第=page22頁，共=sectionpages22頁2021-2022學年北京市東城區九年級（上）期末數學試卷考試注意事項：

1.答題前，考生務必在試題卷、答題卡規定位置填寫本人準考證號、姓名等信息．考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．非選擇題答案用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上相應位置書寫作答，在試題卷上答題無效．3．作圖可先使用2B鉛筆畫出，確定后必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆描黑．一、選擇題（本大題共8小題，共16分）一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項分別是A.，， B.，， C.，， D.，，下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是A. B.

C. D.將拋物線向上平移個單位后所得的解析式為A. B. C. D.在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是A. B. C. D.用配方法解方程，變形后結果正確的是A. B. C. D.中國象棋文化歷史久遠，在圖中所示的部分棋盤中，“馬”的位置在“”圖中虛線的下方，“馬”移動一次能夠到達的所有位置已用“”標記，則“馬”隨機移動一次，到達的位置在“”上方的概率是A. B. C. D.如圖，，是的切線，，為切點，點為上一點，若，則的度數為A.

B.

C.

D.如圖，線段，動點以每秒個單位長度的速度從點出發，沿線段運動至點以點為圓心，線段的長為半徑作圓．設點的運動時間為，點，之間的距離為，的面積為則與，與滿足的函數關系分別是A.正比例函數關系、一次函數關系 B.一次函數關系，正比例函數關系

C.一次函數關系，二次函數關系 D.正比例函數關系，二次函數關系二、填空題（本大題共8小題，共16分）拋物線的頂點坐標是______．若關于的一元二次方程的一根為，則的值是______．請寫出一個開口向上，并且與軸交于點的拋物線的表達式：______．社團課上，同學們進行了“摸球游戲”：在一個不透明的盒子里，裝有個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球．將盒子里面的球攪勻后，從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復上述過程．整理數據后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數”的關系圖象，如圖所示，經分析可以推斷“摸出黑球”的概率為______．年是中國共產黨建黨周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育活動．據了解，某展覽中心月份的參觀人數為萬人，月份的參觀人數增加到萬人．設參觀人數的月平均增長率為，則可列方程為______．如圖，將繞點順時針旋轉得到，若，，則的度數為______．

斛是中國古代的一種量器．據漢書律歷志記載：“斛底，方而圜其外，旁有庣焉．”意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個圓，此圓外是一個同心圓．”如圖所示．問題：現有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸即尺，“庣旁”為兩寸五分即兩同心圓的外圓與內圓的半徑之差為尺，則此斛底面的正方形的邊長為______尺．如圖，在邊長為的正方形中，，分別是邊，上的動點，且始終滿足，，交于點，則的度數為______；連接，線段的最小值為______．

三、計算題（本大題共1小題，共5分）解方程：．

四、解答題（本大題共11小題，共63分）如圖，為的弦，于點，交于點若的半徑為，：：，求的長．

下面是小明設計的“作圓的內接等腰直角三角形”的尺規作圖過程．

已知：如圖．

求作：的內接等腰直角三角形．

作法：如圖．

作直徑；

分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點；

作直線交于，兩點；

連接，．

所以就是所求作的等腰直角三角形．

根據小明設計的尺規作圖過程，解決下面的問題：

使用直尺和圓規，補全圖形保留作圖痕跡；

完成下面的證明．

證明：連接，．

，，

是的垂直平分線．

又直線交于點，

______．

是直徑，

____________填寫推理依據．

是等腰直角三角形．

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的部分圖象經過點，．

求該拋物線的解析式；

結合函數圖象，直接寫出時，的取值范圍．

如圖．在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，將繞點順時針旋轉得到，點旋轉后的對應點為．

畫出旋轉后的圖形，并寫出點的坐標；

求點經過的路徑的長結果保留．

年月日，神舟十二號成功發射，標志著我國載人航天踏上新征程．某學校舉辦航天知識講座，需要兩名引導員，決定從，，，四名志愿者中通過抽簽的方式確定兩人．抽簽規則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同且不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的三張卡片中隨機抽取第二張，記下名字．

“志愿者被選中”是______事件填“隨機”、“不可能”或“必然”；

用畫樹狀圖或列表的方法求出，兩名志愿者同時被選中的概率．

已知關于的一元二次方程．

求證：該方程總有兩個實數根；

若該方程有一個根小于，求的取值范圍．

為了改善小區環境，某小區決定在一塊一邊靠墻墻長為的空地上修建一個矩形小花園小花園一邊靠墻，另三邊用總長的柵欄圍住，如圖所示．設矩形小花園邊的長為，面積為．

求與之間的函數關系式；

當為何值時，小花園的面積最大？最大面積是多少？

如圖，是的弦，過點作交于點，在的延長線上取點，使得．

求證：是的切線；

若的半徑為，，求線段的長．

在平面直角坐標系中，點和在拋物線上．

若，求該拋物線的對稱軸；

若，設拋物線的對稱軸為直線．

直接寫出的取值范圍；

已知點，，在該拋物線上，比較，，的大小，并說明理由．

如圖，在等邊三角形中，點為內一點，連接，，，將線段繞點順時針旋轉得到，連接，．

用等式表示與的數量關系，并證明；

當時，

直接寫出的度數為______；

若為的中點，連接，用等式表示與的數量關系，并證明．

在平面直角坐標系中．的半徑為，對于直線和線段，給出如下定義：若將線段關于直線對稱，可以得到的弦分別為，的對應點，則稱線段是的關于直線對稱的“關聯線段”例如：在圖中，線段是的關于直線對稱的“關聯線段”．

如圖，點，，，，，的橫、縱坐標都是整數．

在線段，，中，的關于直線對稱的“關聯線段”是______；

若線段，，中，存在的關于直線對稱的“關聯線段”，則______；

已知直線交軸于點，在中，，若線段是的關于直線對稱的“關聯線段”，直接寫出的最大值和最小值，以及相應的長．

答案和解析1.【答案】

解：一元二次方程的二次項系數，一次項系數，常數項分別是，，，

故選：．

根據多項式的項和單項式的系數定義得出答案即可．

本題考查了單項式的系數定義，多項式的項的定義和一元二次方程的一般形式，注意：找多項式的各項系數時帶著前面的符號．

2.【答案】

解：不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

B.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C.是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

D.不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．

故選：．

根據中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．

本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉度后與原圖重合．

3.【答案】

解：拋物線向上平移個單位，

平移后的解析式為：．

故選：．

根據二次函數變化規律：左加右減，上加下減，進而得出變化后解析式．

此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的性質，熟練記憶平移規律是解題關鍵．

4.【答案】

解：點，

點關于原點對稱的點為，

故選：．

兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反．由此可求點關于原點對稱的點的坐標．

本題考查關于原點對稱的點的坐標，熟練掌握關于原點對稱的點的坐標特點是解題的關鍵．

5.【答案】

解：，

則，即，

故選：．

兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．

本題主要考查解一元二次方程的方法--配方法，掌握配方法是解本題的關鍵．

6.【答案】

解：觀察“馬”移動一次能夠到達的所有位置，即用“”標記的有處，

位于“”圖中虛線的上方的有處，

所以“馬”隨機移動一次，到達的位置在“”上方的概率是，

故選：．

用“”圖中虛線的上方的黑點個數除以所有黑點的個數即可求得答案．

本題考查概率的求法與運用，一般方法：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現種結果，那么事件的概率，難度適中．

7.【答案】

解：連接、，

，

，

，是的切線，

，，

，

故選：．

連接、，根據圓周角定理求出，根據切線的性質得到，，根據四邊形內角和等于計算，得到答案．

本題考查的是切線的性質、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．

8.【答案】

解：，屬于一次函數關系，

，屬于二次函數關系，

故選：．

根據題意列出函數關系式，即可判斷函數的類型．

本題考查了函數關系式，根據題意列出函數關系式是解題的關鍵．

9.【答案】

解：是拋物線的頂點式，

頂點坐標為．

故答案為．

直接根據頂點式的特點求頂點坐標．

本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在中，對稱軸為，頂點坐標為．

10.【答案】

解：把代入方程，得

，

解得．

故答案是：．

先把代入方程，可得關于的一元一次方程，解即可．

本題考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是代入后正確的計算，難度不大．

11.【答案】

解：開口向上，并且與軸交于點的拋物線的表達式為，

故答案為：答案不唯一．

根據二次函數的性質，所寫出的函數解析式是正數，即可．

本題主要考查二次函數，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質．

12.【答案】

解：由圖可知，隨著“摸球游戲”的次數增多，“摸出黑球”的頻率逐漸穩定在左右，

所以，“摸出黑球”的概率為，

故答案為：．

根據頻率估計概率即可得出“摸出黑球”的概率．

本題主要考查用頻率估計概率，需要注意的是試驗次數要足夠大，次數太少時不能估計概率．

13.【答案】

解：依題意得：．

故答案為：．

利用月份的參觀人數月份的參觀人數月平均增長率，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．

14.【答案】

解：將繞點順時針旋轉得到，

，

，

，

故答案為：．

由旋轉的性質可得，由三角形的內角和定理即可求解．

本題考查了旋轉的性質，三角形內角和定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．

15.【答案】

解：如圖，

四邊形為正方形，

，，

為直徑，，

由題意得，

，

．

故答案為：．

根據正方形性質確定為等腰直角三角形，為直徑，根據題意求出正方形外接圓的直徑，求出，問題得解．

本題考查了正方形外接圓的性質，等腰直角三角形性質，解題關鍵是判斷出正方形對角線為其外接圓直徑．

16.【答案】

解：四邊形是正方形，

，，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

取的中點，連接，則不變，

根據兩點之間線段最短得、、三點共線時線段的值最小，

在中，根據勾股定理得，，

所以，．

故答案為：，．

根據“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應角相等可得，然后求出，取的中點，連接，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得點到的中點的距離不變，再根據兩點之間線段最短可得、、三點共線時線段的值最小，然后根據勾股定理列式求出，再求解即可．

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，勾股定理，確定出點到的中點的距離是定值是解題的關鍵．

17.【答案】解：，

或，

所以，．

【解析】利用因式分解法解方程．

本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

18.【答案】解：設，，

的半徑為，

，

解得：，

即，

連接，

，過圓心，

，，

由勾股定理得：，

．

【解析】先求出的值，再根據垂徑定理求出，再根據勾股定理求出即可．

本題考查了勾股定理和垂徑定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關鍵．

19.【答案】

直徑所對的圓周角是直角

解：如圖所示：

證明：連接，．

，，

是的垂直平分線．

又直線交于點，

．

是直徑，

直徑所對的圓周角是直角，

是等腰直角三角形．

故答案為：、，直徑所對的圓周角是直角．

根據題干要求的步驟依次求解即可；

根據圓周角定理求解即可．

本題主要考查作圖復雜作圖，解題的關鍵是掌握線段垂直平分線的尺規作圖和圓周角定理．

20.【答案】解：將，代入得，

解得，

．

令，

解得或，

拋物線經過，，

拋物線開口向上，

時，．

【解析】通過待定系數法求解．

求出拋物線與軸交點坐標，通過拋物線開口向上求解．

本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握待定系數法求函數解析式，掌握二次函數與方程及不等式的關系．

21.【答案】解：如圖所示，即為所求．

點的坐標為；

由圖知，，，

點在旋轉過程中所走過的路徑長．

【解析】將點、分別繞點順時針旋轉得到其對應點，再與點首尾順次連接即可；

根據弧長公式求解即可．

本題主要考查作圖旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉變換的定義與性質及弧長公式．

22.【答案】隨機

解：“志愿者被選中”是隨機事件，

故答案為：隨機；

畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結果，其中，兩名志愿者同時被選中的結果有種，

，兩名志愿者同時被選中的概率為．

根據隨機事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；

畫樹狀圖，共有種等可能的結果，其中，兩名志愿者同時被選中的結果有種，再由概率公式求解即可．

此題考查的是樹狀圖法求概率以及隨機事件的概念．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．

23.【答案】證明：，

無論為任何實數時，此方程總有兩個實數根；

解：，

，

，．

方程有一根小于，

，

的取值范圍為．

【解析】根據根的判別式：，即可得到結論；

利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根據方程有一根小于，即可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍．

本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的關鍵是：牢記“當時，方程有兩個實數根”；利用因式分解法解一元二次方程結合方程一根小于，找出關于的一元一次不等式．

24.【答案】解：由題意得：，

，

，

與之間的函數關系式為；

由知，，

，，

當時，有最大值，最大值為，

答：當時，小花園的面積最大，最大面積是．

【解析】根據矩形的面積公式寫出函數解析即可；

根據函數的性質求最值即可．

本題考查的是二次函數的實際應用．關鍵是根據函數的性質求最值．

25.【答案】證明：，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

即，

是的直徑，

是的切線；

解：，，，

，

設，

，

，

，

，

線段的長為．

【解析】根據等腰三角形的性質得到，，求得，推出，根據切線判定定理得到是的切線；

根據勾股定理得到，設，根據勾股定理即可得到結論．

本題考查了切線的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵．

26.【答案】解：若，則點在拋物線上，

，解得，

拋物線的對稱軸為直線；

，

拋物線開口向下且經過原點，

當時，拋物線頂點為原點，時隨增大而減小，不滿足題意，

當時，拋物線對稱軸在軸左側，同理，不滿足題意，

當時，拋物線對稱軸在軸右側，時，時，

即拋物線和軸的個交點，一個為，另外一個在和之間，

拋物線對稱軸在直線與直線之間，

即；

點與對稱軸距離，

點與對稱軸距離，

點與對稱軸距離

．

【解析】把點代入求得的值，即可根據對稱軸公式求得答案；

分類討論的正負情況，根據可得對稱軸在與直線之間；根據各點到對稱軸的距離判斷值大小．

本題考查二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，解題關鍵是熟練掌握待定系數法求函數解析式及根據數形結合求解．

27.【答案】

解：，

證明：是等邊三角形，

，，

將線段繞點順時針旋轉得到，

，，

，

，

≌，

；

當時，

則，

≌，

，

，

故答案為：；

，理由如下：

延長到，使，連接，，

為的中點，

，

四邊形為平行四邊形，

且，

，，

又，

，

，

又，，

≌，

，

又為正三角形，

，

．

利用證明≌，即可得出答案；

由三角形內角和定理知，再利用角度之間的轉化對進行轉化，，從而解決問題；

延長到，使，連接，，得出四邊形為平行四邊形，則且，再利用證明≌，得．

本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質等知識，利用倍長中線構造平行四邊形是