代數系統的一般性質嘉應1第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三例6.1<Z+,+>是半群。<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群和獨異點，其中+表示普通加法。幺元是0。<N,+,0>,…,<R,+,0><Mn(R),·>是半群和獨異點,其中·表示矩陣乘法。矩陣乘法的幺元是n階單位矩陣E.<Mn(R),·,E><Σ*,?>是半群和獨異點,其中Σ是有窮字母表,?表示連接運算.連接運算的幺元是空串.<∑*,?,><P(B),>是半群和獨異點,其中表示集合的對稱差運算．對稱差運算的幺元是.<Zn,>是半群和獨異點,其中Zn={0,1,…,n-1},表示模n加法。模n加法的幺元是0.<Zn,,0>.2第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三因為半群V=<S,?>中的運算?是可結合的,可以定義運算的冪．對任意的x∈S,規定xn是

x1=x,

xn+1=xn?x,n為正整數。易證x的冪遵從以下規律：

xn?xm=xn+m,(xn)m=xnm,n為正整數．半群中運算的冪3第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三在獨異點V=<S,?,e>中,如果規定x0=e(x是S中的任意元素),那么有關半群中冪的定義可以變成

x0=e

xn+1=xn?xn為非負整數．而關于冪的兩個運算公式不變,只要其中的m和n是非負整數就可以了。獨異點中運算的冪4第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三例5第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三6第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三子半群半群的子代數叫做子半群．如果V=<S,?>是半群,<T,?>就是V的子半群,需要滿足：

T是S的非空子集，

T對V中的運算?是封閉的，即可。7第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三獨異點的子代數叫做子獨異點.對獨異點V=<S,?,e>,<T,?,e>構成V的子獨異點，需要滿足：

T是S的非空子集，

T要對V中的運算?封閉，

e∈T，即可。子獨異點8第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三9第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三試證上述定理并思考：

若干個子半群的并是子半群嗎？10第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三積半群定義設V1=<S1,?>,V2=<S2,*>為半群,則V1×V2=<

S1×S2,·>也是半群,且對任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有

<a,b>·<c,d>=<a?c,b*d>稱V1×V2為V1和V2的積半群.11第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三半群同態定義設V1=<S1,?>,V2=<S2,*>為半群,

:S1→S2，且對任意x,y∈S1有

(x?y)=(x)*(y)則稱為半群V1到V2的同態．12第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三例半群V=<S,.>,其中S=.是矩陣乘法。令

:S→S,那么有

==

=這說明是半群V的自同態,但不是滿自同態13第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三獨異點的積代數設V1=<S1,?,e1>,V2=<S2,*,e2>是獨異點,則它們的積代數是

V1×V2=<S1×S2,.,<e1,e2>>其中的·定義與積半群一樣．即：對任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有

<a,b>·<c,d>=<a?c,b*d>14第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三V1=<S1,?,e1>,V2=<S2,*,e2>是獨異點,設

:S1→S2,如果對任意x,y∈S1都有

(x?y)=(x)*(y)

(e1)=e2,則稱為獨異點V1到V2的同態?獨異點的同態15第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三例獨異點V=其中S=，.是矩陣乘法。令

:S→S,那么對任意x,y∈S都有

16第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三但是而不是獨異點V的么元,因此,不是獨異點V的自同態。這就是說,如果把V看作半