1用提公因式法多項式進行式分解【知精】如果多項式的各項有公因式據乘法分配律的逆運算以這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法的理論依據就是乘法分配律項式的公因式的確定方法是：（1）當多項式有相同字母時，取相同字母的低次冪。（2）系數和各項系數的最大公約數，公因式以是數、單項式，也可以是多項式。下面我們通過例題進一步學習用提公因式法因式分解【分解】把下列各式因式分解（1）

2m

acxm（2）

(a)

3

2

(

2

)分1若多項式的第一項系數是負數，一般要提出“－”號，使括號內的第一項系數是正數，在提出“－”號后，多項式的各項都要變號。解

2

x

abx

ax

m

(

2

3

)（2）有時將因式經過符號變換或將字母重新列后可化為公因式，如：當n為然數時，

()

2n

(

2

(a)

2

)

2n

，是在因式分解過程中常用的因式變換。解

(a))ab()()a2()ab()()[(a)

2

)b](

2

2

利提公因式法簡化計算過程例：計算

123

9879879879874565211368136813681368987分：式中每一項都含有，以把它看成公因式提取出來，再算出結果。1368解原式

9871368

2689879871368

在項式恒等變形中的應用y例：不解方程組5x

，求代數式

xy)(2)xx)

的值。分：要求解方程組，我們可以把

2xy和5y

看成整體，它們的值分別是3和，觀察代數式，發現每一項都含2y

，利用提公因式法把代數式恒等變形，化為含有

2xy

和

5x

的式子，即可求出結果。解

(2xy)(2xy)(2)xy)(2x)(2xy)把

2xy

和

5x

分別為

帶入上式，求得代數式的值是

。在數證明題中的應用例：證明：對于任意自然數n，

3

n

n

n

n

一定是10的數。分：先利用因式分解把代數式恒等變形著只需證明每一項都是的倍數即可。nnn3n(3210

對任意自然數，

和

5

n

都是10的倍數。3

nn

一定是10的數、考撥例1。因式分解

(2)(2)解

(2)(2)3(x2)x說明：因式分解時，應先觀察有沒有公因式，若沒有，看是否能通過變形轉換得到。例2．分解因式：

qp)2(解

qp)

32(2(1p)3p)

2p2q)p

2

說明在用提公因式法分解因式須對原式進行變形得到公因式同時一定要注意符號，提取公因式后，剩下的因式應注意化簡。題型展示：例1.計：

200020012001

精析與解答：設2000a，200120012001200120002000a[10000(aa)a10001(10001a(1000110001)0說明：此題是一個有規律的大數字的運算，若直接計算，運算量必然很大。其、重復出現，又有

2001

的特點，可通過設未知數，將復雜數字間的運算轉化為代數式，再利用多項式的因式分解化簡求值，從而簡化計算。例2.已：

x

（bc為數）是

x425及3228x

的公因式，求、c的。分：規解法是分別將兩個多項式分解因式，求得公因式后求、c，但比較麻煩。注意到

x2

是

3(225)

及

2x

的因式。因而也是2

的因式，所求問題即可轉化為求這個多項式的二次因式。解

x

是x425)及3x2

28

的公因式

也是多項式

4

x

2

4

x

2

的二次因式而

4x25)x4x2x14(2x、為數得：

xxbc說明：這是對原命題進行演繹推理后，轉化為解多項

2870

，從而簡便求得

x2

。例3.設x整數，試判斷(x解

0(x2)

是質數還是合數，請說明理由。)x(x2)(5)5x

都是大于的然數x)

是合數

說明：在大于的正數中，除了這個數本身，還能被其它正整數整除的數叫合數。只能被本身整除的數叫質數。【戰擬分解因式：（1）

n3mn（2）

2n

nnadx

（n為正整數）（3）

)

3

a

2

(

2

ab)

2計算：

(11

10

的結果是（）

2

10010

C.

已知、y都正整數，且

x(y)(x)12

，求、y。證明：

7

能被整除。化簡：

xx)xx)

1995

，且當

x

時，求原式的值。

7791【題案分析與解答：（1）

n3mn

mnmn(2mnm2n（2）

2n

nnadx

ax

n

(

3

2

cx)（3）原式

)3a2)(a)

2(a)(a)

[(a](3aa(a

注意：結果多項因式要化簡，同時要分解徹底。B

x(x)()12)(y)、

是正整數

分解成

，23又xy與x奇性相同，且

xxy

xy2xy6xy說明：求不定方程的整數解，經常運用因式分解來解決。證明：81273282733

2626

324