傳染病的數學建模與分析時間：2010年9月7日地點：2樓階梯教室傳染病建模的意義傳染病歷來就是威脅人類健康的大敵.人類征服傳染病的道路依然曲折漫長。近20年來像AIDS病、SARS、禽流感等重大傳染病相繼爆發.在全球蔓延。2008手足口病的爆發曾給嬰幼兒的健康帶來了極大的危害。2009年的H1N1又來侵害年輕的我們。結核、白喉、鼠疫、登革熱等一些老的傳染病也重新抬頭.給人們工作、生活和國民經濟的發展帶來了極大的影響。2003年突發的SARS傳染病給我們的公共衛生體系應對突發性傳染病提出了新的要求.也給數學在研究傳染病動力學性態和預測等方面提出了一系列新問題。因此.研究和分析傳染病傳播的數量規律.建立有效的防控機制既是擺在我們面前的一個困難問題.也是一項緊迫任務。建立數學模型的目的是：描述傳染病的傳播過程；分析受感染人數的變化規律；預報傳染病高潮到來的時刻；預防傳染病蔓延的手段。基本的傳染病動力學模型在傳染病動力學中.長期以來主要使用的數學模型是所謂的“倉室”（compartment）模型.它的基本思想由Kermack與McKendrick創立于1927年.但一直到現在仍然被廣泛的使用和不斷地發展著。下面我們以他們提出的一個經典的基本模型為例.來闡述建立倉室模型的基本思想和有關基本概念.并顯示由模型能得到的主要結論。Kermack-McKendrick的倉室模型所謂倉室模型就是針對某類傳染病將該地區的人群分成以下三類（即三個倉室）：易感者（Susceptibles）類其數量記為.表示時刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人數。染病者（Infectives）類其數量記為.表示時刻已被感染成病人而且具有傳染力的人數。移出者（Removed）類其數量記為.表示時刻已從傳染病者類移出的人數。設總人口為.則有。K-M的模型是一個十分簡單粗糙的模型。它的建立基于以下三個基本假設：（1）不考慮人口的出生、死亡、流動等種群動力因素。這意味著考慮一個封閉環境而且假定疾病隨時間的變化要比出生、死亡隨時間變化顯著得多.從而后者可以忽略不計。這樣.此環境的總人口始終保持為一個常數.即.或。（2）一個病人一旦與易感者接觸就必然具有一定的傳染力。這里假設時刻單位時間內.一個病人能傳染的易感者數目與此環境內易感者總數成正比.比例系數為（稱為傳染系數）.從而在時刻單位時間內被所有病人傳染的人數（即新病人數）為。（3）時刻.單位時間內從染病者類移出的人數與病人數量成正比.比例系數為.從而單位時間內移出者的數量為。顯然.是單位時間內移出者在病人中所占的比例.稱為移出率系數.當不致混淆時也簡稱為移出率。當移出者中僅包括康復者時.移出率系數又稱為恢復率系數或簡稱為恢復率。在以上三個基本假設下.易感者從患病到移出的過程可用下述框圖描述：對每一個倉室的人口變化率建立平衡方程式.便得到以下模型：（1-1）下面.我們通過對模型（1-1）的分析和解的漸近性態研究來初步顯示動力學模型對認識傳染病流行規律所起的作用。將（1-1）中三個方程兩端分別相加.得.從而由于（1-1）中前兩個方程中不含.故實際上我們只需先討論前兩個方程：（1-2）由于.單調遞減且有下界（為0）.故極限存在。由（1-2）有.（1-3）可見.當時.達到極大值。可見.當初始時刻易感者數量時.隨時間增長.染病者數量將先增加達到最大值.然后再逐漸減少而最終消亡。這一現象表明.只要.即.就有.疾病就會流行。令（1-4）則當時.疾病流行；當時.疾病不會流行.染病者數量將單調下降而趨向于零。是區分疾病流行與否的閾值。表示在發病初期.一個病人在傳染期內所傳染的人數.稱為基本再生數（具有很強的生物學意義）。應當指出.（1-4）中的表示平均移出時間.也就是平均患病期。事實上.由移出率系數的定義可見.若病人數量為.則單位時間內移出者的數目為.故經過時間.病人全部移出。要防止疾病流行.必須減少使它小于1.由表達式（1-4）可知.這可以通過加強治療以縮短染病期或采取殺菌等措施以減少疾病的傳染力.或通過隔離措施以減少與患病者可能接觸的人數即這里的易感者來實現。更為有效的方法是通過疫苗接種以使易感者成為免疫者而直接進入移出者類.從而減少初始時刻易感者的數量。根據疾病的病理特點.我們可以建立各種模型：1）模型。患病后可以治愈.然后直接變為易感者。2）模型。病人康復后只有暫時免疫力.單位時間內將有的康復者喪失免疫而可能再次被感染。3）模型。在被感染后成為患病者之前有一段病菌潛伏期.并且假定在潛伏期內的感染者沒有傳染力。記時刻潛伏期的人數為.疾病的平均潛伏期為。4）模型.病人康復后僅有暫時免疫力5）無垂直傳染模型。即母體的疾病不會先天傳染給新生兒.故新生兒均為易感者。6）（有垂直傳染且康復者的新生兒不具有免疫力）模型SARS的建模與預測SARS是由一種冠狀病毒引起的傳染性很強的呼吸道傳染病.它主要通過近距離空氣飛沫以及接觸病人呼吸道分泌物和密切接觸進行傳播.也可能通過病人飛沫污染物、如通過手、衣物、食物、水或環境等途徑傳播。SARS潛伏期一般為2-11天.在潛伏期無感染。SARS患者的主要癥狀有：發熱（體溫38℃以上）為首發癥狀.多為高熱.并可持續1-2周以上.可伴有寒戰或其他癥狀.包括頭痛、全身酸痛和不適、乏力.部分病人在早期也會有輕度的呼吸道癥狀(如咳嗽、咽痛等）。SARS在前面的模型中.感染率等都是常量.也沒有考慮因病死亡率.這樣的模型對感染情況變化不大、因病死亡極少的情況比較適用（如HFMD）。但對SARS而言.從2003年4月下旬開始.我國各地普遍采取了十分嚴格的控制措施.使得一個患者能感染他人的情況大大降低.傳染率有了明顯的變化。另外.SARS傳染者的死亡率相對很高.是正常人口死亡率的十多倍.SARS患者的治療和康復情況也隨著經驗的增加而大大改進。所以.我們在模型中需引入隨時間變化的感染率、恢復率和因病死亡率。由于SARS感染者在潛伏期內不易被發現.且潛伏期中不感染或感染很少.所以在這個簡易模型中我們不考慮潛伏期。在建立模型時我們講總人口分為易感者、感染者和恢復者3類.并做以下假設：單位時間內感染人數與現有感染者與現有感染者與易感者的乘積成比例；單位時間內治愈恢復的感染者與現有的感染者成比例；單位時間內死亡的感染者與現有的感染者成比例；SARS感染者治愈后不會再被感染；所有的新生兒都是易感者。根據SARS傳播的規律和這些假設.我們可以得到下面的框圖（圖1-3）和模型。圖1-3SARS傳播的框圖（1-5）其中為時刻的人口總數.是總人口的出生率.是SARS感染者的因病死亡率.其它記號和參數的含義同前。模型中隨時間變化的感染率、治愈率和因病死亡率可以使我們更加方便和實際地描述SARS的傳播規律。模型（1-5）應用的最大困難是易感者的處理。理論上講.每個未被SARS感染的人都是易感者.我國13億人口中除過當時已感染的幾千人外都是易感者。而實際情況使每個人的活動能力和區域有限.SARS是通過接觸傳播的.每個病人根本不可能與全國13億人等可能地接觸。另一方面.如果將13億人作為易感者帶入模型計算時.由于13億易感者和幾千人的感染者的差距如此之大.很難得到合理的計算結果。克服這一困難的途徑是選取有可能和易感者接觸的人員作為易感者.這些人包括醫護人員、感染者的親屬、朋友、同事、旅伴和同去過一些公共場所的人員。由于這些人員也很難統計或估計.所以我們采用另外一條途徑。在一個疾病的傳播過程中.人們最感興趣的問題是當前有多少感染者.以后將會有多少感染者.所以我們將注意力集中在描述感染者數量變化的模型（1-5）中的第二個方程上。根據國家每天公布疫情數據這一特點.我們以天為時間單位將（1-5）的第二個方程離散化得（1-6）其中是第天SARS感染者數量.是第天新增的感染人數.可以看作每個SARS感染者在第天所感染的人數.為第天SARS感染者治愈和死亡的人數。記.我們可以將（1-6）簡化為（1-7）如果我們知道了某一天SARS感染者的數量.并且知道了函數的具體表達式.我們就可以用（1-7）來遞推預測SARS以后隨時間的變化規律。因為國家每天公布疫情數據.（1-7）中所用的初始值很容易得到.困難在于如何確定。由（1-7）可以得到具有下面的表達式（1-8）如果我們知道了若干天SARS感染者的數據.就可以從（1-8）中得到。即當SARS感染的數據公布后.就是已知的函數了。我們需要的是要對未來SARS的感染情況進行預測.不能等實際統計結果出來以后進行回顧。所以我們根據已有的SARS感染數據用（1-8）計算出在這一段時間內的值.再根據在這一段時間內的值進行回歸.得到的函數形式后再代到（1-7）就可以預測未來。通過搜索得到我國在2003年4月21日的SARS感染人數為2158人.再根據附件中的數據可以計算出各天的SARS感染人數.利用（1-8）中的公式計算得到三周內的值。對這三周內的值利用指數曲線回歸可以得到的函數表達式.其回歸的結果見圖1-4。圖1-4每天每個SARS病人平均感染的人數.光滑曲線為擬合曲線.折線為實際計算結果將這樣回歸得到的代入到（1-7）中.就可以得到以后各天SARS感染者的人數和新增感染者人數。其預測結果見圖1-5和圖1-6。圖1-5每天在醫病人數隨時間變化的關系.綠線：實際統計值.藍線：預測值圖1-6每天新增病人隨時間變化的關系.綠線：實際統計值.藍線：預測值這一預測結果我們于2003年5月21日向媒體公布.到SARS在我國的流行結束后.我們收集了2個月SARS感染者的數據.對比我們的模型和3周的數據得到的所給出的預測是相當