1.借助函數圖象,會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值.2.理解函數單調性的作用和實際意義,會判斷函數的單調性.3.理解函數的最大(小)值的作用和實際意義,會借助單調性求函數的最大(小)值.3.2函數的基本性質3.2.1單調性與最大(小)值1|增函數與減函數的定義

增函數減函數條件一般地,設函數f(x)的定義域為I,區間D?I如果①

?x1,x2∈D

,當x1<x2時,都有②

f(x1)<f(x2)

③

f(x1)>f(x2)

結論那么就稱函數f(x)在區間D上④

單調遞增

那么就稱函數f(x)在區間D上⑤單調遞減

圖示

圖象特征函數f(x)在區間D上的圖象是上升的函數f(x)在區間D上的圖象是下降的特別地,當函數y=f(x)在它的定義域上單調遞增或單調遞減時,我們就稱它是

增函數或減函數.如果函數y=f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減,那么就說函數y

=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性,區間D叫做y=f(x)的單調區間.一般地,設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足:?x∈I,都有⑥

f(x)≤M

,?x0∈I,使得f(x0)=M,那么,我們稱M是函數y=f(x)的最大值;如果存在實數M滿足:?x∈I,都有⑦

f(x)≥M

,?x0∈I,使得f(x0)=M,那么我們稱M是函數y=f(x)的最小值.當一個函數f(x)的圖象有最低(高)點時,我們就說函數f(x)有最小(大)值.2|函數的最大值與最小值科考隊對“早穿棉襖午穿紗,圍著火爐吃西瓜”這一獨特的沙漠氣候進行科學考

察,如圖是某天氣溫隨時間的變化曲線.請根據曲線圖回答1~3題.

判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.1.該天的最高氣溫為25℃,最低氣溫為-5℃.

(√)2.該天氣溫在6時至17時內隨著時間增加而增加.(√)3.該天的溫差是20℃.

(

?)4.函數f(x)取最大值時,對應的x可能有無限多個.(√)提示:例如:f(x)=

f(x)的最大值為1,f(x)取最大值時,x的取值集合為(0,+∞),有無數個值.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.5.若函數f(x)在區間(1,2]和(2,3)上均為增函數,則函數f(x)在區間(1,3)上為增函數.

(

?

)提示:例如:f(x)=

f(x)在區間(1,2]和(2,3)上均為增函數,但由圖象(圖略)知函數f(x)在區間(1,3)上不是增函數.6.若函數f(x)在區間[a,b]上是增函數,則f(x)在區間[a,b]上的最小值是f(a),最大值是

f(b).(√)1|如何判斷或證明函數的單調性1.判斷函數單調性的方法(1)圖象法.根據函數圖象的升降情況進行判斷.(2)直接法.運用已知結論,直接得到函數的單調性,如一次函數、二次函數、反比

例函數的單調性均可直接得出.(3)復合函數單調性的判斷依據如下:由函數u=g(x)與函數y=f(u)復合,得到函數y=f(g(x)),其單調性的判斷方法如下:u=g(x)y=f(u)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增復合函數的單調性可簡記為“同增異減”,即內外函數的單調性相同時單調遞增,相異時單調遞減.2.證明函數的單調性根據增函數、減函數的定義,按照“取值→作差→變形→判斷符號→下結論”進

行證明.利用定義證明f(x)=x3在R上是增函數.證明

任取R上的兩個實數x1,x2,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=

-

=(x1-x2)(

+x1x2+

)=(x1-x2)

,∵x1<x2,∴x1-x2<0,又

≥0,

≥0,且兩個等號不能同時成立,∴

+

>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)=x3在R上是增函數.設函數f(x)的定義域是(0,+∞),且對于任意正實數x,y,f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已

知f(2)=1,且當x>1時,f(x)>0.(1)求f

的值;(2)判斷函數f(x)在(0,+∞)上的單調性并給出證明.思路點撥抽象函數問題求解的關鍵是根據結論對x,y進行賦值,通過賦值解決.解析

(1)∵對于任意正實數x,y,f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,∴當x=y=1時,有f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.當x=2,y=

時,有f

=f(2)+f

,即f(2)+f

=0,又f(2)=1,∴f

=-1.(2)函數f(x)在(0,+∞)上為增函數.證明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則f(x1)+f

=f(x2),即f(x2)-f(x1)=f

.∵

>1,∴f

>0,即f(x2)>f(x1),

∴f(x)在(0,+∞)上為增函數.2|如何利用函數的單調性解決相關函數問題利用函數的單調性解不等式利用函數的單調性解不等式主要依據函數單調性的定義和性質,將符號“f”脫

掉,列出關于未知量的不等式(組),然后求解,此時注意函數的定義域.根據函數的單調性確定參數的取值范圍1.利用單調性的定義:在單調區間內任取x1,x2,且x1<x2,由f(x1)-f(x2)<0(或f(x1)-f(x2)>0)

恒成立求參數的取值范圍.2.利用具體函數本身所具有的特征:如二次函數的圖象被對稱軸一分為二,可根據

對稱軸相對于所給單調區間的位置建立關于參數的不等式(組),解不等式(組),求

出參數的取值范圍.注意:(1)若某個函數在區間[a,b]上是單調的,則該函數在此區間的任意子區間上

也是單調的.(2)對于定義域上單調的分段函數求參問題,一般從兩方面考慮:一方面每個分段

區間上函數具有相同的單調性,由此列出相關式子;另一方面要考慮分界點處函

數值之間的大小關系,由此列出另外的式子,從而解得參數的取值范圍.已知函數y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數,且f(2a-1)<f(1-a),則實數a的取值范

圍是

(

B)A.

B.

C.(0,2)

D.(0,+∞)思路點撥利用單調性結合定義域去掉“f”,進而求解不等式組.解析

函數y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數,則有

解得

<a<1,故實數a的取值范圍是

.故選B.(1)若函數f(x)=

是(-∞,+∞)上的減函數,則實數a的取值范圍是

(

B)A.(-2,0)

B.[-2,0)C.(-∞,1]

D.(-∞,0)(2)若函數f(x)=-x2-2(a+1)x+3在區間(-∞,3]上單調遞增,則實數a的取值范圍是(-∞,-4]

.思路點撥(1)結合分段函數的單調性,討論每段函數滿足減函數時的條件以及兩段函數分

界點處函數值的關系,列出不等式組求解;(2)結合二次函數的單調性,先判斷其圖象的開口方向與對稱軸,再利用單調性確

定參數滿足的條件.解析

(1)因為f(x)=

是定義在(-∞,+∞)上的減函數,所以

解得-2≤a<0.故實數a的取值范圍是[-2,0).(2)因為f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,其圖象開口向下,對稱軸方程為x=-

a-1,所以函數的單調遞增區間為(-∞,-a-1],由f(x)在(-∞,3]上單調遞增知3≤-a-1,解得a≤-4,即實數a的取值范圍為(-∞,-4].3|如何求二次函數在某閉區間上的最大(小)值二次函數在某閉區間上的最大(小)值問題的解法1.含參數的二次函數最大(小)值問題的解法:解決含參數的二次函數的最值問題,首先將二次函數化為y=a(x-h)2+k的形式,再由

a的符號確定拋物線的開口方向,根據對稱軸方程x=h得出頂點的位置,再根據x的

定義區間結合大致圖象確定最大或最小值.2.對于含參數的二次函數的最值問題,一般有下列幾種類型:(1)區間固定,對稱軸變動(含參數),求最值;(2)對稱軸固定,區間變動(含參數),求最值;(3)區間固定,最值也固定,對稱軸變動,求參數.求解時通常都是根據區間端點和對稱軸的相對位置進行分類討論.求函數f(x)=x2-2ax-1在區間[0,2]上的最大值和最小值.思路點撥由于二次函數的最值與其圖象的對稱軸位置有關,而題中函數圖象的對稱軸為直

線x=a,其位置不確定,所以應按函數圖象的對稱軸與區間[0,2]的相對位置進行分

類討論.解析

f(x)=(x-a)2-1-a2,其圖象的對稱軸為直線x=a.(1)當a<0時,由圖①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.

(2)當0≤a≤1時,由圖②可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.(3)當1<a≤2時,由圖③可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.

(4)當a>2時,由圖④可知,f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.綜上,f(x)的最大值為M(a)=

f(x)的最小值為m(a)=

解題模板二次函數在指定區間上的最大(小)值與二次函數圖象的開口方向、對稱軸位置

有關,求解時要注意這兩個因素.本題不是分a<0,0≤a≤2,a>2三種情況討論,而是

分四種情況,這是由于拋物線的對稱軸在區間[0,2]內時,最小值是在頂點處取得

的,但最大值有可能是f(0),也有可能是f(2).求函數f(x)=x2-2x+2在區間[t,t+1]上的最小值g(t).思路點撥因為圖象的對稱軸固定,區間不定,所以可以從三個方面進行討論:①圖象的對稱

軸在區間左側;②圖象的對稱軸在區間右側;③圖象的對稱軸在區間內.解析

f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],其圖象的對稱軸為直線x=1.

當t+1<1,即t<0時,函數圖象如圖①所示,f(x)在區間[t,t+1]上為減函數,所以g(t)=f(t+1)=t2+1;當t≤1≤t+1,即0≤t≤1時,函數圖象如圖②所示,g(t)=f(1)=1;當t>1時,函數圖象如圖③所示,