函數平均變化率第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日如何用數學來反映山勢的平緩與陡峭程度？第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日HABCDFXkXk+1X0X1X2yO例：如圖，是一座山的剖面示意圖:A是登山者的出發點,H是山頂,登山路線用y=f(x)表示；問題：當自變量x表示登山者的水平位置，函數值y表示登山者所在高度時，陡峭程度應怎樣表示？登山問題x第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日HABCDFXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x1,y1)B(x2,y2)選取平直山路AB放大研究:若自變量的改變量函數值的改變量直線AB的斜率:第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日D1X3HABCDFXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直線AB的斜率:直線CD1的斜率:x第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日平均變化率曲線陡峭程度數形變量變化的快慢建構數學第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日華羅庚數缺形少直觀形缺數難入微華羅庚第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日函數的平均變化率已知函數在點及其附近有定義，令,則當時,比值叫做函數在到之間的平均變化率第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日思考:函數平均變化率的幾何意義？

OABxyY=f(x)x0X0+△xf(x0)f(X0+△x)△x直線AB的斜率函數平均變化率:函數值的改變量與自變量的改變量之比

觀察函數f(x)的圖象過曲線上的點割線的斜率。第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日思考：（1）△x、△y的符號是怎樣的？（2）該變量應如何對應？理解：2、對應性：若第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日

美國康乃大學曾經做過一個有名的“青蛙試驗”。試驗人員把一只健壯的青蛙投入熱水鍋中，青蛙馬上就感到了危險，拼命一縱便跳出了鍋子。試驗人員又把該青蛙投入冷水鍋中，然后開始慢慢加熱水鍋。剛開始，青蛙自然悠哉游哉，毫無戒備。一段時間以后，鍋里水的溫度逐漸升高，而青蛙在緩慢的水溫變化中卻沒有感到危險，最后，一只活蹦亂跳的健壯的青蛙竟活活地給煮死了。

閱讀材料第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例1.求函數在到之間的平均變化率解:當函數在到之間變化的時候函數的平均變化率為分析:當取定值,取不同數值時,該函數的平均變化率也不一樣.第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日(2)求函數

在到之間的平均變化率解:當函數在到之間變化的時候函數的平均變化率為第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日課堂練習：甲乙二人跑步路程與時間的關系以及百米賽跑路程和時間的關系分別如圖（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一個跑得快？（2）甲乙二人百米賽跑，快到終點時，誰跑得比較快？甲乙O

(1)路程tyO甲乙t0t100m第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日知識運用再做兩個題吧!1、已知函數f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及鄰近一點B(-1+Δx,-2+Δy),則Δy/Δx=()A、3B、3Δx-(Δx)2C、3-(Δx)2D、3-Δx

Dy=kx+b在區間上的平均變化率有什么特點？

2.求下列函數的在區間平均變化率：（1）y=1

（2）y=2x+1（3）y=-2x第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日例3：已知函數，計算函數在下列區間上的平均變化率。解:當函數在到之間變化的時候函數的平均變化率為變化區間自變量改變量平均變化率（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001………第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日要精確地描述非勻速直線運動，就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度．如果物體的運動規律是s=s(t)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到t+Dt這段時間內，當Dt0時平均速度的極限．即瞬時速度第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日函數的瞬時變化率設函數在附近有定義，當自變量在附近改變時，函數值相應的發生改變如果當趨近于０時，平均變化率趨近于一個常數，則數稱為函數在點處的瞬時變化率。第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日導數的概念也可記作★若這個極限不存在，則稱在點x0

處不可導。

設函數y=f(x)在點x=x0的附近有定義，當自變量x在x0處取得增量△x(點x0+△x仍在該定義內）時，相應地函數y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y與△x之比當△x→0的極限存在，則稱函數y=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數y=f(x)在點x0處的導數記為即第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日說明：（1）函數在點處可導，是指時，有極限．如果不存在極限，就說函數在處不可導，或說無導數．點是自變量x在處的改變量，，而是函數值的改變量，可以是零．

（2）第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日由導數的定義可知，求函數在處的導數的步驟:（1）求函數的增量:；（2）求平均變化率:；．（3）取極限，得導數:第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例:高臺跳水運動中，秒時運動員相對于水面的高度是（單位：），求運動員在時的瞬時速度，并解釋此時的運動狀態;在呢?

第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日同理，

運動員在時的瞬時速度為，上升下落這說明運動員在附近，正以大約的速率。第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日割線PQ的的變化情況２．在的過程中，請在函數圖象中畫出來．你能描述一下嗎？第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日PQM求已知曲線的切線.第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日作業課本82.B2報紙A14第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日一是:根據物體的路程關于時間的函數求速度和加速度.二是:求已知曲線的切線.第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第時，原油的溫度（單位：℃）為計算第2h和第6h，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.1.1導數的幾何意義Pxy0T第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日一是:根據物體的路程關于時間的函數求速度和加速度.二是:求已知曲線的切線.第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日課堂小結：函數的平均變化率函數的瞬時變化率第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第時，原油的溫度（單位：℃）為計算第2h和第6h，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.1.1導數的幾何意義Pxy0T第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日PxyoT的切線方程為即第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日

圓的切線定義并不適用于一般的曲線。通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質。

第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日

根據導數的幾何意義，在點P附近，曲線可以用在點P處的切線近似代替

。大多數函數曲線就一小范圍來看，大致可看作直線，所以，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”（以簡單的對象刻畫復雜的對象）第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日

1.在函數的圖像上，(1)用圖形來體現導數，的幾何意義.

第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日(2)請描述，比較曲線分別在附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？

第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日(2)請描述，比較曲線分別在附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？

增（減):增（減）快慢：=切線的斜率附近：瞬時變化率（正或負）即：瞬時變化率（導數）（數形結合，以直代曲）畫切線即：導數的絕多值的大小=切線斜率的絕對值的大小切線的傾斜程度（陡峭程度）以簡單對象刻畫復雜的對象第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日(2)曲線在時，切線平行于x軸，曲線在附近比較平坦，幾乎沒有升降．

曲線在處切線的斜率0在附近，曲線，函數在附近單調

如圖，切線的傾斜程度大于切線的傾斜程度，

大于上升遞增上升

這說明曲線在

附近比在附近得迅速．遞減下降小于下降第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日

2．如圖表示人體血管中的藥物濃度c=f(t)（單位：mg/ml）隨時間t（單位：min）變化的函數圖像，根據圖像，估計t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）時，血管中藥物濃度的瞬時變化率，把數據用表格的形式列出。(精確到0.1)第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日

血管中藥物濃度的瞬時變化率,就是藥物濃度從圖象上看,它表示曲線在該點處的切線的斜率.函數f(t)在此時刻的導數,（數形結合，以直代曲）以簡單對象刻畫復雜的對象第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日

抽象概括：

是確定的數是的函數導函數的概念：t0.20.40.60.8藥物濃度的瞬時變化率

第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日小結：１.函數在處的導數的幾何意義，就是函數的圖像在點處的切線AD的斜率（數形結合）