./線面角的求法1．直接法：平面的斜線與斜線在平面內的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段,垂線段,斜線在平面內的射影所組成的直角三角形,垂線段是其中最重要的元素,它可以起到聯系各線段的作用。例1〔如圖1四面體ABCS中,SA,SB,SC兩兩垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,M為AB的中點,求〔1BC與平面SAB所成的角?！?SC與平面ABC所成的角。解:〔1∵SC⊥SB,SC⊥SA,圖1∴SC⊥平面SAB故SB是斜線BC在平面SAB上的射影,∴∠SBC是直線BC與平面SAB所成的角為60°?！?連結SM,CM,則SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,∴面ABC⊥面SCM過S作SH⊥CM于H,則SH⊥平面ABC∴CH即為SC在面ABC內的射影?！蟂CH為SC與平面ABC所成的角。sin∠SCH=SH／SC∴SC與平面ABC所成的角的正弦值為√7／7〔"垂線"是相對的,SC是面SAB的垂線,又是面ABC的斜線.作面的垂線常根據面面垂直的性質定理,其思路是：先找出與已知平面垂直的平面,然后一面內找出或作出交線的垂線,則得面的垂線。2.利用公式sinθ=h／ι其中θ是斜線與平面所成的角,h是垂線段的長,ι是斜線段的長,其中求出垂線段的長〔即斜線上的點到面的距離既是關鍵又是難點,為此可用三棱錐的體積自等來求垂線段的長。例2〔如圖2長方體ABCD-A1B1C1D1,AB=3,BC=2,A1A=4,求AB與面AB1C1D所成的角。解：設點B到AB1C1D的距離為h,∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB,易得h=12／5,設AB與面AB1C1D所成的角為θ,則sinθ=h／AB=4／5,∴AB與面AB1C1D所成的角為arcsin0.83.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2〔如圖3若OA為平面的一條斜線,O為斜足,OB為OA在面α內的射影,OC為面α內的一條直線,其中θ為OA與OC所成的角,圖3θ1為OA與OB所成的角,即線面角,θ2為OB與OC所成的角,那么cosθ=cosθ1·cosθ2,它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個平面內的直線所成的一切角中最小的角〔常稱為最小角定理1．平面的斜線和平面所成的角：已知,如圖,是平面的斜線,是斜足,垂直于平面,為垂足,則直線是斜線在平面內的射影。設是平面內的任意一條直線,且,垂足為,又設與所成角為,與所成角為,與所成角為,則易知：,又∵,可以得到：,注意：〔若,則由三垂線定理可知,,即；與"是平面內的任意一條直線,且,垂足為"不相符。易得：又即可得：．則可以得到：〔1平面的斜線和它在平面內的射影所成角,是這條斜線和這個平面內的任一條直線所成角中最小的角；〔2斜線和平面所成角：一個平面的斜線和它在這個平面中的射影的夾角,叫做斜線和平面所成角〔或叫斜線和平面的夾角。說明：1．若,則規定與所成的角是直角；2．若或,則規定與所成的角為；3．直線和平面所成角的范圍為：；4．直線和平面所成角是直斜線與該平面內直線所成角的最小值〔。例3〔如圖4已知直線OA,OB,OC兩兩所成的角為60°,,求直線OA與面OBC所成的角的余弦值。解：∵∠AOB=∠AOC∴OA在面OBC內的射影在∠BOC的平分線OD上,則∠AOD即為OA與面OBC所成的角,可知∠DOC=30°,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC,∴cos60°=cos∠AOD·cos30°∴cos∠AOD=√3／3∴OA與面OBC所成的角的余弦值為√3／3。2．例題分析：例1．如圖,已知是平面的一條斜線,為斜足,為垂足,為內的一條直線,,求斜線和平面所成角。解：∵,由斜線和平面所成角的定義可知,為和所成角,又∵,∴,∴,即斜線和平面所成角為．例2．如圖,在正方體中,求面對角線與對角面所成的角?！冀狻健卜ㄒ贿B結與交于,連結,∵,,∴平面,∴是與對角面所成的角,在中,,∴．〔法二由法一得是與對角面所成的角,又∵,,∴,∴．說明：求直線與平面所成角的一般方法是先找斜線在平面中的射影,后求斜線與其射影的夾角。另外,在條件允許的情況下,用公式求線面角顯得更加方便。例3．已知空間四邊形的