第6講空間向量及其運算一、選擇題(2017·銅川調研)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，則實數m的值等于()33A.2B.－2C.0D.2或－2分析∵a∥b，∴2m＋13m－1，解得m＝－2.2＝＝m－m答案B2.(2017·海南模擬)在正方體－1111中，，分別為棱1和1的中點，則sinABCDABCDMNAABB→→)1145252A.9B.9C.9D.3分析如圖，設正方體棱長為→→，1→→→→1→→2，－1)，∴cos〈CM，D1N〉＝1＝－9，∴sin〈CM，D1N〉＝→→|||1|CMDN12451－－9＝9.答案B3.空間四邊形ABCD的各邊和對角線均相等，E是BC的中點，那么()→→→→A.AE·BC＜AE·CD→→→→B.AE·BC＝AE·CD→→→→C.AE·BC＞AE·CD→→→→D.AE·BC與AE·CD的大小不可以比較1→→→→分析取BD的中點F，連結EF，則EF綊2CD，因為〈AE，EF〉＝〈AE，CD〉＞90°，因→→→→→→→→為AE·BC＝0，∴AE·CD＜0，因此AE·BC＞AE·CD.答案C4.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b相互垂直，則k的值是()457A.－1B.3C.3D.5分析由題意得，ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2).因此(ka＋b)·(2a－b)1＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝75.答案D5.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F分別是BC，AD的中點，→→)則AE·AF的值為(2121232A.aB.2aC.4aD.4a分析→→→如圖，設AB＝a，AC＝b，AD＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝，且，，c三向量兩兩夾角為60°.aab1＋)，→＝1，→＝(b2cAE2aAF→→11∴AE·AF＝2(a＋b)·2c(a·c＋b·c)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝1a2.44411答案C二、填空題已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為________.分析由題意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝b·c＝－18＝－1，|b|·|c|12×1＋4＋42∴〈b，c〉＝120°，∴兩直線的夾角為60°.答案60°正四周體ABCD的棱長為2，E，F分別為BC，AD中點，則EF的長為________.分析→2→→→2|EF|＝(EC＋CD＋DF)→2→2→2→→→→→→＝EC＋CD＋DF＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)222＝1＋2＋1＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)∴|→|＝2，∴EF的長為2.EF答案2(2017·南昌調研)已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是OA，BC的中→→→→→→→→→點，點G在線段MN上，且MG＝2GN，現用基底{OA，OB，OC}表示向量OG，有OG＝xOA＋yOB2→＋zOC，則x，y，z的值分別為________.→→→1→2→分析∵OG＝OM＋MG＝2OA＋3MN2→→2OA＋3(ON－OM)121→→1→2OA＋32（OB＋OC）－2OA1→1→1→6OA＋3OB＋3OC，1111∴x＝6，y＝3，z＝3.答案1，1，1633三、解答題9.已知空間中三點(－2，0，2)，(－1，1，2)，(－3，0，4)，設a＝→，＝→.ABCABbAC(1)→c.若|c|＝3，且c∥BC，求向量(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.解→→－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，(1)∵c∥BC，BC＝(－3，0，4)→∴c＝mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，222∴|c|＝（－2m）＋（－m）＋（2m）＝3|m|＝3，(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，2222，|b|＝（－22＋225，又∵|a|＝1＋1＋0＝1）＋0＝∴cos〈a，b〉＝a·b＝－110，|a|·|b|＝－1010即向量a與向量b的夾角的余弦值為－1010.如圖，在棱長為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E，F分別是棱AB，BC上的動點，且AE＝BF＝x，此中0≤x≤a，以O為原點成立空間直角坐標系Oxyz.寫出點E，F的坐標；求證：A1F⊥C1E；1→→若A1，E，F，C1四點共面，求證：A1F＝2A1C1＋A1E.解E(a，x，0)，F(a－x，a，0).3(2)證明∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，∴→1＝(－，，－)，→1＝(a，－，－)，AFxaaCExaa→→2∴A1F·C1E＝－ax＋a(x－a)＋a＝0，→→∴A1F⊥C1E，∴A1F⊥C1E.證明∵A1，E，F，C1四點共面，→→→∴A1E，A1C1，A1F共面.→→A1C1E上的一組基向量，則存在獨一實數對→→選A1E與A1C1為在平面(λ1，λ2)，使A1F＝λ1A1C1→＋λ2A1E，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，x＝－aλ1，a＝aλ1＋xλ2，a＝－aλ2，1→1→→解得λ1＝2，λ2＝1.于是A1F＝2A1C1＋A1E.→→→→→→11.在空間四邊形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A.－1B.0C.1D.不確立→→→→→→→→→分析如圖，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，則AB·CD＋AC·DB＋AD·BCa·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.答案B12.若{，，}是空間的一個基底，且向量p＝xa＋＋，則(x，，)叫向量p在基底abcybzcyz{a，b，c}下的坐標.已知{a，b，c}是空間的一個基底，{a＋b，a－b，c}是空間的另一個基底，一直量p在基底{a，b，c}下的坐標為(4，2，3)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標是()A.(4，0，3)B.(3，1，3)C.(1，2，3)D.(2，1，3)分析設p在基底{a＋，－，c}下的坐標為x，，.則babyzp＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，①因為p在{a，b，c}下的坐標為(4，2，3)，∴p＝4a＋2b＋3c，②4x＋y＝4，x＝3，由①②得x－y＝2，∴y＝1，z＝3，z＝3，即p在{a＋b，a－b，c}下的坐標為(3，1，3).答案B13.(2017·鄭州調研)已知O點為空間直角坐標系的原點，向量→→OA＝(1，2，3)，OB＝(2，1，2)，→＝(1，1，2)，且點Q在直線上運動，當→·→獲得最小值時，→的坐標是OPOPQAQBOQ__________.分析∵點Q在直線OP上，∴設點Q(λ，λ，2λ)，則→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QAQB→→－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝2－16λ＋10＝QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(16λ4224→→2→4486λ－3－3.即當λ＝3時，QA·QB獲得最小值－3.此時OQ＝3，3，3.答案448，，33314.如下圖，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于1，點，ABCDEF，G分別是AB，AD，CD的中點，計算：→→(1)EF·BA；(2)EG的長；異面直線AG與CE所成角的余弦值.→→→解設AB＝a，AC＝b，AD＝c.則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，→1→11→→(1)EF＝2BD＝2c－2a，BA＝－a，DC＝b－c，→→1－11211，EF·BA＝ca·(－a)＝a－a·c＝22224(2)→＝→＋→＋→＝1＋－a＋1－1EGEBBCCG2ab2c2b111