2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在邊長為2的菱形中，，是的中點，則A． B． C． D．2．已知向量，的夾角為，且，，則與的夾角等于A． B． C． D．3．函數的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．54．已知直線l的方程為2x+3y＝5，點P（a，b）在l上位于第一象限內的點，則的最小值為（）A． B． C． D．5．數列的一個通項公式為（）A． B．C． D．6．數列的通項公式為，若數列單調遞增，則的取值范圍為A． B． C． D．7．已知為銳角，，則（）A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示(實線部分)，若圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積是()A． B． C． D．9．已知數列的前項和為，令，記數列的前項為，則（）A． B． C． D．10．已知等比數列的前n項和為，若，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量、滿足||＝2，且與的夾角等于，則||的最大值為_____．12．在中，若，則____________.13．已知函數的最小正周期為，且的圖象過點，則方程所有解的和為________.14．已知向量，，且，則______．15．在區間[-1,2]上隨機取一個數x,則x∈[0,1]的概率為.16．已知的圓心角所對的弧長等于，則該圓的半徑為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列中，，.(1)令，求證：數列為等比數列；(2)求數列的通項公式；(3)令，為數列的前項和，求.18．某城市的華為手機專賣店對該市市民使用華為手機的情況進行調查.在使用華為手機的用戶中，隨機抽取100名，按年齡(單位:歲）進行統計的頻率分布直方圖如圖：（1）根據頻率分布直方圖，分別求出樣本的平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表)和中位數的估計值(均精確到個位）；（2）在抽取的這100名市民中，按年齡進行分層抽樣，抽取20人參加華為手機宣傳活動，再從這20人中年齡在和的人群里，隨機選取2人各贈送一部華為手機，求這2名市民年齡都在內的概率.19．某企業用180萬元購買一套新設備，該套設備預計平均每年能給企業帶來100萬元的收入，為了維護設備的正常運行，第一年需要各種維護費用10萬元，且從第二年開始，每年比上一年所需的維護費用要增加10萬元（1）求該設備給企業帶來的總利潤（萬元）與使用年數的函數關系；（2）試計算這套設備使用多少年，可使年平均利潤最大？年平均利潤最大為多少萬元？20．若數列滿足：存在正整數，對任意的，使得成立，則稱為階穩增數列.（1）若由正整數構成的數列為階穩增數列，且對任意，數列中恰有個，求的值；（2）設等比數列為階穩增數列且首項大于，試求該數列公比的取值范圍；（3）在（1）的條件下，令數列（其中，常數為正實數），設為數列的前項和.若已知數列極限存在，試求實數的取值范圍，并求出該極限值.21．如圖，在平面直角坐標系中，銳角和鈍角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點，且.（1）求的值；（2）若點的橫坐標為，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

選取向量為基底，用基底表示，然后計算．【詳解】由題意，，．故選D．【點睛】本題考查向量的數量積，平面向量的線性運算，解題關鍵是選取基底，把向量用基底表示．2、C【解析】

根據條件即可求出，從而可求出，，，然后可設與的夾角為，從而可求出，根據向量夾角的范圍即可求出夾角．【詳解】，；，，；設與的夾角為，則；又，，故選．【點睛】本題主要考查向量數量積的定義運用，向量的模的求法，以及利用數量積求向量夾角．3、D【解析】

由可求得所處的范圍，進而得到函數最大值.【詳解】的最大值為故選：【點睛】本題考查函數最值的求解，關鍵是明確余弦型函數的值域，屬于基礎題.4、C【解析】

由題意可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），將所求式子化為b的關系式，由基本不等式可得所求最小值．【詳解】直線l的方程為2x+3y＝5，點P（a，b）在l上位于第一象限內的點，可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），則[（11﹣6b）+（9+6b）]（）（7），當且僅當時，即b，a，上式取得最小值，故選：C．【點評】本題考查基本不等式的運用：求最值，考查變形能力和化簡運算能力，屬于中檔題．5、C【解析】

利用特殊值,將代入四個選項即可排除錯誤選項.【詳解】將代入四個選項,可得A中B中D中只有C中所以排除ABD選項故選：C【點睛】本題考查了根據幾個項選擇數列的通項公式,特殊值法是解決此類問題的簡單方法,屬于基礎題.6、C【解析】

數列{an}單調遞增?an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化簡解出即可得出．【詳解】數列{an}單調遞增?an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化為：a＜n1+n．∴a＜1．故選C．【點睛】本題考查了等比數列的單調性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7、A【解析】

先將展開并化簡，再根據二倍角公式，計算可得?！驹斀狻坑深}得，，整理得，又為銳角，則，，解得.故選：A【點睛】本題考查兩角和差公式以及二倍角公式，是基礎題。8、A【解析】

由三視圖得出原幾何體是由半個圓錐與半個圓柱組成的組合體，并且由三視圖得出圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高，再由圓柱和圓錐的體積公式得解.【詳解】由三視圖可知，幾何體是由半個圓錐與半個圓柱組成的組合體，其中圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高所以圓柱的體積，圓錐的體積，所以組合體的體積．故選B．【點睛】本題主要考查空間幾何體的三視圖和空間幾何體圓柱和圓錐的體積，屬于基礎題．9、B【解析】

由數列的前項和求通項，再由數列的周期性及等比數列的前項和求解．【詳解】因為，當時，得；當，且時，，不滿足上式，∴，所以，當時，；當是偶數時，為整數，則，所以；故對于任意正整數，均有：因為，所以．因為為偶數，所以，而，所以.故選：B．【點睛】本題考查數列的函數概念與表示、余弦函數的性質、正弦函數的誘導公式以及數列求和，解題的關鍵是當時，，和的推導，本題屬于難題．10、D【解析】

根據等比數列前n項和的性質可知、、成等比數列,即可得關于的等式,化簡即可得解.【詳解】等比數列的前n項和為,若,,根據等比數列前n項和性質可知,、、滿足：化簡可得故選：D【點睛】本題考查了等比數列前n項和的性質及簡單應用,屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

在中，令，可得，可得點在半徑為的圓上，，可得，進而可得的最大值．【詳解】∵向量、滿足||＝1，且與的夾角等于，如圖在中，令，，可得可得點B在半徑為R的圓上，1R4，R＝1．則||的最大值為1R＝4【點睛】本題考查了向量的夾角、模的運算，屬于中檔題．12、2【解析】

根據正弦定理角化邊可得答案.【詳解】由正弦定理可得.故答案為：2【點睛】本題考查了正弦定理角化邊，屬于基礎題.13、【解析】

由周期求出，由圖象的所過點的坐標求得，【詳解】由題意，又，且，∴，，由得或，又，，∴或，或，兩根之和為．故答案為：．【點睛】本題考查求三角函數的解析式，考查解三角方程．掌握正切函數的性質是解題關鍵．14、【解析】

根據的坐標表示，即可得出，解出即可．【詳解】，，．【點睛】本題主要考查平行向量的坐標關系應用．15、【解析】

直接利用長度型幾何概型求解即可.【詳解】因為區間總長度為，符合條件的區間長度為，所以，由幾何概型概率公式可得，在區間[-1,2]上隨機取一個數x,則x∈[0,1]的概率為，故答案為：.【點睛】解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與長度有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總長度以及事件的長度.16、【解析】

先將角度化為弧度，再根據弧長公式求解．【詳解】解：圓心角，弧長為，，即該圓的半徑長．故答案為：．【點睛】本題考查了角度和弧度的互化以及弧長公式的應用問題，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）（3）【解析】

(1)計算，得證數列為等比數列.(2)先求出的通項公式，再計算數列的通項公式.(3)計算，根據錯位相減法和分組求和法得到答案.【詳解】(1)，，，故數列是以為首項，以為公比的等比數列.(2)由(1)知，由，得數列的通項公式為.(3)由(2)知，記.有.兩式作差得，得，則.【點睛】本題考查了數列的證明，數列通項公式，分組求和，錯位相減法，意在考查學生的計算能力.18、（1）見解析（2）【解析】分析：（1）直接利用頻率分布直方圖的平均值和中位數公式求解.(2)利用古典概型求這2名市民年齡都在內的概率.詳解：(Ⅰ)平均值的估計值:中位數的估計值：因為，所以中位數位于區間年齡段中，設中位數為，所以，.(Ⅱ)用分層抽樣的方法，抽取的20人，應有4人位于年齡段內，記為，2人位于年齡段內，記為.現從這6人中隨機抽取2人，設基本事件空間為，則設2名市民年齡都在為事件A，則,所以.點睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖，考查平均值和中位數的計算和古典概型，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和基本的運算能力.(2)先計算出每個小矩形的面積，通過解方程找到左邊面積為0.5的點P，點P對應的數就是中位數.一般利用平均數的公式計算.其中代表第個矩形的橫邊的中點對應的數，代表第個矩形的面積.19、（1），（2）這套設備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元【解析】

（1）運用等差數列前項和公式可以求出年的維護費，這樣可以由題意可以求出該設備給企業帶來的總利潤（萬元）與使用年數的函數關系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利潤最大值.【詳解】解：（1）由題意知，年總收入為萬元年維護總費用為萬元.∴總利潤，即，（2）年平均利潤為∵，∴當且僅當，即時取“”∴答：這套設備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元.【點睛】本題考查了應用數學知識解決生活實際問題的能力，考查了基本不等式的應用，考查了數學建模能力，考查了數學運算能力.20、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）設，由題意得出，求出正整數的值即可；（2）根據定義可知等比數列中的奇數項構成的等比數列為階穩增數列，偶數項構成的等比數列也為階穩增數列，分和兩種情況討論，列出關于的不等式，解出即可；（3）求出，然后分、和三種情況討論，求出，結合數列的極限存在，求出實數的取值范圍.【詳解】（1）設，由于數列為階穩增數列，則，對任意，數列中恰有個，則數列中的項依次為：、、、、、、、、、、、、、、、、，設數列中值為的最大項數為，則，由題意可得，即，，解得，因此，；（2）由于等比數列為階穩增數列，即對任意的，，且.所以，等比數列中的奇數項構成的等比數列為階穩增數列，偶數項構成的等比數列也為階穩增數列.①當時，則等比數列中每項都為正數，由可得，整理得，解得；②當時，（i）若為正奇數，可設，則，由，得，即，整理得，解得；（ii）若為正偶數時，可設，則，由，得，即，整理得，解得.所以，當時，等比數列為階穩增數列.綜上所述，實數的取值范圍是；（3），由（1）知，則.①當時，，，則，此時，數列的極限不存在；②當時，，，上式下式得，所以，，則.（i）若時，則，此時數列的極限不存在；（ii）當時，，此時，數列的極限存在.綜上所述，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查數列新定義“階穩增數列”的應用，涉及等比數列的單調性問題、數列極限的存在性問題，