° C．56° D．60°【考點4利用平行線的判定及性質證明平行】【例4】（2019秋?渦陽縣期中）已知：如圖，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求證：AB∥CD．（在每步證明過程后面注明理由）【變式4-1】（2019春?江城區期中）如圖，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB與DG平行嗎？為什么？【變式4-2】（2019春?懷寧縣期末）如圖，已知點A．D，B在同一直線上，∠1＝∠2，∠3＝∠E，試判斷DE、BC有怎樣的位置關系，并說明理由．【變式4-3】（2019春?明光市期末）如圖：已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，請問AB與DE是否平行，并說明理由．【考點5利用平行線的判定及性質證明角相等】【例5】如圖，已知BD⊥AC，EF⊥AC，點D，F是垂足，∠1＝∠2，求證：∠ADG＝∠C．【變式5-1】（2019春?彭澤縣期中）如圖，已知：∠ABE+∠DEB＝180°，∠1＝∠2，則∠F與∠G的大小關系如何？請說明理由【變式5-2】（2019春?惠陽區校級期中）如圖，已知點E、F在直線AB上，點G在線段CD上，ED與FG交于點H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）求證：CE∥GF；（2）試判斷∠AED與∠D之間的數量關系，并說明理由；（3）若∠D＝30°，求∠AED的度數．【變式5-3】（2019春?北流市期末）如圖，∠1＝∠C，∠2+∠D＝90°，BE⊥FD于G，證明∠B＝∠C．【考點6平移變換的運用】【例6】（2019春?西湖區校級月考）如圖，將周長為12cm的△ABC沿邊BC向右平移3cm得到△A′B′C′，則四邊形ABC′A′的周長為（）A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm【變式6-1】（2019春?西湖區校級月考）如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將其中一個沿點B到點C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，BC＝15，平移距離為6，則陰影部分的面積（）A．40 B．42 C．45 D．48【變式6-2】（2019春?西湖區校級月考）如圖，兩個形狀、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重疊在一起，固定三角形ABC不動，將三角形DEF向右平移，當點E和點C重合時，停止移動，設DC交AC于G．給出下列結論：①四邊形ABEG的面積與CGDF的面積相等；②AD∥EC，且AD＝EC，則（）A．①，②都正確 B．①正確，②錯誤 C．①，②都錯誤 D．①錯誤，②正確【變式6-3】（2019?邢臺二模）如圖，有兩條長分別為a、b的鐵絲，其中長為a的鐵絲恰好圍成一個大正方形；AB是大正方形的對角線，把AB分成n條相等的線段，再以每條線段作為小正方形的對角線，長為b的鐵絲恰好能圍成n個這樣的小正方形；若均不考慮接口情況，則a、b的大小關系是（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b【考點7利用平移變換作圖】【例7】（2019春?西湖區校級月考）作圖題．（1）過點M作直線AC的平行線；（2）將三角形ABC平移，使得點B與點B′重合．【變式7-1】（2019春?西湖區校級月考）如圖，正方形網格中，△ABC為格點三角形（頂點都是格點），將△ABC向左平移5個單位得到△DEF．（1）在正方形網格中，作出△DEF；（2）設網格小正方形的邊長為1，求平移過程中線段AC所掃過的圖形面積．【變式7-2】（2019春?西湖區校級月考）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中．（1）把△ABC進行平移，得到△A′B′C′，使點A與A′對應，請在網格中畫出△A′B′C′；（2）線段AA′與線段CC′的關系是平行且相等．【變式7-3】（2019春?西湖區校級月考）畫圖：如圖1，三角形ABC可通過平移得到三角形DEF，此時點A落在點D．（1）請描述三角形ABC經過兩次平移后得到三角形DEF的過程．（2）平移三角形ABC使點B落在點D，在圖2中作出平移后的三角形．【考點8三角形的三邊關系】【方法點撥】三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊?！纠?】（2019春?福州期中）用一根長為10cm的繩子圍成一個三角形，若所圍成的三角形中一邊的長為2cm，且另外兩邊長的值均為整數，則這樣的圍法有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【變式8-1】（2019秋?銀海區期中）a，b，c為△ABC的三邊，化簡|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，結果是（）A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【變式8-2】（2019春?秦淮區期中）已知一個三角形中兩條邊的長分別是a、b，且a＞b，那么這個三角形的周長L的取值范圍是（）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b） C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b【變式8-3】（2019?孝感校級期中）如圖，用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框（形狀不限），不計螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為3、4、5、7，且相鄰兩木條的夾角均可調整．若調整木條的夾角時不破壞此木框，則任意兩個螺絲間的距離的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【考點9三角形內角和與平行線】【例9】（2019秋?自貢期中）如圖，將一副三角板如圖放置，若AE∥BC，則∠BAD＝（）A．90° B．85° C．75° D．65°【變式9-1】（2019春?長安區期末）一副三角板如圖放置，點D在CB的延長線上，EF∥CD，∠C＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠EFD＝30°，則∠DFB＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°【變式9-2】（2019?常熟市二模）如圖，△ABC是一塊直角三角板，∠C＝90°，∠A＝30°，現將三角板疊放在一把直尺上，AC與直尺的兩邊分別交于點D、E，AB與直尺的兩邊分別交于點F、G，若∠1＝40°，則∠2的度數為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【變式9-3】（2019?臥龍區一模）如圖，直線m∥n，△ABC的頂點B，C分別在直線n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝30°，則∠2的度數為（）A．140° B．130° C．120° D．110°【考點10三角形外角性質與平行線】【例10】（2019秋?洛陽期中）如圖，AB∥CD，∠B＝2∠D，∠E＝22°，則∠D的度數為（）A．22° B．44° C．68° D．30°【變式10-1】（2019春?西湖區校級月考）已知l1∥l2，一塊含30°角的直角三角板如圖所示放置，∠2＝32°，那么∠1等于（）A．28° B．32° C．20° D．16°【變式10-2】（2019春?泰興市校級期中）如圖，直線AE∥DF，若∠ABC＝120°，∠DCB＝95°，則∠1+∠2的度數為（）A．45° B．55° C．35° D．不能確定【變式10-3】（2019春?瑞安市期末）如圖，已知直線EC∥BD，直線CD分別與EC，BD相交于C，D兩點．在同一平面內，把一塊含30°角的直角三角尺ABD（∠ADB＝30°，∠ABD＝90°）按如圖所示位置擺放，且AD平分∠BAC，則∠ECA＝（）A．15° B．2 C．25 D．30°【考點11三角形內角和與外角性質】【例11】（2018秋?武清區期中）小明把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，則∠1+∠2等于（）A．120° B．150° C．180° D．210°【變式11-1】（2019?景洪市一模）如圖，五角星的頂點為A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數為（）A．90° B．180° C．270° D．360°【變式11-2】（2019秋?莆田期中）如圖，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（）A．360° B．300° C．180° D．240°【變式11-3】（2019春?江陰市校級月考）如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F為多少度（）A．360° B．720° C．540° D．240°【考點12三角形內角和與角平分線】【例12】（2019秋?河西區期中）如圖，在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB．（Ⅰ）若∠A＝60°，則∠BOC的度數為；（Ⅱ）若∠A＝100°，則∠BOC的度數；（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度數，并說明理由．【變式12-1】（2019秋?長興縣期中）如圖，AD是△ABC的高線，AE是角平分線，若∠BAC：∠B：∠C＝6：3：1，求∠DAE的度數．【變式12-2】（2019春?南崗區校級期中）如圖，AE、BF分別為△ABC的角平分線，它們相交于點O．（1）試說明∠BOA＝90°+∠C；（2）AD是△ABC的高，∠BOA＝115°，∠BAC＝60°時，求∠DAE的度數．【變式12-3】（2019秋?南昌期中）如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如圖2，∠CAB與∠BD的平分線AP、DP相交于點P，求證：∠B+∠C＝2∠P．【考點13三角形的外角性質與角平分線】【例13】（2018秋?無為縣期末）如圖，AC平分∠DCE，且與BE的延長線交于點A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，則∠BEC＝．（直接在橫線上填寫度數）（2）小明經過改變∠A，∠B的度數進行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三個角之間存在固定的數量關系，請你用一個等式表示出這個關系，并進行證明．解：（2）關系式為：證明：【變式13-1】（2019春?內江期末）如圖，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分線，BF平分∠ABC交AE于點F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度數．【變式13-2】（2019春?大名縣期末）如圖，在△ABC中，點E在AC上，∠AEB＝∠ABC．（1）圖1中，作∠BAC的角平分線AD，分別交CB、BE于D、F兩點，求證：∠EFD＝∠ADC；（2）圖2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分線AD，分別交CB、BE的延長線于D、F兩點，試探究（1）中結論是否仍成立？為什么？【變式13-3】（2019秋?九龍坡區校級月考）探究：（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求證：∠P＝90°+∠A．（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何數量關系，并證明你的結論．（3）如圖3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何數量關系，請直接寫出結論．【考點14多邊形內角與外角】【例14】（2019秋?岳池縣期中）一個多邊形的每一個內角都等于140°，那么從這個多邊形的一個頂點出發的對角線的條數是（）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條【變式14-1】（2019春?內江期中）馬小虎在計算一個多邊形的內角和時，由于粗心少算了2個內角，其和等于830°，則該多邊形的邊數是（）A．7 B．8 C．7或8 D．無法確定【變式14-2】（2019春?諸城市期中）過多邊形的一個頂點可以作7條對角線，則此多邊形的內角和是外角和的（）A．4倍 B．5倍 C．6倍 D．3倍【變式14-3】（2019?涼山州期中）一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內角和為1080°，那么原多邊形的邊數為（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【考點15折疊中的角度問題】【例15】（2019秋?蠡縣期中）（1）如圖，在三角形紙片ABC中．∠A＝64°，∠B＝76°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內部，折痕為MN．如果∠1＝17°，求∠2的度數；（2）小明在（1）的解題過程中發現∠1+∠2＝2∠C，小明的這個發現對任意的三角形都成立嗎？請說明理由．【變式15-1】（2019春?鎮平縣期末）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A′處，折痕為DE．已知∠BDA′＝110°，∠C＝70°，∠B＝80°，設∠CFD＝α，∠CEA′＝β，求α和β的大?。咀兪?5-2】（2019春?常熟市月考）將紙片△ABC沿DE折疊使點A落在A′處的位置．（1）如果A′落在四邊形BCDE的內部（如圖1），∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數量關系？并說明理由．（2）如果A′落在四邊形BCDE的外部（如圖2），這時∠A′與∠1、∠2之間又存在怎樣的數量關系？并說明理由．【變式15-3