第1學時橫向數學化之方案設計示例一手機經銷商計劃購進某品牌的A型、B型、C型三款手機共60部，每款手機至少要購進8部，且恰好用完購機款61000元．設購進A型手機x部，B型手機y部．三款手機的進價和預售價如下表：手機型號A型B型C型進價（單位：元/部）90012001100預售價（單位：元/部）120016001300（1）用含x，y的式子表示購進C型手機的部數；（2）求出y與x之間的函數關系式；（3）假設所購進手機全部售出，綜合考慮各種因素，該手機經銷商在購銷這批手機過程中需另外支出各種費用共1500元．①求出預估利潤P（元）與x（部）的函數關系式；（注：預估利潤P＝預售總額-購機款-各種費用）②求出預估利潤的最大值，并寫出此時購進三款手機各多少部．思路點撥題目中的‘問題串’為順利解題提供了思路，‘借助表格’用含x，y的式子表示購進C型手機的部數是寫y與x之間的函數關系式的基礎。在問題（3）中需要同時關注三個不等關系。才能夠把利潤最大的方案設計出來。題目解答解：（1）60-x-y； （2）由題意，得900x+1200y+1100（60-x-y）=

61000，整理得y=2x-50．（3）①由題意，得P=1200x+1600y+1300（60-x-y）-

61000-1500，整理得P=500x+500． ②購進C型手機部數為：60-x-y

=110-3x．根據題意列不等式組，得解得29≤x≤34．∴

x ∵P是x的一次函數，k=500＞0，∴P隨x的增大而增大．∴當x取最大值34時，P有最大值，最大值為17500元． 此時購進A型手機34部，B型手機18部，C型手機8部．小結方案設計來自于自變量的取值范圍，而自變量的取值范圍往往通過解不等式組獲得。所以此類題是函數、方程、不等式（組）的綜合題，綜合性較強，難度較大，其中的問題1、2、3······所形成的‘問題串’往往是暗藏在題目中的解題思路，所以，要結合題目本身的‘問題串’，搞清楚問題的梯度與聯系。在解決此類問題時，不僅要關注函數模型的建立，方程思想的應用，同時還要特別關注自變量的取值范圍及函數的增減性。第2學時橫向數學化之市場營銷示例利達經銷店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨噸．該經銷店為提高經營利潤，準備采取降價的方式進行促銷．經市場調查發現：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.

5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元．設每噸材料售價為x（元），該經銷店的月利潤為y（元）．（1）當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；（2）求出y與x的函數關系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）該經銷店要獲得最大月利潤，售價應定為每噸多少元？（4）小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大．”你認為對嗎？請說明理由．思路點撥此題為順利解題設計了‘問題串’，每個小問題就是一個臺階。問題（1）是具體的計算，計算當每噸售價是240元時的月銷售量。問題（2）首先要用代數式表示每噸的利潤：每噸的售價減去每噸支付廠家及其它費用100元，即；其次，要用代數式表示每月銷售量：每月銷售出去的噸數：，然后，利用數量關系：經銷店的月利潤＝每噸的利潤每月銷售出去的噸數，就能求出y與x的函數關系式。題目解答解：（1）=60（噸）．（2），化簡得：．（3）．利達經銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應定為每噸210元．（4）我認為，小靜說的不對．理由：當月利潤最大時，x為210元，而對于月銷售額來說，當x為160元時，月銷售額W最大．∴當x為210元時，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對．小結從市場營銷的實際問題中提取出數學模型是解決問題的關鍵。如本題，當建立起函數關系式：和，問題（3）（4）就迎刃而解了，此題有鮮明的市場營銷的特點，首先是揭示原銷售價和原銷售量之間關系的第一個‘每’；其次是揭示了‘銷售量隨銷售價變化而變化’的內部規律的第二個‘每’。所以，應重點關注這兩個‘每’字。另外，命題人為了降低難度而又不變題型，往往把問題做細，形成一個‘問題串’，給學生一個解決問題的階梯，所以說，我們應該認識到‘問題多’僅僅是表面變得復雜，恰恰是‘問題多’才可以形成‘問題串’給我們解題思路。第3學時橫向數學化之數學建模（1） 示例對于氣溫，有的地方用攝氏溫度表示，有的地方用華氏溫度表示，攝氏溫度與華氏溫度之間存在著某種函數關系，從溫度計的刻度上可以看出，攝氏（℃）溫度x與華氏（℉）溫度y有如下的對應關系：············8668503214······y(℉)······3020100-10······x(℃）（1）通過：1）描點連線；2）猜測y與x之間的函數關系；3）求解；4）驗證，試確定y與x之間的函數關系式。（2）某天，中國南昌的最高氣溫是8℃，澳大利亞的悉尼最高氣溫是91℉，問這一天悉尼的最高氣溫比南昌的最高氣溫高多少攝氏度（結果保留整數）？思路點撥此題實驗操作領先，根據提供的數表作圖象，從觀察作出的圖象進行猜想，之后是求解，驗證，最后確定y與x之間的函數關系式。問題（1）實際是一個探索的過程，在探索的過程中完成對數學模型的建立。··············1432506886-10010302040y(°F)x(℃)····解：（1）1）見右圖2）通過觀察可猜測：y是x的一次函數；3）設y=kx+b（k≠0），現將兩對數值分別代入y=kx+b，得解之，得，解之，得，所以有y=1.8x+3244)驗證：將其余三個對數值分別代入y=1.8x+32，得，結果等式均成立y=1.8x+32能反映y與x的變化趨勢∴y與x的函數關系式是y=1.8x+32（2）當y=91時，有91=1.8x+32解得x≈32.832.8-8=24.8≈25答：這一天悉尼的最高氣溫比南昌的最高氣溫約高25℃小結數表、圖象、解析式是函數的三種表達方式，各種方式有著自己獨特的優勢。每種方式都是函數模型的重要表現形式，當題目只給出了表示對應關系的數表時，可根據數表中的對應值描出其草圖，利用圖象提供的直觀感覺進行初步的猜想和判斷，并建立函數模型，之后再利用其他的數據對自己的函數模型進行驗證，在得到驗證之后方可利用該模型的相關知識進行后續解答。第4學時橫向數學化之數學建模（2）示例（第27題）ABFCGDHQPNM紅黃（第27題）ABFCGDHQPNM紅黃紫E品種紅色花草黃色花草紫色花草價格（元/米2）6080120設的長為米，正方形的面積為平方米，買花草所需的費用為元，解答下列問題：（1）與之間的函數關系式為；（2）求與之間的函數關系式，并求所需的最低費用是多少元；（3）當買花草所需的費用最低時，求的長．思路點撥：了解到x與S的實際意義之后，就會發現，斜邊EH的平方就是S的值，進一步由勾股定理就可以知道，,進而與x建立聯系為，即可填出第一問的空，并完成首次二次函數模型的建立；第二問應結合表格中提供的價格，再次利用二次函數模型，建立W與x之間的關系；第三問就是利用剛剛建立的二次函數模型的相關知識解決問題。問題解答：．解：（1）（2）=60=80配方，得當時，元．（3）設米，則.在Rt中，解得的長為米． （10分）（第8題）小結：本題是典型的數學建模問題，兩次利用‘二次函數’模型分別建立S與x、W與x之間的關系式，并利用該模型的相關知識解決相應的問題。充分的體現了現實問題與數學模型之間的密切聯系，也是新課標中數學的發展方向之一。（第8題）第5學時縱向數學化之圖像信息問題示例62Ox(時)y(米)3062Ox(時)y(米)3060乙甲50圖11（1）乙隊開挖到30米時，用了_____小時．開挖6小時時，甲隊比乙隊多挖了______米；（2）請你求出：

①甲隊在0≤x≤6的時段內，y與x之間的函數關系式；②乙隊在2≤x≤6的時段內，y與x之間的函數關系式；③開挖幾小時后，甲隊所挖掘河渠的長度開始超過乙隊？（3）如果甲隊施工速度不變，乙隊在開挖6小時后，施工速度增加到12米/時，結果兩隊同時完成了任務．問甲隊從開挖到完工所挖河渠的長度為多少米？思路點撥從圖中解讀信息入手。如：從圖中找到開挖到30米時，所用的時數，以及開挖6小時那一時刻甲乙各挖了多少米；再比如：要建立問題（2）中的各函數關系式，首先要從圖中找到各時段內線段上兩個點的坐標，之后才能運用待定系數法確定解析式。題目解答（1）2；10；

（2）①設甲隊在0≤x≤6的時段內y與x之間的函數關系式為y=k1x，由圖可知，函數圖象過點（6，60），∴6k1=60，解得k1=10，∴y=10x.②設乙隊在2≤x≤6的時段內y與x之間的函數關系式為y=k2x+b，由圖可知，函數圖象過點（2，30）、（6，50），∴解得∴y=5x＋20．③由題意，得10x＞5x＋20，解得x＞4.所以，4小時后，甲隊挖掘河渠的長度開始超過乙隊.（說明：通過觀察圖象并用方程來解決問題，正確的也給分）（3）由圖可知，甲隊速度是：60÷6=10（米/時）．設解得=110．答：甲隊從開挖到完工所挖河渠的長度為110米．小結能從圖中解讀出必要的信息是解此類題的關鍵；數形結合的思想可以指引我們發現圖像中點與坐標的對應、線段與關系式的對應，進一步把圖像問題用代數的方法加以解決。第6學時縱向數學化之動態問題示例1如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB=2，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，以相同速度作直線運動，已知點P沿射線AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D。（1）設AP的長為x，△PCQ的面積為S，求出S關于x的函數關系式；（2）當AP的長為何值時，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論。QQABDPCEABCDEFPQQABDPCEF思路點撥（1）表示三角形面積所選取的底和高，應是已知中的條件或者是能用含x的代數式來表示。注意點P沿射線AB運動這個條件。（2）構造x的方程，求x的值。注意x的范圍。（3）充分利用等腰直角三角形中450，來表示圖形中一些線段的長度，并利用450這個條件構造全等三角形。另外也可以利用相似來作。題目解答解：（1）①當點P在線段AB上時（如圖），S△PCQ=。∵AP=CQ=x，PB=2－x，∴S△PCQ=，即S=；②當點P在AB延長線上時（如圖），S△PCQ=∵AP=CQ=x，PB=2－x，∴S△PCQ=，即S=。（2）S△ABC==2。令，即，此方程無解；令，即。解得。舍去負值，∴故當AP的長為時，S△PCQ=S△ABC。（3）作PF∥BC交AC或延長線于F，則AP=PF=CQ，∴△PFD≌△QCD，∴FD=CD=。∵AP=x，∴AE=EF=。∵AB=2，∴AC=①當點P在線段AB上時，∵CF=AC－AF=，FD=∴DE=EF+FD=+=②當點P在AB延長線上時，∵CF=AF－AC=，FD=∴DE=EF－FD=－=故當P、Q運動時，線段DE的長度保持不變，始終等于。小結動態型問題是指以幾何知識和圖形為背景,滲入運動變化觀點的一類問題。解決這類問題的總體思路是化動為靜，關鍵在于從相對靜止的瞬間，清晰的發現量與量之間的關系，從而找到解決問題的途徑。在幾何圖形中求函數關系問題，要對函數解析式中自變量的取值范圍認真考慮,注意條件的限制。ACBPACBPQED圖4AC)BPQD圖3E)FACBPQED圖16（09年河北）如圖16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點P從點C出發沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．（1）當t=2時，AP=，點Q到AC的距離是；（2）在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數關系式；（不必寫出t的取值范圍）（3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；（4）當DE經過點C

時，請直接寫出t的值．思路點撥：此題是典型的動態問題，由P、Q兩點的運動導致線段的運動又導致面積的變化，可以說既有點動，又有線動，還有面動。第一問比較簡單，它是一種靜止狀態，容易想到利用相似三角形的有關內容進行解答；第二問求△APQ的面積S與t的函數關系式，應該利用AP做底、QF做高，如何把高QF用t的代數式表示又可以從第一問的相似得到啟示；第三問應該考慮運動過程中的幾種靜止狀態，在靜止狀態時利用相關的數學知識進行解決；第四問應該注意返回時的第二種情況，不要丟掉一種情況。問題解答：解：（1）1，；（2）如圖3，∴．由ACBPQEACBPQED圖5AC(E))BPQD圖6GAC(E))BPQD圖7G∴，即．（3）能．①當DE∥QB時，如圖4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．此時∠AQP=90°．由△APQ

∽△ABC，得，即．解得