INET】1．(2022·安徽十校聯盟聯考)已知a＝log23，b＝2log53，c＝，則a，b，c的大小關系為()A．a>c>b B．a>b>cC．b>a>c D．c>b>a答案B解析∵a＝log23>1，b＝2log53＝log59>1，c＝<0，∴eq\f(a,b)＝eq\f(log23,log59)＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg5,lg9)＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg5,2lg3)＝eq\f(lg5,2lg2)＝eq\f(lg5,lg4)＝log45>1，∴a>b，∴a>b>c.2．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區間(－∞，1]上單調遞減，則a的取值范圍為()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案A解析令函數g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數f(x)在(－∞，1]上單調遞減，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g?1?>0，,a≥1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a<2，即a∈[1,2)．思維升華求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三個問題：一是定義域；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成．跟蹤訓練3(1)若實數a，b，c滿足loga2<logb2<logc2<0，則下列關系中正確的是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案C解析根據不等式的性質和對數的換底公式可得eq\f(1,log2a)<eq\f(1,log2b)<eq\f(1,log2c)<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得c<b<a<1.(2)若函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，x≥2，,－logax－4，0<x<2))存在最大值，則實數a的取值范圍是．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))解析當a>1時，函數f(x)＝logax在[2，＋∞)上單調遞增，無最值，不滿足題意，故0<a<1.當x≥2時，函數f(x)＝logax在[2，＋∞)上單調遞減，f(x)≤f(2)＝loga2；當0<x<2時，f(x)＝－logax－4在(0,2)上單調遞增，f(x)<f(2)＝－loga2－4，則loga2≥－loga2－4，即loga2≥－2＝logaa－2，即eq\f(1,a2)≥2,0<a≤eq\f(\r(2),2)，故實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).課時精練1．(2022·重慶巴蜀中學月考)設a＝eq\f(1,2)，b＝log7eq\r(5)，c＝log87，則()A．a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b答案D解析a＝eq\f(1,2)＝log7eq\r(7)>b＝log7eq\r(5)，c＝log87>log8eq\r(8)＝eq\f(1,2)＝a，所以c>a>b.2．若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數且f(2)＝1，則f(x)等于()A．log2xB.eq\f(1,2x)C．D．2x－2答案A解析函數y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.3.函數y＝loga(x＋c)(a，c為常數，其中a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則下列結論成立的是()①a>1；②0<c<1；③0<a<1；④c>1.A．①② B．①④C．②③ D．③④答案C解析由圖象可知函數為減函數，∴0<a<1，令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由圖象知0<1－c<1，∴0<c<1.4．(2022·銀川模擬)我們知道：人們對聲音有不同的感覺，這與它的強度有關系．一般地，聲音的強度用(W/m2)表示，但在實際測量時，聲音的強度水平常用L1＝10lg?eq\f(I,I0)(單位：分貝，L1≥0，其中I0＝1×10－12是人們平均能聽到的最小強度，是聽覺的開端)．某新建的小區規定：小區內公共場所的聲音的強度水平必須保持在50分貝以下，則聲音強度I的取值范圍是()A．(－∞，10－7) B．[10－12，10－5)C．[10－12，10－7) D．(－∞，10－5)答案C解析由題意可得，0≤10·lg?eq\f(I,I0)<50，即0≤lgI－lg(1×10－12)<5，所以－12≤lgI<－7，解得10－12≤I<10－7，所以聲音強度I的取值范圍是[10－12,10－7)．5．設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,?－x?，x<0.))若f(a)>f(－a)，則實數a的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案C解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,?－a?>log2?－a?，))解得a>1或－1<a<0.6．(2022·漢中模擬)已知log23＝a,3b＝7，則log2156等于()A.eq\f(ab＋3,a＋ab) B.eq\f(3a＋b,a＋ab)C.eq\f(ab＋3,a＋b) D.eq\f(b＋3,a＋ab)答案A解析由3b＝7，可得log37＝b，所以log2156＝eq\f(log3?7×23?,log3?3×7?)＝eq\f(log37＋log323,log33＋log37)＝eq\f(b＋3×\f(1,a),1＋b)＝eq\f(ab＋3,a＋ab).7．(2022·海口模擬)log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋＋的值等于．答案eq\f(7,2)解析原式＝log3＋lg52＋lg22＋2＋＝eq\f(3,2)＋2lg5＋2lg2＋2＋(－2)＝eq\f(3,2)＋2(lg5＋lg2)＋2＋(－2)＝eq\f(3,2)＋2＋2＋(－2)＝eq\f(7,2).8．已知函數y＝loga(x－3)－1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是．答案(4，－1)解析令x－3＝1，則x＝4，∴y＝loga1－1＝－1，故點P的坐標為(4，－1)．9．設f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)當x∈[1,2]時，求f(x)的最大值．解(1)因為f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2?a－b?＝1，,log2?a2－b2?＝log212，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝2，,a2－b2＝12，))解得a＝4，b＝2.(2)由(1)得f(x)＝log2(4x－2x)，令t＝4x－2x，則t＝4x－2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，因為1≤x≤2，所以2≤2x≤4，所以eq\f(9,4)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2≤eq\f(49,4)，即2≤t≤12，因為y＝log2t在[2,12]上單調遞增，所以ymax＝log212＝2＋log23，即函數f(x)的最大值為2＋log23.10．(2022·棗莊模擬)已知函數f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.(1)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(2)當a>1時，求使f(x)>0的x的解集．解(1)f(x)是奇函數，證明如下：因為f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,1－x>0，))解得－1<x<1，f(x)的定義域為(－1,1)．f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(－x＋1)]＝－f(x)，故f(x)是奇函數．(2)因為當a>1時，y＝loga(x＋1)是增函數，y＝loga(1－x)是減函數，所以當a>1時，f(x)在定義域(－1,1)內是增函數，f(x)>0即loga(x＋1)－loga(1－x)>0，logaeq\f(x＋1,1－x)>0，eq\f(x＋1,1－x)>1，eq\f(2x,1－x)>0，2x(1－x)>0，解得0<x<1，故使f(x)>0的x的解集為(0,1)．11．設a＝log0.20.3，b＝log20.3，則()A．a＋b<ab<0 B．ab<a＋b<0C．a＋b<0<ab D．ab<0<a＋b答案B解析∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3<log21＝0，∴ab<0.∵eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，∴0<eq\f(a＋b,ab)<1，∴ab<a＋b<0.12．若實數x，y，z互不相等，且滿足2x＝3y＝log4z，則()A．z>x>y B．z>y>xC．x>y，x>z D．z>x，z>y答案D解析設2x＝3y＝log4z＝k>0，則x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，根據指數、對數函數圖象易得4k>log2k，4k>log3k，即z>x，z>y.13．函數f(x)＝log2eq\r(x)·(2x)的最小值為．答案－eq\f(1,4)解析依題意得f(x)＝eq\f(1,2)log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，當log2x＝－eq\f(1,2)，即x＝eq\f(\r(2),2)時等號成立，所以函數f(x)的最小值為－eq\f(1,4).14．已知函數f(x)＝|log2x|，實數a，b滿足0<a<b，且f(a)＝f(b)，則a＋b的取值范圍是________．答案(2，＋∞)解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的圖象如圖所示，又f(a)＝f(b)且0<a<b，∴0<a<1，b>1且ab＝1，∴a＋b≥2eq\r(ab)＝2，當且僅當a＝b時取等號．又0<a<b，故a＋b>2.15．(2022·貴陽模擬)若3a＋log3a＝9b＋2log9b，則()A．a>2b B．a<2bC．a>b2 D．a<b2答案B解析f(x)＝3x＋log3x，易知f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，∵3a＋log3a＝32b＋log3b，∴f(2b)＝32b＋log3(2b)>32b＋log3b＝3a＋log3a＝f(a)，∴2b>a.16．已知函數f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)當k＝－4時，解不等式f(x)>2；(2)若函數f(x)的圖象過點P(0,1)，且關于x的方程f(x)＝x－2m有實根，求實數m的取值范圍．解(1)當k＝－4時，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，得log2(2x－4)>2，得2x－4>4，得2x>8，解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．(2)因為函數f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的圖象過點P(0,1)，所以f(0)＝1，即log2(1＋k)＝1，解得k＝1.所以f(x)＝log2(2x＋1)．因為關于x的方程f(x)＝x－2m有實根，即log2(2x＋