第講

可積條件及積函數類授題

可積條件及可積函數類教內1.函可積的必要條件函可積的第一充條件；3.可積函數（最基本三種4.黎（）數的可積.教學目的和求教學重點及點教學方法及教材處理示

通過本次課的教學，使學生能理解函數可積的必要條件，函數可積的第一、二充要條件，學會證明連續函數有有限多個斷點的函數和單調函數的可積性問題解（Rieman）函數的可積性的證明方法.教學重點：函數可積的第一、二充要條件，可積函數類（三種教學難點：函數可積的第一、二充要條.(1)理定積分的第一、二充要條件是本節的重點．(2通證明連續函數只有有限多個間斷點的函數和單調函數的可積性化生對積分第一、二充要條件的理解和掌握.(3關黎曼（Rieman）函數的積性的證明只作出一些提示，要求較好學生能理解，在習題課種再討.作布

作業內容：教材

:1，，，4.講內一、可的必要條件定9．2若數f在在證用反證法．若f在

上無界，則對于

的任一分割

T

，必存在屬于的個小區間,fk

k

上無界．在

i

各個小區間

i

上任意取定，記i

iii現對任意大的正數

M

，由于

f

在

k

上無界，故存在

k

k

，使得

f

k

MGk

.于是有

fii

i

fii

i

Mk

k由此可見，對于無論多小的T，上述方選取點集

i

使積分和的絕對值大任何預先給出的正數，這與f在．例1（界函數不一定可積）明狄利克雷函數

Dxx理數

，在

證顯

D性屬于/

T

nnnnnnnnnn的任一小區間上，當取全為有理數時，ii

D全為無理數時，iiiiiii

i

0

．所以不論

多么小，只要點集

或全取無理)，積分和有不同ii極限，即

D件．以后討論函數的可積性時，總是設函數是有界的．二、可的充要條件要判斷一個函數是否可積，固然可以根據定義，直接考察積分和是否能無限接近某一常數，但于積分和的復雜性和那個常數不易預知，因此這是極其困難的．下面即將給出的可積準則只與被積函本身有關，而不涉及定積分的值．設

,在個上在上、下確：iiMi

f,ixi

inffxi

1,2,

,

作和

Siiiiii

分別稱為

f

關于分割T

的上和與下和(或稱達布上與布和，稱布和)．任給

i

i

,i

1,2,

,,

，顯然有siii

與積分和相比較，達布和只與分有，而與點集i與下和當

時的極限來揭示

f

在

以，可積性理論總是從討論上和與下和的性質入手的．定9．3可積準)函

f

在

件是：任給

總在相應的一個分割

T

，使得

S設

ii

i

稱為

f

在

i

上的振幅要也記為

fi

S(

)－

i

i

(或記為

i

i

)，因此可積準則又可改述如下：定

i

函數f在條件是：任給，存在相應的某一分割T，使得

ii幾何意義是：若

f

在

曲線

的一系列小矩形面積之和可以達到任意小，只要分割充分地細；反之亦然．三、可函數類根據可積的充要條件，我們證明下面一些類型的函數是可積(即可積的充分條件．定9．4若

f

為

，則

f

在

/

n,n,證由f在區間

說給0在

中任意兩點

x

`

x

，只要

，便有

f

b

所以只要對

滿足

，在丁所屬的任一小區間

i

上，就能使

f

的振幅滿足

fiii

b從而導致

ii

i

，由定理

，證得f在定9．5若f是間

間斷點的有界函數，則在證不失一般性，這里只證明

f

在

點的情形，并設該間斷點即為端點

b

．任給

0

，取

，滿足

，且

，其中

M

與

分別為

f

在

界與下確界設m，否則f為常量函數，顯然可．記f在區間

，因在知f在由定理9，(必要性)，存在對

T

1

n

ii

令

n

，則

T12

n

,

n

T

，有iii

i

.根據定理9.3(充分性，得f在定9.6若

f

是

則

f

在

證

f

為增函數，且

f

，則

f

為常量函數，顯然可積．對

割

T

，由

f

的增性，

f

在

T

所屬的每個小區間

i

上的振幅為

ii

i

于是有

iiiiTi由此可見，任給

，只要

T

f

這時就有

ii

,

所以

f

在

注：調函數即使有無限多個間斷點，仍不失其可積性．/

,,12i,,12ii0ii例2試用兩種方法證明函數x1在區間

,

1,2,證[證法一]由

f

是一增函數雖然它在

點x

1n

,n

但由定理9.5仍保證它在

[證法二(僅利用定理9.3定理任給由于

1n

，因此當n充分大時

1n2

這明

f

在

上只有有限個間斷點用定理9定理．3，推知f在

,1上積，且存在對

的某一分割

ii

在把小區間

與T成對的一個分割T.由f在

上的振幅

，因此得到22T

所

f

在

例3證明黎曼函數

1px,互素qpfxqx以在區間

f分析：已知黎曼函數在

x，x

，以及一切無理點處連續，而在間斷．證明它在

下