1.5函數y=asin(wx+)的圖象-教案LtD高考資源網（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。1.5函數y=Asin(ωx+φ)的圖象一、教學分析本節通過圖象變換,揭示參數φ、ω、A變化時對函數圖象的形狀和位置的影響,討論函數y=Asin(ωx+φ)的圖象與正弦曲線的關系,以及A、ω、φ的物理意義,并通過圖象的變化過程,進一步理解正、余弦函數的性質,它是研究函數圖象變換的一個延伸,也是研究函數性質的一個直觀反映.這節是本章的一個難點.如何經過變換由正弦函數y=sinx來獲取函數y=Asin(ωx+φ)的圖象呢?通過引導學生對函數y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規律的探索,讓學生體會到由簡單到復雜、由特殊到一般的化歸思想；并通過對周期變換、相位變換先后順序調整后,將影響圖象變換這一難點的突破,讓學生學會抓住問題的主要矛盾來解決問題的基本思想方法;通過對參數φ、ω、A的分類討論,讓學生深刻認識圖象變換與函數解析式變換的內在聯系.本節課建議充分利用多媒體,倡導學生自主探究,在教師的引導下,通過圖象變換和“五點”作圖法,正確找出函數y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規律,這也是本節課的重點所在.二、教學目標：1、知識與技能標的變化,你能否從中發現,φ對圖象有怎樣的影響？對φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的圖象,看看與y＝sinx的圖象是否有類似的關系？③你概括一下如何從正弦曲線出發,經過圖象變換得到y=sin(x+φ)的圖象.④你能用上述研究問題的方法,討論探究參數ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響嗎？為了作圖的方便,先不妨固定為φ=,從而使y=sin(ωx+φ)在ω變化過程中的比較對象固定為y=sin(x+).⑤類似地,你能討論一下參數A對y=sin(2x+)的圖象的影響嗎？為了研究方便,不妨令ω=2,φ=.此時,可以對A任取不同的值,利用計算器或計算機作出這些函數在同一坐標系中的圖象,觀察它們與y=sin(2x+)的圖象之間的關系.⑥可否先伸縮后平移？怎樣先伸縮后平移的？活動:問題①,教師先引導學生閱讀課本開頭一段,教師引導學生思考研究問題的方法.同時引導學生觀察y=sin(x+)圖象上點的坐標和y=sinx的圖象上點的坐標的關系,獲得φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響的具體認識.然后通過計算機作動態演示變換過程,引導學生觀察變化過程中的不變量,得出它們的橫坐標總是相差的結論.并讓學生討論探究.最后共同總結出:先分別討論參數φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響,然后再整合.圖1問題②,由學生作出φ取不同值時,函數y=sin(x+φ)的圖象,并探究它與y=sinx的圖象的關系,看看是否仍有上述結論.教師引導學生獲得更多的關于φ對y=sin(x+φ)的圖象影響的經驗.為了研究的方便,不妨先取φ=,利用計算機作出在同一直角坐標系內的圖象,如圖1,分別在兩條曲線上恰當地選取一個縱坐標相同的點A、B,沿兩條曲線同時移動這兩點,并保持它們的縱坐標相等,觀察它們橫坐標的關系.可以發現,對于同一個y值,y=sin(x+)的圖象上的點的橫坐標總是等于y=sinx的圖象上對應點的橫坐標減去.這樣的過程可通過多媒體課件,使得圖中A、B兩點動起來(保持縱坐標相等),在變化過程中觀察A、B的坐標、xB-xA、|AB|的變化情況,這說明y=sin(x+)的圖象,可以看作是把正弦曲線y=sinx上所有的點向左平移個單位長度而得到的,同時多媒體動畫演示y=sinx的圖象向左平移使之與y=sin(x+)的圖象重合的過程,以加深學生對該圖象變換的直觀理解.再取φ=,用同樣的方法可以得到y=sinx的圖象向右平移后與y=sin(x)的圖象重合.如果再變換φ的值,類似的情況將不斷出現,這時φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響的鋪墊已經完成,學生關于φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響的一般結論已有了大致輪廓.問題③,引導學生通過自己的研究認識φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響,并概括出一般結論:y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的圖象,可以看作是把正弦曲線上所有的點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平行移動|φ|個單位長度而得到.問題④,教師指導學生獨立或小組合作進行探究,教師作適當指導.注意提醒學生按照從具體到一般的思路得出結論,具體過程是:(1)以y=sin(x+)為參照,把y=sin(2x+)的圖象與y=sin(x+)的圖象作比較,取點A、B觀察.發現規律:圖2如圖2,對于同一個y值,y=sin(2x+)的圖象上點的橫坐標總是等于y=sin(x+)的圖象上對應點的倍.教學中應當非常認真地對待這個過程,展示多媒體課件,體現伸縮變換過程,引導學生在自己獨立思考的基礎上給出規律.(2)取ω=,讓學生自己比較y=sin(x+)的圖象與y=sin(x+)圖象.教學中可以讓學生通過作圖、觀察和比較圖象、討論等活動,得出結論:把y=sin(x+)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),就得到y=sin(x+)的圖象.當取ω為其他值時,觀察相應的函數圖象與y=sin(x+)的圖象的關系,得出類似的結論.這時ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響的鋪墊已經完成,學生關于ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響的一般結論已有了大致輪廓.教師指導學生將上述結論一般化,歸納y=sin(ωx+φ)的圖象與y=sin(x+φ)的圖象之間的關系,得出結論:函數y=sin(ωx+φ)的圖象可以看作是把y=sin(x+φ)的圖象上所有點的橫坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的倍(縱坐標不變)而得到.圖3問題⑤,教師點撥學生,探索A對圖象的影響的過程,與探索ω、φ對圖象的影響完全一致,鼓勵學生獨立完成.學生觀察y=3sin(2x+)的圖象和y=sin(2x+)的圖象之間的關系.如圖3,分別在兩條曲線上各取一個橫坐標相同的點A、B,沿兩條曲線同時移動這兩點,并使它們的橫坐標保持相同,觀察它們縱坐標的關系.可以發現,對于同一個x值,函數y=3sin(2x+)的圖象上的點的縱坐標等于函數y=sin(2x+)的圖象上點的縱坐標的3倍.這說明,y=3sin(2x+)的圖象,可以看作是把y=sin(2x+)的圖象上所有的點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變)而得到的.通過實驗可以看到,A取其他值時也有類似的情況.有了前面兩個參數的探究,學生得出一般結論:函數y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標不變)而得到,從而,函數y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.由此我們得到了參數φ、ω、A對函數y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象變化的影響情況.一般地,函數y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象,可以看作用下面的方法得到:先畫出函數y＝sinx的圖象;再把正弦曲線向左(右)平移|φ|個單位長度,得到函數y=sin(x+φ)的圖象；然后使曲線上各點的橫坐標變為原來的倍,得到函數y=sin(ωx+φ)的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標變為原來的A倍,這時的曲線就是函數y=Asin(ωx+φ)的圖象.⑥引導學生類比得出.其順序是:先伸縮橫坐標(或縱坐標),再伸縮縱坐標(或橫坐標),最后平移.但學生很容易在第三步出錯,可在圖象變換時,對比變換,以引起學生注意,并體會一些細節.由此我們完成了參數φ、ω、A對函數圖象影響的探究.教師適時地引導學生回顧思考整個探究過程中體現的思想:由簡單到復雜,由特殊到一般的化歸思想.（三）、討論結果:①把從函數y=sinx的圖象到函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的變換過程,分解為先分別考察參數φ、ω、A對函數圖象的影響,然后整合為對y=Asin(ωx+φ)的整體考察.②略②略.③圖象左右平移,φ影響的是圖象與x軸交點的位置關系.④縱坐標不變,橫坐標伸縮,ω影響了圖象的形狀.⑤橫坐標不變,縱坐標伸縮,A影響了圖象的形狀.（四）、規律總結:先平移后伸縮的步驟程序如下:y=sinx的圖象得y=sin(x+φ)的圖象得y=sin(ωx+φ)的圖象得y=Asin(ωx+φ)的圖象.先伸縮后平移(提醒學生盡量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx的圖象得y=Asinx的圖象得y=Asin(ωx)的圖象得y=Asin(ωx+φ)的圖象.（五）、應用示例例1畫出函數y=2sin(x-)的簡圖.活動:本例訓練學生的畫圖基本功及鞏固本節所學知識方法.(1)引導學生從圖象變換的角度來探究,這里的φ＝,ω＝,A＝2,鼓勵學生根據本節所學內容自己寫出得到y=2sin(x-)的圖象的過程:只需把y＝sinx的曲線上所有點向右平行移動個單位長度,得到y=sin(x-)的圖象;再把后者所有點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變),得到y=sin(x-)的圖象;再把所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)而得到函數y=2sin(x-)的圖象,如圖4所示.圖4(2)學生完成以上變換后,為了進一步掌握圖象的變換規律,教師可引導學生作換個順序的圖象變換,要讓學生自己獨立完成,仔細體會變化的實質.(3)學生完成以上兩種變換后,就得到了兩種畫函數y=2sin(x-),簡圖的方法,教師再進一步的啟發學生能否利用“五點法”作圖畫出函數y=2sin(x-)的簡圖,并鼓勵學生動手按“五點法”作圖的要求完成這一畫圖過程.解:方法一:畫出函數y=2sin(x-)簡圖的方法為y=sinxy=sin(x-)y=sin(x-)y=2sin(x-).方法二:畫出函數y=2sin(x-)簡圖的又一方法為y=sinxy=sinxy=2sinxy=2sin(x-)=2sin(x-).方法三:(利用“五點法”作圖——作一個周期內的圖象)令X=x-,則x=3(X+).列表:X0π2πX2π5πY020-20描點畫圖,如圖5所示.圖5點評:學生獨立完成以上探究后,對整個的圖象變換及“五點法”作圖會有一個新的認識.但教師要強調學生注意方法二中第三步的變換,左右平移變換只對“單個”x而言,這點是個難點,學生極易出錯.對于“五點法”作圖,要強調這五個點應該是使函數取最大值、最小值以及曲線與x軸相交的點.找出它們的方法是先作變量代換,設X=ωx+φ,再用方程思想由X取0,,π,,2π來確定對應的x值.（六）、課堂小結1.由學生自己回顧總結本節課探究的知識與方法,以及對三角函數圖象及三角函數解析式的新的認識,使本節的總結成為學生凝練提高的平臺.2.教師強調本節課借助于計算機討論并畫出y=Asin(ωx+)的圖象,并分別觀察參數φ、ω、A對函數圖象變化的影響,同時通過具體函數的圖象的變化,領會由簡單到復雜、特殊到一般的化歸思想.（七）、作業函數y=Asin(ωx+φ)的圖象（二）（一）、導入新課思路1.(直接導入)上一節課中,我們分別探索了參數φ、ω、A對函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響及“五點法”作圖.現在我們進一步熟悉掌握函數y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,φ≠0)的圖象變換及其物理背景.由此展開新課.思路2.(復習導入)請同學們分別用圖象變換及“五點作圖法”畫出函數y=4sin(x-)的簡圖,學生動手畫圖,教師適時的點撥、糾正,并讓學生回答有關的問題.在學生回顧與復習上節所學內容的基礎上展開新課.（二）、推進新課、新知探究、提出問題①在上節課的學習中,用“五點作圖法”畫函數y=Asin(ωx+φ)的圖象時,列表中最關鍵的步驟是什么？②(1)把函數y＝sin2x的圖象向_____平移_____個單位長度得到函數y＝sin(2x－)的圖象；(2)把函數y＝sin3x的圖象向_______平移_______個單位長度得到函數y＝sin(3x＋)的圖象；(3)如何由函數y＝sinx的圖象通過變換得到函數y＝sin(2x+)的圖象？③將函數y=f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,再向左平移個單位長度,所得到的曲線是y=sinx的圖象,試求函數y=f(x)的解析式.對這個問題的求解現給出以下三種解法,請說出甲、乙、丙各自解法的正誤.甲：所給問題即是將y=sinx的圖象先向右平移個單位長度,得到y=sin(x-)的圖象,再將所得的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的,得到y=sin(2x-),即y=cos2x的圖象,∴f(x)=cos2x.乙：設f(x)=Asin(ωx+φ),將它的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,得到y=Asin(x+φ)的圖象,再將所得的圖象向左平移個單位長度,得到y=Asin(x++φ)=sinx,∴A=,=1,+φ=0,即A=,ω=2,φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.丙：設f(x)=Asin(ωx+φ),將它的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,得到y=Asin(x+φ)的圖象,再將所得的圖象向左平移個單位長度,得到y=Asin[(x+)+φ]=Asin(x++φ)=sinx,∴A=,=1,+φ=0.解得A=,ω=2,φ=-,∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.活動:問題①,復習鞏固已學三種基本變換,同時為導入本節課重、難點創設情境.讓學生回答并回憶A、ω、φ對函數y=Asin(ωx+φ)圖象變化的影響.引導學生回顧“五點作圖法”,既復習了舊知識,又為學生準確使用本節課的工具提供必要的保障.問題②,讓學生通過實例綜合以上兩種變換,再次回顧比較兩種方法平移量的區別和導致這一現象的根本原因,以此培養訓練學生變換的逆向思維能力,訓練學生對變換實質的理解及使用誘導公式的綜合能力.問題③,甲的解法是考慮以上變換的“逆變換”,即將以上變換倒過來,由y=sinx變換到y=f(x),解答正確.乙、丙都是采用代換法,即設y=Asin(ωx+φ),然后按題設中的變換得到兩次變換后圖象的函數解析式,這種思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答過程中存在實質性的錯誤,就是將y=Asin(x+φ)的圖象向左平移個單位長度時,把y=Asin(x+φ)函數中的自變量x變成x+,應該變換成y=Asin[(x+)+φ],而不是變換成y=Asin(x++φ),雖然結果一樣,但這是巧合,丙的解答是正確的.三角函數圖象的“逆變換”一定要注意其順序,比如甲生解題的過程中如果交換了順序就會出錯,故在對這種方法不是很熟練的情況下,用丙同學的解法較合適(即待定系數法).平移變換是對自變量x而言的,比如乙同學的變換就出現了這種錯誤.討論結果:①將ωx+φ看作一個整體,令其分別為0,,π,,2π.②(1)右,；(2)左,；(3)先y＝sinx的圖象左移,再把所有點的橫坐標壓縮到原來的倍(縱坐標不變).③略.提出問題①回憶物理中簡諧運動的相關內容,并閱讀本章開頭的簡諧運動的圖象,你能說出簡諧運動的函數關系嗎？②回憶物理中簡諧運動的相關內容,回答:振幅、周期、頻率、相位、初相等概念與A、ω、φ有何關系.活動:教師引導學生閱讀并適時點撥.通過讓學生回憶探究,建立與物理知識的聯系,了解常數A、ω、φ與簡諧運動的某些物理量的關系,得出本章開頭提到的“簡諧運動的圖象”所對應的函數解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述簡諧運動的物理量,如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數有關:A就是這個簡諧運動的振幅,它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離;這個簡諧運動的周期是T=,這是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間;這個簡諧運動的頻率由公式f==給出,它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數;ωx+φ稱為相位;x=0時的相位φ稱為初相.討論結果:①y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.②略.（三）、應用示例例1圖7是某簡諧運動的圖象.試根據圖象回答下列問題:(1)這個簡諧運動的振幅、周期和頻率各是多少?(2)從O點算起,到曲線上的哪一點,表示完成了一次往復運動?如從A點算起呢?(3)寫出這個簡諧運動的函數表達式.圖7活動:本例是根據簡諧運動的圖象求解析式.教師可引導學生再次回憶物理學中學過的相關知識,并提醒學生注意本課開始時探討的知識,思考y=Asin(ωx+φ)中的參數φ、ω、A在圖象上是怎樣反映的,要解決這個問題,關鍵要抓住什么.關鍵是搞清φ、ω、A等參數在圖象上是如何得到反映的.讓學生明確解題思路,是由形到數地解決問題,學會數形結合地處理問題.完成解題后,教師引導學生進行反思學習過程,概括出研究函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的思想方法,找兩名學生闡述思想方法,教師作點評、補充.解:(1)從圖象上可以看到,這個簡諧運動的振幅為2cm;周期為0.8s;頻率為.(2)如果從O點算起,到曲線上的D點,表示完成了一次往復運動;如果從A點算起,則到曲線上的E點,表示完成了一次往復運動.(3)設這個簡諧運動的函數表達式為y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),那么A=2;由=0.8,得ω=;由圖象知初相φ=0.于是所求函數表達式是y=2sinx,x∈［0,+∞).點評:本例的實質是由函數圖象求函數解析式,要抓住關鍵點.應用數學中重要的思想方法——數形結合的思想方法,應讓學生熟練地掌握這種方法.變式訓練函數y=6sin(x-)的振幅是,周期是____________,頻率是____________,初相是___________,圖象最高點的坐標是_______________.解:68π(8kπ+,6)(k∈Z)例2若函數y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0)在其一個周期內的圖象上有一個最高點(,3)和一個最低點(,-5),求這個函數的解析式.活動:讓學生自主探究題目中給出的條件,本例中給出的實際上是一個圖象,它的解析式為y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0),這是學生未遇到過的.教師應引導學生思考它與y=Asin(ωx+φ)的圖象的關系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|個單位.由圖象可知,取最大值與最小值時相應的x的值之差的絕對值只是半個周期.這里φ的確定學生會感到困難,因為題目中畢竟沒有直接給出圖象,不像例1那樣能明顯地看出來,應告訴學生一般都會在條件中注明|φ|<π,如不注明,就取離y軸最近的一個即可.解:由已知條件,知ymax=3,ymin=-5,則A=(ymax-ymin)=4,B=(ymax+ymin)=-1,=-=.∴T=π,得ω=2.故有y=4sin(2x+φ)-1.由于點(