非正弦周期電路Chapter7第七章Chapter77.1非正弦周期電路的概念

電路中的激勵或響應是指非正弦周期性變化的電壓或電流，也稱其為非正弦周期量，這種電路稱為非正弦周期電路。Chapter7【小結】1.

非正弦周期交流信號的特點是按周期性規律變化，但不是正弦量。2.產生非正弦周期交流信號的原因是電路中有非線性元件、激勵源本身是非正弦周期量或電路中有不同頻率的電源共同作用。Chapter77.2非正弦周期量的分解

設為一非正弦周期函數，其周期為T，角頻率則的傅里葉級數展開式為傅里葉系數（）的計算公式如下Chapter7把式中同頻率的正弦項與余弦項合并，就得到傅里葉級數的另一種常用表達式式中A0為直流分量，也就是非正弦周期函數一周期內的平均值；稱為第k次諧波，當k=1時，稱為一次諧波或基波分量，其頻率與原函數的頻率相同，稱為基波頻率；時的各項統稱為高次諧波。Chapter7【小結】1．電工技術中經常會遇到非正弦周期性波形。這些波形都可以利用傅里葉級數展開成直流分量和一系列不同頻率的正弦波。2．把非正弦周期函數分解為傅里葉級數的關鍵問題,就是確定各次諧波的傅里葉系數的問題。Chapter77.3非正弦周期性電路的諧波分析

將一個非正弦周期函數分解為直流量和無窮多個頻率不同的諧波分量之和，稱為諧波分析。下面研究幾種常見的對稱波形1．奇函數——原點對稱滿足=的周期函數稱為奇函數Chapter72．偶函數——縱軸對稱滿足=的周期函數稱為偶函數特點：波形對稱于縱軸Chapter73．奇諧波函數——橫軸對稱滿足的周期函數稱為奇諧波函數波形特點:將函數波形平移半個周期后（圖中虛線），與原函數波形對稱于橫軸，即鏡像對稱Chapter74．偶諧波函數滿足條件的函數波形的特點是：將后半周期波形前移半周期與前半周期波形重合。Chapter7例7.1

求圖7-8（a）示三角波的傅里葉級數展開式。解：可以直接查得圖7-8（b)三角波的展開式為將圖7-8（a）的縱軸向左右平移1/4周期，中的t用(t+T/4)代入即可，故有Chapter7由的波形特點及傅里葉展開式可看出，是偶函數一個周期函數是不是奇函數或偶函數，不僅與該函數的波形有關，也和時間起點的選擇（即坐標系、原點的位置）有關。但是，一個周期函數是不是奇諧波函數或偶諧波函數，則僅與該函數的具體波形有關，而與時間起點的選擇無關。Chapter7頻譜圖可以直觀地表示一個周期函數分解為各次諧波后，其中包含的頻率分量及各分量所占比重。以鋸齒波電壓為例，設其幅值，則其傅里葉級數的展開式為：Chapter7【小結】1．非正弦周期函數分解為傅里葉級數時，利用波形的對稱性可使分解簡化。2．奇函數的傅里葉展開式中只含有各次正弦諧波。一個函數是否是奇函數，除與該函數的波形有關外，還與時間起點的選擇有關。3．偶函數的傅里葉展開式中只含有各次余弦波與直流分量。一個函數是否為偶函數，除與該函數的波形有關外，還與時間起點的選擇有關。4．奇諧波函數（對稱于橫軸）只含有奇次諧波，偶諧波函數只含有偶次諧波，一個函數是否是奇諧波函數或偶諧波函數，僅與該函數的波形有關，而與時間起點的選擇無關。Chapter7Chapter7Chapter77.4有效值、平均值和平均功率

1．有效值

一個非周期量的有效值，等于其方均根值設一非正弦周期電流i的傅里葉級數表達式為有效值為Chapter7非正弦周期電壓的有效值為所以,非正弦周期電流和電壓的有效值等于各次諧波有效值平方和的平方根。各次諧波有效值與最大值之間的關系為Chapter7例7.2

已知周期電流的傅里葉級數展開式如下所示,求電流i的有效值。解：先確定各次諧波有效值,再求取總有效值所以電流的有效值為Chapter72．平均值非正弦周期性函數的平均值定義為一個周期內,函數絕對值的平均值。例如非正弦周期性電流的平均值為用電流瞬時值取代絕對值,得上式中Io一般也稱為平均值（又稱為整流平均值），對照傅里葉級數可以發現，Io是這個函數的直流分量。例如正弦交流電流的直流分量Io=0，平均值為Chapter7為了衡量非正弦波與正弦波的差異程度，將有效值與平均值的比值稱為波形因數將最大值與有效值之比稱為波頂因數正弦波的波形因數為正弦波的波頂因數為Chapter73.平均功率

非正弦周期電路中的平均功率仍然定義為其瞬時功率在一個周期內的平均值設一個負載或一個二端網絡的電壓電流為i、u關聯參考方向，負載或二端網絡吸收的瞬時功率為Chapter7按平均功率定義非正弦周期性電路的平均功率等于各次諧波平均功率之和，并且只有同頻率的電壓電流能構成平均功率，，Pk是第k次諧波的平均功率。不同頻率的電壓電流只能構成瞬時功率，不能構成平均功率。即，非正弦周期電路的平均功率等于各次諧波的平均功率之和（包括直流分量）Chapter7如果周期性非正弦電流流過某一電阻R，平均功率為無功功率為非正弦電路的視在功率不等于各次諧波的視在功率之和,而且有工程實際中，在滿足允許存在誤差的條件下，有時將非正弦周期電壓和電流用等效正弦波代替。所以，非正弦波的功率因數就定義為與其等值的正弦波的功率因數，即Chapter7例7.3

設無源二端網絡的電壓與電流分別如下，u/i為關聯參考方向，求二端網絡吸收的平均功率。解：

Chapter7【小結】1．非正弦量的有效值定義為它的方均根值。這是用各次諧波有效值的平方和開平方根的方法求得的。2．非正弦量的平均值和直流分量是兩個不同的概念，前者定義為；后者定義為。3．非正弦周期電路的平均功率等于各次諧波的平均功率之和。并且只有同頻率的電壓電流能構成平均功率，不同頻率的電壓電流只能構成瞬時功率，不能構成平均功率。Chapter77.5非正弦周期性電路計算

例7.4圖7.10(a)所示電路中，已知，，已知電壓，求各支路電流及各支路吸收的功率。解：由于電壓u包含三項，因此，該電路可以分解成三個電路Chapter7圖7-10（b）是直流分量（u1）單獨作用時的等效電路，圖7-10（c）是一次諧波（u2）單獨作用時的等效電路，圖7-10（d）是三次諧波單獨作用時的等效電路。下面分別計算。Chapter71）直流分量單獨作用時，有（圖b）2）一次諧波單獨作用時，有（圖c）Chapter73）三次諧波單獨作用時，有（圖c）Chapter7（4）各支路總電流與總功率分別為Chapter7例7.5

已知圖所示電路中，，若外加如圖b所示峰值為100V、頻率為的矩形脈沖電壓，求電阻上電壓和電路消耗的功率。解：原電壓波形可以看作是的直流與峰值等于的方波疊加Chapter7查表知該方波的傅里葉級數為因此圖7-12(b)電壓可寫成以下表達式1）當Uo單獨作用時，電感相當于短路，有Chapter72）u1單獨作用時3）u3單獨作用Chapter74）u5單獨作用時由于u5只有u1的1/5，Z5約有Z1的5倍，則I5約為I1的1/25，可以忽略不計，即電壓只取到三次諧波已夠準確(實際工程中要根據要求的準確度來確定截取到幾次諧波)。Chapter75)將各次諧波電流瞬時值及電流直流分量疊加電阻電感串聯的電路,因為感抗與頻率成正比，電流和電阻上電壓的三次諧波成分被大大削弱，五次以上諧波成份可忽略不計，反之電感對直流成份不起作用。電感元件這種對高頻電流的抑制作用,在電路中稱為高頻扼流Chapter7例7.6

為了減小整流器輸出電壓的紋波，使其更接近直流，常在整流的輸出端與負載電阻R間接有LC濾波器。若已知，，，電路如圖7-13(a)所示,輸入電壓如圖7-13(b)所示,其中振幅,基波角頻率求輸出電壓uR。Chapter7解：由表7-1可查得全波整流輸出電壓u的傅里葉級數（注意到這里ω是整流前的角頻率，它相當于整流后角頻率的一半）取到四次諧波,并代入得1）求直流分量電感相當于短路,電容相當于開路Chapter72)求二次諧波分量Chapter7(3)求四次諧波分量(4)輸出電壓為Chapter7【小結】