全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用第三章勾股定理12345678答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評(píng)習(xí)題鏈接910111213答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評(píng)習(xí)題鏈接14如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．求：(1)AB的長；1解：因?yàn)樵凇鰽BC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，所以AB2＝AC2＋BC2＝202＋152＝625.所以AB＝25.(2)△ABC的面積；(3)CD的長．張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)〞課中，設(shè)計(jì)了如下數(shù)表：(1)請(qǐng)你分別探究a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含n(n＞1)的式子表示：a＝________，b＝________，c＝________；2n2－12nn2＋1(2)猜測以a，b，c為邊長的三角形是否為直角三角形，并說明理由．解：是直角三角形．理由如下：因?yàn)閍2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，所以a2＋b2＝c2.所以以a，b，c為邊長的三角形是直角三角形．如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積．34681091215(答案不唯一)如圖，長方體的底面相鄰兩邊的長分別為1cm和3cm，高為6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多長？如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短時(shí)，其長度的平方是多少？

5【點(diǎn)撥】此類問題一般先畫出側(cè)面展開圖，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再構(gòu)造直角三角形求解．解：將長方體的側(cè)面展開，連接AB′，如下圖．因?yàn)锳A′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6cm，所以AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102.所以用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，所用細(xì)線最短需要10cm.易知如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短時(shí)，其長度的平方為(64n2＋36)cm2.如圖，一牧童在A處牧馬，牧童的家在B處，A，B處距河岸的距離分別是AC＝500m，BD＝700m，且C，D間的距離為500m．天黑前牧童從A點(diǎn)將馬牽到河邊去飲水，再趕回家，為了使所走的路程最短．(1)牧童應(yīng)將馬趕到河邊的什么地點(diǎn)？請(qǐng)你在圖中畫出來．6解：如圖，作A點(diǎn)關(guān)于河岸CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′，交河岸于P，連接PA，那么PB＋PA＝PB＋PA′＝BA′最短，故牧童應(yīng)將馬趕到河邊的P點(diǎn)．(2)請(qǐng)你求出他至少要走多少路程．【點(diǎn)撥】利用對(duì)稱找點(diǎn)法作出點(diǎn)A關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)A′，利用對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)借助勾股定理求解．解：作A′B′⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)B′，易知B′A′＝CD，DB′＝CA′＝AC.在Rt△BB′A′中，BB′＝BD＋DB′＝BD＋AC＝1200m，A′B′＝500m，由勾股定理，得BA′＝1300m.所以他至少要走1300m.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝1，PC＝2.求∠BPC的度數(shù)．

7【點(diǎn)撥】解答此題要緊扣兩個(gè)切入點(diǎn)：(1)由于∠BPC是一個(gè)鈍角，想方法將其分割成一個(gè)直角與一個(gè)特殊角(30°，60°，45°)的和的形式；(2)用旋轉(zhuǎn)法將△CPB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CP′A的位置．解：如圖，將△CPB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CP′A，那么P′C＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠BPC＝∠AP′C，連接PP′.因?yàn)椤螾CP′＝90°，所以PP′2＝22＋22＝8.又因?yàn)镻′A＝1，PA＝3，

所以PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9.所以PP′2＋P′A2＝PA2.所以∠AP′P＝90°.易知∠CP′P＝45°，所以∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠CP′P＝90°＋45°＝135°.8【2021·廈門市第一中學(xué)期末】如圖，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC邊上的中線AD＝12.求：(1)AC的長度；解：因?yàn)锳D是BC邊上的中線，BC＝10，所以BD＝CD＝5.因?yàn)?2＋122＝132，所以BD2＋AD2＝AB2.所以∠ADB＝90°.所以∠ADC＝90°.所以AC2＝AD2＋CD2＝169.所以AC＝13.(2)△ABC的面積．將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上，旗桿頂?shù)降孛娴母叨葹?20cm，在無風(fēng)的天氣里，彩旗自然下垂，如圖①所示．求彩旗下垂時(shí)最低處離地面的高度h(彩旗完全展開時(shí)的尺寸如圖②所示)．9解：彩旗下垂時(shí)最低處離地面的高度h也就是旗桿頂?shù)降孛娴母叨葴p去彩旗的對(duì)角線的長．因?yàn)?202＋902＝22500，所以彩旗的對(duì)角線長為150cm.所以h＝320－150＝170(cm)．即彩旗下垂時(shí)最低處離地面的高度h為170cm.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我國海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距5nmile的A，B兩個(gè)基地前去攔截，6min后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截．甲巡邏艇的速度為40nmile/h，乙巡邏艇的速度為30nmile/h，且乙巡邏艇的航向?yàn)楸逼?7°，求甲巡邏艇的航向．10某中學(xué)有兩個(gè)課外小組的同學(xué)同時(shí)步行到校外去采集植物標(biāo)本，第一組的步行速度為30m/min，第二組的步行速度為40m/min，半小時(shí)后，兩組同學(xué)同時(shí)停下來，這時(shí)兩組同學(xué)相距1500m.(1)試判斷這兩組同學(xué)行走的方向是否成直角；11解：因?yàn)榘胄r(shí)后，第一組行走的路程為30×30＝900(m)，第二組行走的路程為40×30＝1200(m)，9002＋12002＝15002，而此時(shí)兩組同學(xué)相距1500m，所以這兩組同學(xué)行走的方向成直角．(2)如果接下來這兩組同學(xué)以原來的速度相向而行，多長時(shí)間后能相遇？如圖，點(diǎn)N是△ABC的邊BC延長線上一點(diǎn)，∠ACN＝2∠BAC，過點(diǎn)A作AC的垂線交CN于點(diǎn)P.(1)假設(shè)∠APC＝30°，試說明：AB＝AP.12解：因?yàn)锳C⊥AP，所以∠CAP＝90°.因?yàn)椤螦PC＝30°，所以∠ACP＝60°.因?yàn)椤螦CN＝2∠BAC，所以∠BAC＝30°.易得∠ABP＝30°.所以∠ABP＝∠APC.所以AB＝AP.(2)假設(shè)AP＝8，BP＝16，求AC的長．解：因?yàn)椤螦CP＝180°－∠ACB，∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，所以∠ACP＝∠BAC＋∠B.又因?yàn)椤螦CN＝2∠BAC，所以∠BAC＝∠B，所以AC＝BC.設(shè)AC＝x，那么BC＝x.在Rt△ACP中，由勾股定理建立方程得x2＋82＝(16－x)2，解得x＝6.所以AC＝6.(3)假設(shè)點(diǎn)P在BC的延長線上運(yùn)動(dòng)，∠APB的平分線交AB于點(diǎn)M.你認(rèn)為∠AMP的大小是否發(fā)生變化？假設(shè)變化，請(qǐng)說明理由；假設(shè)不變化，求出∠AMP的大小．【點(diǎn)撥】此題運(yùn)用方程思想，設(shè)出適宜的未知數(shù)，在直角三角形中，運(yùn)用勾股定理找相等關(guān)系建立方程，通過解方程求解．如圖，AB＝13，AD＝14，CD＝2，∠ACB＝90°.求長方形BCDE的面積．13解：因?yàn)锳D＝14，CD＝2，所以AC＝12.因?yàn)锳B＝13，∠ACB＝90°，所以CB2＝AB2－AC2＝25.所以CB＝5.所以長方形BCDE的面積為2×5＝10.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.(1)出發(fā)2s后，求△ABP的面積．14(2)當(dāng)t為何值時(shí)，BP平分∠ABC?解：如圖①，假設(shè)點(diǎn)P在邊AC上，BC＝CP＝6cm，所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為6cm.故當(dāng)t＝6時(shí)，△BCP為等腰三角形．假設(shè)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，有三種情況：如圖②，假設(shè)BP＝CB＝6cm，此時(shí)AP＝4cm，所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為12cm.故當(dāng)t＝12時(shí)，△BCP為等腰三角形．(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？如圖③，假設(shè)CP＝BC＝6cm，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)面積法求得CE＝4.8cm，根據(jù)勾股定理得PE＝BE＝3.6cm