第十一章虛位移法第十一章虛位移法【本章重點內容】約束、廣義坐標、自由度和虛位移的概念;應用虛位移法求解平衡問題.第十一章虛位移法§11-2自由度

廣義坐標§11-3虛位移§11-4虛位移法§11-5虛位移法的應用§11-1約束及約束方程第十一章虛位移法§11-1約束及約束方程虛位移法是分析力學的基礎，其中涉及力的功的概念，因此在動力學中講述.

用虛位移法來求解機構的平衡問題，常比用剛體平衡方程計算要簡單得多.

§11-1約束及約束方程如果系統中各質點的位置和速度受有一定的限制，則稱這質點系為非自由質點系，否則為自由質點系.

限制系統各質點位置和速度的這些條件，稱為約束.

約束可用數學方程來解析的表達，稱為約束方程.

§11-1約束及約束方程例如擺長為l的單擺，擺錘M被限制在鉛垂平面內繞軸O作圓周運動.

擺錘M到固定軸O的距離l始終保持不變.

約束條件寫成方程為

x2+y2=l2§11-1約束及約束方程如以r和l表示曲柄和連桿的長度，則約束方程為

xA2+yA2=r2(xB-xA)2+(yB-yA)2=l2yB=0§11-1約束及約束方程又例如曲柄滑塊機構，簡化為曲柄銷A和滑塊B兩個質點組成的質點系.

約束為點A到軸O的距離不變，點A與點B間的距離不變.

點B始終作直線運動.式中，xA、yA和xB、yB分別表示點A與點B的坐標.

擺長l隨時間而變化的單擺，是不穩定約束.

若擺長l以速度v縮短，則約束方程為

x2+y2=(l-vt)2約束分類1.穩定約束與不穩定約束約束方程中不顯含時間t，即約束不隨時間改變，這種約束稱穩定約束（或定常約束），否則為不穩定約束（或非定常約束）.§11-1約束及約束方程§11-1約束及約束方程半徑為r的車輪沿直線軌道作純滾動.輪心A至軌道的距離保持不變.其幾何約束方程為yA=r2.幾何約束與運動約束約束方程中只包含系統各質點的坐標，不包含系統各質點的速度，這種約束稱為幾何約束.

約束方程中包含系統各質點坐標對時間的導數，即速度，則稱這種約束為運動約束.

§11-1約束及約束方程該運動約束稱可積的運動約束，它與幾何約束沒有顯著差別.

故統稱為完整約束.如果運動約束不可能積分為有限形式，則稱非完整約束.現只討論具有穩定幾何約束的系統平衡問題.可寫為fj

(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn

)=0(j=1,2,…,s)n為質點數，s為約束方程個數.

s應小于3n.

此外，車輪作純滾動，每一瞬時車輪與軌道接觸點C的速度等于零是運動約束.其約束方程可寫為

vA-rw=0或積分成為有限的形式§11-1約束及約束方程第十一章虛位移法§11-2自由度廣義坐標§11-2自由度廣義坐標由n個自由質點組成的質點系，確定該質點系在空間的位置的3n個坐標是獨立的.對于非自由質點系由于受到約束作用，各質點的位置坐標尚須滿足約束條件，故3n個坐標不完全是獨立的.鉛垂平面內的雙擺運動如圖所示.

確定該系統的位置需要4個坐標xA，yA，xB，yB，系統有兩個幾何約束方程.

xA2+yA2=l12(xB-xA)2+(yB-yA)2=l22因此，系統只有兩個坐標是獨立的.

曲柄連桿機構中的4個坐標xA，yA，xB，yB中須滿足3個約束方程，所以只有一個坐標是獨立的.由n個質點組成的質點系，有s個約束方程（s<3n）.

則確定質點系的位置的3n個坐標中，只有3n-s個坐標是獨立的.確定一個受完整約束的質點系的位置所需要的獨立坐標的數目，稱為該質點系自由度的數目，一般稱為自由度.由此定義可知，雙擺系統有兩個自由度，曲柄連桿機構有一個自由度.自由度用k表示，則有k=3n-s§11-2自由度廣義坐標知道了質點系的自由度數后，選擇k個獨立參數來表示質點系的位置就比較方便.表示質點系位置的獨立參數稱為質點系的廣義坐標.

雙擺系統有兩個自由度，選取q1和q2為此質點系的廣義坐標，則擺M1和M2的坐標可表示為

x1=l1sinq1y1=l1cosq1x2=l1sinq1+l2sinq2y2=l1cosq1+l2cosq2§11-2自由度廣義坐標曲柄滑塊機構有一自由度，可以選取曲柄與x軸之間的夾角j作為廣義坐標，則曲柄銷和滑塊的坐標可表示為§11-2自由度廣義坐標或合并成一個矢量式，即ri=ri(q1,q2,…,qk)(i=1,2,…,n)若質點系的約束都是幾何約束，則廣義坐標數等于質點系的自由度數.§11-2自由度廣義坐標由n個質點組成的質點系受有s個穩定約束，具有k個自由度，取q1，q2，…，qk為廣義坐標，則質點系內任一質點M1的直角坐標(xi,yi,zi)都可以表示為廣義坐標的函數.

xi=xi(q1,q2,…,qk)yi=yi(q1,q2,…,qk)zi=zi(q1,q2,…,qk)第十一章虛位移法§11-3虛位移§11-3虛位移

在給定瞬時，質點系在約束容許的條件下，各質點任何無限小的位移，稱為虛位移.

被約束在固定曲面上的質點M，該質點到曲面上相鄰各點的無限小位移都是約束所容許的，都是虛位移.如果略去高階微量，則認為這些虛位移都應當過M點的曲面的切面T上，如d

，d

，…，都是質點M的虛位移.

四連桿機構，在力F和力偶矩M的作用下處于平衡狀態.假想給曲柄一無限小的轉角dq，這是曲柄OA的虛位移；這時曲柄上的點A沿圓弧的切線方向有相應的虛位移drA，點B繞O1軸轉動也有相應的虛位移drB.

桿O1B的虛位移為dj.§11-3虛位移具體問題中時常需要找出質點系中各質點虛位移之間的關系，可以用幾何法和解析法求之.

虛位移通常用dr表示，d為變分符號，以與實位移dr區別.虛位移可以是線位移，如dr、dx，ds；也可以是角位移，如dq、dj.

矢量變分dr的方向由圖中給出，在算式中取其大小；代數量變分dx、dy與坐標軸的正向一致.

§11-3虛位移虛位移不表示質點實際運動，它與作用在質點上的力、初始條件及時間無關，它完全由約束性質決定；

實位移是質點在實際運動中產生的位移，它與作用在質點上的力、初始條件及時間有關，當然也與約束有關；在穩定約束條件下，質點的實位移是虛位移中的一個，在非穩定約束條件下，實位移不一定是虛位移中的一個.

注意：例11-1兩質點M1和M2用長為l的鋼桿相連，M1可以沿x軸運動，M2可沿y軸運動.

求兩質點虛位移之間的關系.解：（1）幾何法.

由于各質點無限小位移之間的關系與其速度間關系相似.

故運動學中求點速度的方法可以用來建立質點虛位移之間的關系.質點M1沿x軸運動，M2沿y軸運動，可將二質點的虛位移ds1與ds2視為速度.

§11-3虛位移瞬心在C點.

設此瞬時桿的角位移為dq，則

ds1=M1C·dq=y2·dq

ds2=M2C·dq=x1·dq可得

x1ds1=y2ds2§11-3虛位移（2）解析法將用廣義坐標表示的質點系內任一質點的直角坐標(xi,yi,zi)函數求變分可得§11-3虛位移質點系有一個自由度，選取角q為廣義坐標，則x1=lcosq,y2=lsinq對坐標求變分得dx1=–lsinq

·dq

dy2=lcosq

·dq消去dq，則得x1dx1+y2dy2=0由于都是ds1=–dx1,ds2=dy2，結果與前面幾何法所得結果相同.

§11-3虛位移例11-2在滑道連桿機構中，當曲柄OC繞軸O擺動時，滑套A沿曲柄自由滑動，而帶動桿AB繞軸D轉動；已知尺寸如圖，求機構在圖示位置平衡時，點C和點B的虛位移之間的關系.§11-3虛位移解：用幾何法求解.

給曲柄OC一個角位移dj，則曲柄上與滑套A重合的點A'和點C的虛位移分別為drAe與drC，都與曲柄OC垂直，它們的關系為桿AB上的點A和點B的虛位移drA與drB的方向都與桿AB垂直，二者關系為(a)(b)§11-3虛位移將矢量式（c）投影于y軸上得

drA

·sin40°=drAe+0

由關系式（a）、（b）和（d），解得點B與點C的虛位移之間的關系為drC=2.52d

rB把滑塊A視為動點，桿OC為動系，則drA為絕對虛位移，當然drAe為牽連虛位移，而drAr為相對虛位移，它沿著桿的方向.

由速度合成定理得(c)(d)§11-3虛位移第十一章虛位移法§11-4虛位移法§11-4虛位移法如果約束力在系統的任何虛位移上所作的元功之和為零，這種約束稱為理想約束.理想約束的表達式常見的理想約束有：光滑固定面約束，連接二剛體的光滑鉸鏈，連接兩質點的無重桿，不可伸長的繩索.

一般地講，凡是不考慮摩擦的穩定幾何約束都是理想約束.

若給系統虛位移，則主動力作功dW=F·dr，約束力也作功dWN

=FN·dr，稱為虛功.

因為虛位移是假想的，虛功也是假想的，故稱虛功.

寫成解析表達式上兩式稱為虛功方程.

虛位移法有時稱為虛位移原理或虛功原理.

虛位移法：具有穩定理想約束的質點系，在某位置處于平衡的必要與充分條件是作用于此質點系上的所有主動力在該位置的任何虛位移中所作的元功之和等于零.

式中Fix、Fiy、Fiz和dxi、dyi、dzi分別表示主動力Fi和虛位移dri在x、

y、

z軸上的投影.

§11-4虛位移法

以Fi表示作用于質點上的主動力的合力，以dri表示該質點的虛位移，則虛位移法的數學表達式為虛位移法證明1.必要性證明給質點任意虛位移則有把所有質點的n個等式相加，則得

由于質點系具有穩定理想約束，上式中的第二項等于零，所以得§11-4虛位移法

設質點系處于平衡，作用在某質點上的主動力的合力為Fi，約束力的合力為FNi，則必有i2.充分性證明由于約束是穩定的，實位移是虛位移之，于是有

用反證法.

設質點系在所有力的作用下不平衡，質點中的某些質點由靜止進入運動狀態，作用于其中一個質點上的主動力的合力Fi與約束力的合力FNi必有一合力FR，并產生一實位移dri，它與力FRi的方向相同.

§11-4虛位移法把n個質點的表達式相加，則得或由于約束是理想約束，所以則有這和所有主動力在任何虛位移上作功之和為零的假設矛盾.

所以質點系必然處于平衡.

虛位移法是理想約束的情況下得到的.

當考慮摩擦時，只要在虛功方程中計入摩擦力的虛功即可.§11-4虛位移法第十一章虛位移法§11-5虛位移法的應用§11-5虛位移法的應用例11-3在曲柄式壓榨機的中間鉸鏈B上作用一鉛垂力F，已知AB=BD=l，∠DAB=j，在圖示位置平衡時，求對物體的壓力.

解：（1）以機構為研究對象.（2）不計摩擦.機構具有理想約束.

作用于機構上的主動力有F

，被壓縮物體給機構的約束力FN視為主動力.

（3）給桿AB一個角位移dj，B點和D點分別有虛位移drB和drD.

（5）計算drB與drD的關系.

由速度投影定理得

drD·cosj=drB·cos(90°–2j)化簡后得

drD=2drB·sinj將式（b）代入（a）得(b)§11-5虛位移法的應用（4）計算主動力的虛功，并代入虛功方程

–Fd

rB

cos

j+FN

·

d

rD=0(a)用解析法.

取直角坐標系Axy，點B、D的虛位移按坐標正向給出.

由虛功方程

這是一個自由度的機構，以j為廣義坐標，則點B和D的坐標和變分為yB=l·sinj，dyB=l·cosjdjxD=2l·cosj，dxD=–2lsinjdj將dyB、dxD代入（c）有–Flcosjdj–FN(–2lsinj)dj=0因為dj≠0，所以得–FdyB–

FNdxD=0(c)§11-5虛位移法的應用例11-4在角形運動放大器中，AC桿的擺動被BC桿的擺動放大，如圖所示，不計桿件自重.已知：輸入力矩Min=36N·m，求輸出力矩Mou.

解：（1）以圖示機構為研究對象.（2）機構具有理想約束.作用于機構的主動力為Min=36N·m，及作用在BC桿上的未知輸出力矩Mou

.§11-5虛位移法的應用（5）選BC桿為動參考系，銷釘為動點.

—絕對虛位移，—牽連虛位移，—相對虛位移，由幾何關系得dra=AC·

dj，dre=BC·dq(b)§11-5虛位移法的應用（3）給AC桿一個逆時針方向的角位移dj，則BC桿有逆時針方向的角位移dq.

（4）計算所有主動力的虛功.

代入虛功方程得–Mindj

+Mou

dq=0(a)而dre=dra·cos30°將式（b）代入（c）得BC·dq=AC·cos30°·dj即將式（d）代入（a），有因dq≠0，所以輸出力矩(c)(d)§11-5虛位移法的應用例11-5由四根桿OA、CD、BC和AB組成的平面機構.

O為固定鉸鏈支座，D為滑塊，可在水平滑槽內運動，機構尺寸如圖.

在B點掛有重物重W

，在桿OA上作用一力偶矩M；為使機構在角j

時保持平衡，求作用在滑塊D上的水平力F

.

§11-5虛位移法的應用解：（1）選取機構為研究對象.

（2）機構具有理想約束.

作用于機構上的主動力有重力W，力偶矩M及未知的水平力F

.

（3）給桿OA一個角位移dj，主動力虛位移有：B點的虛位移drB，在y軸方向的分量為dyB，D點的虛位移為dxD.

§11-5虛位移法的應用（4）計算主動力的虛功，代入虛功方程WdyB+Mdj+FdxD=0（5）計算虛位移之間的關系.B、D兩點的坐標與j角的關系為

xB=acosjyB=(a+2b)sinjxD=2acosjyD=0(a)(b)§11-5虛位移法的應用對上式取變分，得dxB=–asinjdjdyB=(a+2b)cosjdjdxD=–2asinjdjdyD=0將式（c）中的第二式與第三式代入虛功方程式（a），得(c)§11-5虛位移法的應用W(a+2b)cos

jdj+Mdj

-F·2asinjdj

=0消去dj后，解得例11-6連桿機構中每根桿的質量m=10kg，每根桿長l=1m，水平力F=25N，如圖，求連桿機構平衡時的角q為多大.解：（1）選取機構為研究對象.（2）機構具有理想約束.

主動力有水平力F及各桿的自重WC和WD

.

§11-5虛位移法的應用（3）給桿OA一個角位移dq，主動力作用點的虛位移是：二桿的質心都有虛位移，在y軸方向的分量為dyC和dyD，B點虛位移為dxB.（4）計算主動力的虛功，代入虛功方程得WCdyC+WDdyD+FdxB

=0(a)§11-5虛位移法的應用（5）計算虛位移之間的關系.

每根桿的質心坐標及點B的坐標為對上式取變分得(b)(c)§11-5虛位移法的應用消去獨立參數變分dq

得所以機構平衡時，q=63°.將式（c）中的坐標變分代入式（a），得§11-5虛位移法的應用例11-7一連續梁ABCDE所受載荷為F1=800N，F2=600N，尺寸如圖，試求固定端A的約束力.

§11-5虛位移法的應用解：虛位移法可以通過解除約束求某一約束力.

將此約束力當作主動力看待，利用虛功方程求解.

為求固定端的約束力矩MA，將固定端約束換成固定鉸鏈支座，為保持平衡，加上約束力矩MA，并把它視為主動力.

給梁AB虛位移dj，梁BCD虛位移dq，DE虛位移為db.§11-5虛位移法的應用由圖中幾何關系可知式（a）中各虛位移間的關系為

drB=AB·dj=BC·dq§11-5虛位移法的應用–MAdj+F1dr1

–F2dr2=0由此求得(a)

MA、F1、F2作用點的虛位移分別dj

、dr1、dr2.

由虛功方程得所以由

drD=CDdq=DEdb所以§11-5虛位移法的應用將dr1和dr2代入式（a）中，則得由虛功方程，得由此求得為求A處約束力Fy，將約束換成與AB桿固接的滑塊.加上約束力Fy，并視為主動力使梁AB的平移虛位移為d

rAB，梁BCD的虛位移為dq

′，梁DE的虛位移為db′.力Fy、F1、F2的作用點的虛位移分別為drAB、dr1′、dr2′.

(b)§11-5虛位移法的應用由幾何關系

drAB=BCdq'=2.4dq'

所以

dr'1

=CG·dq

'=1.5dq

'

由

dr'D

=CD·dq

'=DE·d

'所以代入式（b），得§11-5