第三章導數專題2積分與微積分基本定理(理科)【三年高考】TOC\o"1-5"\h\z【2015高考湖南，理11】J2(x-1)dx= .0【2015高考陜西，理16】如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線表示)，則原始的最大流量與當前最大流量的比值為 .3.【2015高考天津，理11】曲線y二x2與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為 .【2017考試大綱】定積分與微積分基本定理了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想,了解定積分的概念.了解微積分基本定理的含義.【三年高考命題回顧】縱觀前三年各地高考試題，定積分屬于理科內容，從近幾年的高考試題來看，定積分重點考查定積分的應用,利用定積分求值，求面積，題型為選擇題或填空題.【2018年高考復習建議與高考命題預測】定積分可以看作是導數在某一區間上的逆運算.它是新課標新增加的內容之一，在以前的課本中沒有出現定積分的概念，在高考中主要考查定積分的計算和定積分的幾何意義，多為容易題，一般每年出一道題有時和二項式結合出題，因此在2017年復習備考中，只須掌握積分的概念，積分的運算，會用積分求面積,體積即可.由于在2016,2017年的高考試題中積分沒出題，預測2018年高考可能對定積分考查，可能是利用定積分求值，或與幾何概型結合出題，利用定積分來求封閉圖形的面積.【2018年高考考點定位】高考對定積分的考查主要有定積分的計算和定積分的幾何意義作為新增內容，它是大學微積分的基礎，很受出題人的青睞，故在復習時應引起重視.

考點一、求已知函數的定積分【備考知識梳理】1、定積分的概念如果函數f(x)在區間［a,b］上連續，用分點a二x<x<???<x<xv…vx二b將區間ta,b］等分TOC\o"1-5"\h\z0 1 i-1 i n成n個小區間，在每個小區間［x,x］上任取一點匕(i=1,2,—，n)，作和式i-1i i%G)心=Zb-af(g)，當nT+a時，上述和式無限接近某個水常數，這個常數叫做函數在區ii=1n ii=1TOC\o"1-5"\h\z間上的定積分，記作fbf(x^Zx,即fbf(x)dx=lim工f(g)n ia a nT8i=12、微積分基本定理如果f(x)是區間［a,b］上的連續函數，并且F(x)=f(x)，那么Jbf(x)dx二F(b)—F(a)，這個結論a叫做微積分基本定理，又叫做牛頓 萊布尼茲公式.3、定積分的基本性質卜kf3、定積分的基本性質卜kf(x)dx=kfbf(x加，其中k為常數\o"CurrentDocument"a afb[f(x)±g(x力dx=fbf(x》x±fbg(x》xa a afbf(x)dx=fcf(x)ix+fbf(x)ix，其中a<c<ba a c(1)(2)(3)【規律方法技巧】1.求函數f(x)的定積分，關鍵是求出函數f(x) F(x) F，(x)=f(x)求導運算與求原函數運算互為逆運算的關系.2?計算簡單定積分的步驟把被積函數變為幕函數、正弦函數、余弦函數、指數函數與常數的和或差；利用定積分的性質把所求的定積分化為若干個定積分的和或差；⑶分別用求導公式找到F(x),使得F(x)=fx)；利用牛頓——萊布尼茲公式求出各個定積分的值；計算所求定積分的值.3.求導運算與求原函數運算互為逆運算，求定積分的關鍵是找到被積函數的原函數,為避免出錯，在求出原函數后可利用求導與積分互為逆運算的關系進行驗證【考點針對訓練】

1.【2017湖南婁底二模】若1.【2017湖南婁底二模】若fCx2+sinx)dx=18,2.【2017江西4月質檢】計算考點二、求分段函數的定積分【備考知識梳理】1、分段函數的定積分(1)分段函數在區間【a,b］上的定積分可分成幾段定積分的和的形式.(2)分段的標準是使每一段上的函數表達式是確定的，一般按照原函數分段的情況分，無需分得過細.2、奇函數與偶函數在對稱區間上的定積分若f(x)為偶函數，且在關于原點對稱的區間［-a,a］上連續，則faf(x》x=2faf(x)dx—a 0若f(x)為奇函數，且在關于原點對稱的區間［—a,a］上連續，則faf(x)dx=0—a【規律方法技巧】分段函數在區間［a,b］上的定積分可分成幾段定積分的和的形式.分段的標準只需依據已知函數的分段標準【考點針對訓練】x【考點針對訓練】x31.求函數f(x)=r'x2x—14(0<x<1)(1<x<4)在區間［0,5］上的定積分.2.【2017屆黑龍江省哈爾濱市高三(4<x<5)模］已知f(x)=｛廠云xe(-1］1］，則ff(x)dx= x2—1,xG(1,2」—1考點三、定積分的幾何意義【備考知識梳理】1、當函數f(x)在區間［a,b」上恒為正時，定積分fbf(x)dx的幾何意義是直線x=a,x=b,y=0和曲1、a線y=f(x)圍成的曲邊梯形的面積;曲線y=f(x)和直線x=a,x=曲線y=f(x)和直線x=a,x=b之間的曲邊梯形的面積的代數和，其中在x軸上方的面積等于該區間上定積分值，X軸下方的面積等于該區間上定積分的相反數.【規律方法技巧】1?利用定積分求平面圖形面積的關鍵是畫出幾何圖形，結合圖形位置，確定積分區間以及被積函數，從而得到面積的積分表達式，再利用微積分基本定理求出積分值.2.定積分的應用及技巧：（1）對被積函數，要先化簡，再求定積分.（2）求被積函數是分段函數的定積分，依據定積分的性質，分段求定積分再求和.（3）對含有絕對值符號的被積函數，要去掉絕對值符號才能求定積分.（4）應用定積分求曲邊梯形的面積，解題的關鍵是利用兩條曲線的交點確定積分區間以及結合圖形確定被積函數.求解兩條曲線圍成的封閉圖形的面積一般是用積分區間內上方曲線減去下方曲線對應的方程、或者直接作差之后求積分的絕對值，否則就會求出負值.［易錯提示］在使用定積分求兩曲線圍成的圖形的面積時，要注意根據曲線的交點判斷這個面積是怎樣的定積分，既不要弄錯積分的上下限，也不要弄錯被積函數.用微積分基本定理求定積分時，要掌握積分與導數的互逆關系及求導公式的逆向形式.3?定積分的應用主要有兩個問題：一是能利用定積分求曲邊梯形的面積；二是能利用定積分求變速直線運動的路程及變力做功問題，其中，應特別注意求定積分的運算與利用定積分計算曲邊梯形面積的區別【考點針對訓練】1?【四川省成都市2017屆高中畢業班第三次診斷檢測】已知錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。是曲線錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。軸圍成的封閉區域?若向區域錯誤！未找到引用源。內隨機投入一點錯誤！未找到引用源。則點錯誤！未找到引用源。落入區域錯誤！未找到引用源。的概率為（）A.錯誤！未找到引用源。 B.錯誤！未找到引用源。 C.錯誤！未找到引用源。 D.錯誤！未找到引用源。2.【遼寧省實驗中學2017屆高三下學期第六次模擬】如圖所示，正弦曲線y二sinx，余弦曲線y=cosx與兩直線x二0，x二兀所圍成的陰影部分的面積為（）

A.1B.J2 C.2D.2叮2【應試技巧點撥】利用定積分求曲邊圖形面積時，一定要找準積分上限、下限及被積函數.當圖形的邊界不同時，要分不同情況討論.求曲邊圖形面積的方法與步驟畫圖，并將圖形分割為若干個曲邊梯形；對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；確定被積函數；求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和.定積分Jbf(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線y=f(x)以及直線x二a,x二b之間的曲邊梯形面積的a1.【2017河北五邑三模】二項式ax-代數和，其中在x軸上方的面積等于該區間上的積分值，在1.【2017河北五邑三模】二項式ax-(a>0)的展開式的第二項的系數為-尋，則Jx2dx的值為-22.，則二項式f2.，則二項式fx-上y的展開式I2x2丿中的常數項為()15215A.-B.-C.-D.-1824【遼寧省錦州市2017屆高三質量檢測(二)】設a=fcosxdx，則I2x--\展開式中常數項為 I x丿0(用數字作答).【福建省泉州市2017屆高三(5月)】已知曲線C:y二x2+2x在點(0,0)處的切線為l，則由C,/以及直線x二1圍成的區域的面積等于 ?5.【湖北省襄陽第四中學2017屆高三5月】已知函數y二2cosx(0<x<2兀)的圖象和直線y二2圍成一個封閉的平面圖形，則這個封閉圖形的面積是

6.【江西省重點中學盟校2017屆高三第二次聯考】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M是AB的中點，過C,M,D三點的拋物線與CD圍成陰影部分，則向正方形內撒一粒黃豆落在陰影部分的概率是()A.B.1CA.B.1C?一2D.7.ab【山西省臨汾第一中學7.ab【山西省臨汾第一中學2017屆高三全真模擬】定義』=ad-becd2二1x4—2x3二—2，那432323A.6B.3C.2D°&【河北省石家莊市2017屆高三沖刺模考】在拋物線y二X2與直線y二2圍成的封閉圖形內任取一點A，O為坐標原點，則直線OA被該封閉圖形解得的線段長小于的概率是()c至.c至.16D.149.【江西省贛州市2017屆高三第二次模擬】如圖所示，由直線x二a,x=a+l(a>0)，y二x2及x軸圍成的曲邊梯形的面積介于小矩形與大矩形的面積之間，即a2<Tx2dx<(a+1)2.類比之，若對VneN,+a—kk k-”kk不等式+ +???+—<—kk k-”kk不等式+ +???+—<In4< + +???+n+1n+2 2n nn+1k2n—1恒成立,則實數k等于 10.【湖南省長沙市長郡中學2017屆高三5月模擬】已知a=f（2x+1）dx， （neN*）n0前n項和為S，數列｛b｝的通項公式為b=10.【湖南省長沙市長郡中學2017屆高三5月模擬】已知a=f（2x+1）dx， （neN*）n0前n項和為S，數列｛b｝的通項公式為b=n—8，則bS的最小值為.n n n nn11.【2016屆山西省榆林市高三二模】設m=J1J1—x2dx,若將函數f（x）=sin（?x+申）的圖像向左平—1移m個單位后所得圖像與原圖像重合，則?的值不可能為（）A.4B.6C.8D.12【答案】B12.【2016屆山東省師大附中高三最后一模】設函數f（x）=ax2+b（a主0），"o>0，則x0等于（）3C.2D.3x2,xe【0,1],13.【2016屆吉林省毓文中學高三模擬】設f（x）=<1—,xe、x仃,e]（其中e為自然對數的底數），則f（x）dx0的值為（）43A.5B.—46C.—57D.-614.15.0 4【2016屆山西省忻州一中等四校高三下第四次聯考】已知函數f（x）二-x3+ax2+bx（a,beR）的圖象如圖所示，它與x軸在原點相切，且x軸與函數圖象所圍成的區域（如圖陰影部分）的面積為;，則a的JL厶【一年原創真預測】1.J3sin4xdx的值為（）0B.C.D.2.【2017年第二次全國大聯考（山東卷）】n a已知a=212sinxdx，則二項式（x+ ）6展開式中的常數項o yx是 a3?定積分r（2x+ex）dx二ea，則（x+）6展開式中的常數項為（）o xA.1 B.-1 C.20 D.-204.若(1+x)(