2018年高考數學一輪復習第二章函數、導數及其應用課時達標12函數模型及其應用

理[解密考綱

]本考點考察函數在實質生活中的應用等．

在近幾年的高考取選擇題、

填空題、解答題都出現過．選擇題、填空題往常排在中間地點，解答題常常與其余知識綜合考察，題目難度中等．一、選擇題1．(2017·湖南永州模擬

)某電視新產品投放市場后第一個月銷售

100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售

400臺，第四個月銷售

790臺，則以下函數模型中能較好地反應銷量y與投放市場的月數

x之間關系的是

(

C)A．y＝100x

B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x

D．y＝100log

2x＋100分析：依據函數模型的增添差別和題目中的數據可知，應為指數型函數模型，代入數據考證即可得，應選

C．2．(2016·河北唐山檢測

)某食品廠按期購置面粉，已知該廠每日需要面粉

6噸，每噸面粉的價錢為

1800元，面粉的保存等其余花費為均勻每噸每日

3元，購置面粉每次需支付運費

900元．求該廠多少天購置一次面粉，才能使均勻每日所支付的總花費最少

(

B)A．9天

B．10天C．11天

D．12天分析：設該廠應每隔

x天購置一次面粉，則購置量為

6x噸，由題意可知，面粉的保存等其余花費為3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋＋6×1]＝9x(x＋1)，設均勻每日所支付的總花費為y1元，則y1＝9xx＋＋900900＋9x＋10809≥x＋1800×6＝x2900·9x＋10809＝10989，x當且僅當9x＝900x，即x＝10時取等號．即該廠每隔10天購置一次面粉，才能使均勻每日所支付的總花費最少，應選B．3．國家規定某行業收稅以下：年收入在280萬元及以下的稅率為p%，超出280萬元的部分按(p＋2)%收稅，有一企業的實質繳稅比率為(p＋0.25)%，則該企業的年收入是(D)A．560萬元B．420萬元C．350萬元D．320萬元分析：設該企業的年收入為x萬元，納稅額為y萬元，則由題意，得y＝x×p%，x≤280，280×%＋x－p＋，x>280，p280×%＋x－280＋依題意有，pp＝(p＋0.25)%，解之得x＝320(萬元)．x4．世界人口在過去40年內翻了一番，則每年人口均勻增添率是(參照數據lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)(C)A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8%分析：設每年世界人口均勻增添率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對數，則lg20.007540lg(1＋x)＝lg2，因此lg(1＋x)＝40≈0.0075，因此10＝1＋x，得1＋x＝1.017，因此x＝1.7%.5．某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業額相等，甲食堂的營業額逐月增添，而且每個月增添值相同；乙食堂的營業額也逐月增添，且每個月增添的百分率相同．已知今年9月份兩食堂的營業額又相等，則今年5月份(A)A．甲食堂的營業額較高B．乙食堂的營業額較高C．甲、乙兩食堂的營業額相同D．不可以確立甲、乙哪個食堂的營業額較高分析：設甲、乙兩食堂1月份的營業額均為m，甲食堂的營業額每個月增添a(a>0)，乙食堂的營業額每個月增添的百分率為x，由題意可得，＋8＝×(1＋x)8，則5月份甲食堂的營mam業額y1＝m＋4a，乙食堂的營業額y2＝m×(1＋x)4＝mm＋8a222－，因為y1－y2＝(m＋4a)212m(m＋8a)＝16a>0，因此y>y，故今年5月份甲食堂的營業額較高．6．(2017·北京旭日區模擬)某房地產企業計劃出租70套相同的公寓房．當每套房月租金定為3000元時，這70套公寓能全租出去；當月租金每增添50元時(設月租金均為50元的整數倍)，就會多一套房屋不可以出租．設租出的每套房屋每個月需要企業花銷100元的平時維修等花費(設租不出的房屋不需要花這些花費)．要使企業獲取最大收益，每套房月租金應定為(B)A．3000元B．3300元C．3500元D．4000元分析：由題意，設收益為y元，租金定為3000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．則y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)(2900＋50x)(70－x)50(58＋x)(70－x)≤5058＋x＋70－x2，22當且僅當58＋x＝70－x，即x＝6時，等號建立，故每個月租金定為3000＋300＝3300(元)時，企業獲取最大收益，應選B．二、填空題7．某廠有很多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低耗費，開源節流，現要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中暗影部分)備用，則截取的矩形面積的最大值為180.分析：依題意知：∴暗影部分的面積

20－xy－85＝24－y，即x＝4(24－y)，y∈[8,24)，S＝xy＝5(24－y)y＝5(－y2＋24y)，44∴當y＝12時，S有最大值為180.8．有一批資料能夠建成200m長的圍墻，假如用此資料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場所，中間用相同資料隔成三個面積相等的矩形(以下圖)，則圍成場所的最大面積為2_500_m2(圍墻厚度不計)．分析：設矩形場所的寬度為xm，則矩形場所長(200－4x)m，面積S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2500.故當x＝25時，S獲得最大值2500，即圍成場所的最大面積為2500m2.9．(2017·山東濰坊模擬)某地西紅柿從2月1日起開始上市，經過市場檢查，獲取西紅柿栽種成本Q(單位：元/100kg)與上市時間t(單位：天)的數據關系以下表：時間t60100180栽種成本Q11684116依據上表數據，從以下函數中選用一個函數描繪西紅柿栽種成本Q與上市時間t的變化關系．＝＋，＝2＋，＝·t，＝·log＋btbtb利用你選用的函數，求得：(1)西紅柿栽種成本最低時的上市天數是120.(2)最低栽種成本是80(元/100kg)．分析：依據表中數據可知函數不但一，因此Q＝at2＋bt＋c且張口向上，3對稱軸tb60＋180＝－2＝2＝120.a3600a＋60b＋c＝116，b＝－2.4，代入數據10000a＋100b＋c＝84，得c＝224，32400a＋180b＋c＝116，a＝0.01，因此西紅柿栽種成本最低時的上市天數是120，最低栽種成本是14400a＋120b＋c＝14400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.三、解答題10．(2017·湖北鄂州月考)以下圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，此中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內截取一個矩形塊BNPM，使點P在邊DE上．設MP＝x米，PN＝y米，將y表示成x的函數，求該函數的分析式及定義域；求矩形BNPM面積的最大值．分析：(1)作PQ⊥AF于Q，因此PQ＝8－y，EQ＝x－4，EQEF在△EDF中，＝，PQFD－44因此8－y＝2，1因此y＝－2x＋10，定義域為{x|4≤x≤8}．(2)設矩形BNPM的面積為S，則S(x)＝xy＝xx1(x－10)2S(x)是10－2＝－2＋50，因此對于x的二次函數，且其張口向下，對稱軸為x＝10，因此當x∈[4,8]，S(x)單一遞加，因此當x＝8米時，矩形BNPM面積獲得最大值48平方米．11．某產品本來的成本為1000元/件，售價為1200元/件，年銷售量為1萬件，因為4市場飽和顧客要求提升，企業計劃投入資本進行產品升級．據市場檢查，若投入x萬元，每32件產品的成本將降低4x元，在售價不變的狀況下，年銷售量將減少x萬件，按上述方式進行產品升級和銷售，扣除產品升級資本后的純收益記為f(x)(單位：萬元)．求f(x)的函數分析式；求f(x)的最大值，以及f(x)獲得最大值時x的值．3x3x分析：(1)依題意，產品升級后，每件的成本為1000－元，收益為200＋元，年銷442售量為1－x萬件，3x2400x純收益為f(x)＝200＋41－x－x＝198.5－x－4.400x400x400x(2)f(x)＝198.5－x－4≤198.5－2×x×4＝178.5，當且僅當x＝4，即x＝40時等號建立．因此f(x)取最大值時的x的值為40.12．某市居民自來水收費標準以下：每戶每個月用水不超出4噸時，每噸為1.80元，當用水超出4噸時，超出部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x噸，3x噸．求y對于x的函數；若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費．分析：(1)當甲的用水量不超出4噸時，即5x≤4，乙的用水量也不超出4噸，y＝1.8(5x3x)＝14.4x；當甲的用水量超出4噸，乙的用水量不超出4噸時，即3x≤4，且5>4，xy＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.當乙的用水量超出4噸時，即3x>4，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.414.4x0≤x≤5，4因此y＝20.4x－4.