PAGEPAGE4不等式的性質(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1．若a＜b＜0，則下列不等式不成立的是()A．eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a) B．eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．|a|＞|b| D．a2＞b2【解析】選A.取a＝－2，b＝－1，則eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)不成立．2．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，有下面四個不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a＋b＜ab；④a3＞b3，不正確的不等式的個數是()A．0B．1C．2D．3【解析】選C.由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可得0＞a＞b，所以|a|＜|b|，故①②不成立；所以a＋b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正確．【補償訓練】(多選)已知下列四個條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有()A．①B．②C．③D．④【解析】選ABD.運用倒數性質，由a>b，ab>0可得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，②，④正確．又正數大于負數，①正確，③錯誤．3．(多選題)已知實數a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，則下列不等式一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)>0C．aceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))<0 D．cb2<ab2【解析】選ABC.因為實數a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，所以a>0，c<0，由b>c，a>0，得ab>ac，故A正確；由b<a，c<0，得ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a))>0，故B正確；由a>c，ac<0，得aceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))<0，故C正確；由a>c，b2≥0，得cb2≤ab2，當b＝0時，等號成立，故D錯誤．4．若－1<α<β<1，則下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1【解析】選A.由－1<β<1，得－1<－β<1，又－1<α<1，所以－2<α－β<2，而α<β，所以－2<α－β<0.5．已知a，b，c，d∈R，則下列命題中必成立的是()A．若a>b，c>b，則a>cB．若a>－b，則c－a<c＋bC．若a>b，c<d，則eq\f(a,c)>eq\f(b,d)D．若a2>b2，則－a<－b【解析】選B.選項A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立；選項C不滿足倒數不等式的條件，如a>b>0，c<0<d時，不成立；選項D只有a>b>0時才成立．否則如a＝－1，b＝0時不成立，故選B.6．(多選題)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列命題：(1)ad＞bc.(2)eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＜0.(3)a－c＞b－d.(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的是()A．(1)B．(2)C．(3)D．(4)【解析】選B、C、D.因為a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，所以(1)錯誤．因為a＞0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因為c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a(－c)＞(－b)(－d)，所以ac＋bd＜0，所以eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＝eq\f(ac＋bd,cd)＜0，所以(2)正確．因為c＜d，所以－c＞－d，因為a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，所以(3)正確．因為a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，所以(4)正確．二、填空題(每小題5分，共10分)7．給出下列命題：①若ab＞0，a＞b，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d；③對于正數a，b，m，若a＜b，則eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m).其中真命題的序號是________．【解析】對于①，若ab＞0，a>b，則a>b>0或0>a>b，所以eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，所以①正確；對于②，不妨令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－3，則a－c＝3，b－d＝4.所以a－c＞b－d不成立，②錯誤；對于③，對于正數a，b，m，若a<b，則am<bm，所以ab＋am<ab＋bm，即a(b＋m)<b(a＋m)，所以eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m).綜上，正確的命題序號是①③.答案：①③8．已知60<x<84，28<y<33，則x－y的取值范圍為________，eq\f(x,y)的取值范圍為________．【解析】x－y＝x＋(－y)，所以需先求出－y的范圍；eq\f(x,y)＝x×eq\f(1,y)，所以需先求出eq\f(1,y)的范圍．因為28<y<33，所以－33<－y<－28，eq\f(1,33)<eq\f(1,y)<eq\f(1,28).又60<x<84，所以27<x－y<56，eq\f(60,33)<eq\f(x,y)<eq\f(84,28)，即eq\f(20,11)<eq\f(x,y)<3.答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x－y）|27<x－y<56))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)|\f(20,11)<\f(x,y)<3))【補償訓練】已知a，b，c為實數，判斷以下各結論的對錯．①若a>b，則ac<bc；②若ac2>bc2，則a>b；③若a<b<0，則a2>ab>b2；④若c>a>b>0，則eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)；⑤若a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a>0，b<0.【解析】①c是正、負或為零未知，因而缺少判斷ac與bc的大小依據，故該結論錯誤；②由ac2>bc2知c≠0，所以c2>0，所以a>b，故該結論正確；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a<b,a<0))?a2>ab；又eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a<b,b<0))?ab>b2，所以a2>ab>b2，故該結論正確；④因為a>b>0，所以－a<－b，所以c－a<c－b，又因為c>a>b>0，所以eq\f(1,（c－a）（c－b）)>0，在c－a<c－b兩邊同乘eq\f(1,（c－a）（c－b）)，得eq\f(1,c－a)>eq\f(1,c－b)>0，又a>b>0，所以eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).故該結論正確；⑤由已知條件知a>b?a－b>0，又eq\f(1,a)>eq\f(1,b)?eq\f(1,a)－eq\f(1,b)>0?eq\f(b－a,ab)>0，因為a－b>0，所以b－a<0，所以ab<0.又a>b，所以a>0，b<0，故該結論正確．三、解答題(每小題10分，共20分)9．若不等式0≤x＋1≤2成立時，關于x的不等式x－a－1>0也成立，求實數a的取值范圍．【解析】由0≤x＋1≤2，得－1≤x≤1，則不等式0≤x＋1≤2成立時，關于x的不等式x－a－1>0也成立，即－1≤x≤1時，x>a＋1成立，所以－1>a＋1，解得a<－2，故實數a的取值范圍是{a|a<－2}．10．若a>b>0，c<d<0，e<0.求證：eq\f(