高等數學函數章節第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日1.集合集合(簡稱集):集合是指具有某種特定性質的事物的總體。集合用A，B，M等表示。元素:組成集合的事物稱為集合的元素。a

是集合M的元素表示為aM。集合的表示:(1)A={a,b,c,d,e,f,g}。

(2)M={(x,y)|x，y為實數，x2+y2=1}。一、集合常量與變量第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日幾個數集:

N表示所有自然數構成的集合，稱為自然數集。

R表示所有實數構成的集合，稱為實數集。

Z表示所有整數構成的集合，稱為整數集。

Q表示所有有理數構成的集合，稱為有理集。子集:

若xA，則必有xB，則稱A是B

的子集，記為AB（讀作A包含于B）。顯然，N

Z

，Z

Q

，Q

R

。第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日

數集{x|a<x<b}稱為開區間，記為(a,b)，即(a,b)={x|a<x<b}。xOab(a，b)[a,b]={x|axb}稱為閉區間。xOab[a，b][a,b)={x|ax<b}及(a,b]={x|a<xb}稱為半開區間。xOab[a，b)xOab(a，b]區間:

上述區間都是有限區間，其中a

和b

稱為區間的端點，b-a

稱為區間的長度。第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日

xOa[a，+)xOb(-

，b](-,b]={x|xb}，(-,+)={x||x|<+}。[a,+)={x|ax}，以下區間稱為無限區間：xOb(-

，b)(-,b)={x|xb}，(a,+)={x|ax}，axO(a，+)第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日鄰域:

以點a

為中心的任何開區間稱為點

a

的鄰域，記作U(a)。設>0，則稱區間(a-,a+)為點a

的鄰域，記作U(a,)，即U(a,)={x|a-<x<a+}={x||x-a|<}。其中點a

稱為鄰域的中心,

稱為鄰域的半徑。去心鄰域:(a,)={x|0<|x-a|<}。xOa-da+dU(a,)，xOa-da+d(a，d)a第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日2.常量與變量在觀察自然現象或技術過程時，常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化始終只取同一數值，這種量叫做常量。常用字母為a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。

常量與變量用什么符號不是絕對的，但應尊重數學的習慣。

還有一些量在過程中是變化著的，也就是可以取不同的數值，這種量叫做變量。常用字母為x，y，z，u，v，w，s，t

等。

變量x

所取數值的全體組成的數集M稱為變量

x

的變域，此時

x

表示數集M中任何一個元素。第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日

二、函數概念1.舉例圓的面積的計算公式為A=pr2，半徑r可取(0,+)內的任意值。

由落體下落距離的計算公式為s=-

gt2，t可取[0,T]內的任意值。12

圓內接正n邊形的周長的計算公式為

Sn=2nrsin-，n可取3，4，5，

。pn第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日2.函數的定義設x

和y

是兩個變量，D

是一個給定的數集。如果對于每個數xD，變量y

按照一定法則總有確定的數值和它對應，則稱y

是x

的函數，記作y=f(x)。定義中，數集D叫做這個函數的定義域，x叫做自變量，y叫做因變量。函數符號:

函數y=f(x)中表示對應關系的記號f也可改用其它字母，例如j、F等。此時函數就記作y=j(x)，y=F(x)。第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日值域：W={y|y=f(x)，xD}。定義域：

在數學中，有時不考慮函數的實際意義，而抽象地研究用算式表達的函數。這時約定函數的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值。函數值：當x取數值x0D時，與x0對應的y的數值稱為函數y=f(x)在點x0處的函數值，記為f(x0)。第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日求函數的定義域舉例：

解:要使函數有意義，必須x0，且x2-430。解不等式得|x|32。函數的定義域為

D={x||x|32}，或D=(-￥,2][2,+￥)。第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日3.函數的圖形在坐標系xOy內，集合

C={(x,y)|y=f(x)，xD}所對應的圖形稱為函數y=f(x)的圖形。OyxC(x,y)xyWDy=f(x)第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日

如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值問題只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫做多值函數。以后凡是沒有特別說明時，函數都是指單值函數。4.函數舉例

例1.

在直角坐標系中，由方程x2+y2=r2確定了一個函數。對于任意x(-r,r)，對應的函數值有兩個：第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日

例2.

函數y=2。函數的定義域為D=(-,+)。函數的值域為W={2}。函數的圖形為一條平行于x

軸的直線。yOxy=22第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日

函數的定義域為D=(-,+)。函數的值域為W=[0,+)。yxOy=|x|

x,x0-x,x<0y=|x|=稱為絕對值函數。

例3.

函數第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日

函數的定義域為D=(-,+)。函數的值域為W={-1,0,1}。

O

xy21-1-2y=sgnx1,當x>00,當x=0-1,當x<0

例4.

函數y

=sgnx

=

稱為符號函數。

第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日

例5.

函數y=[x]稱為取整函數。

函數的定義域為D=(-,+)，函數的值域為W

=Z-5-4-3-2-1O12345

xy54321-1-2-3-4-5y=[x]第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日

函數的定義域為D=[0,1](0,+)=[0,+)。f

(3)=1+3=4。xy=2y=1+xy=f(x)y321O123x第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日圖形特點：y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方。y=K1y=f(x)Oxy1.函數的有界性設函數f(x)在數集X上有定義。如果存在數K1，使對任一xX，有f(x)K1，則稱函數f(x)在X上有上界，而稱K1為函數

f(x)在X上的一個上界。三、函數的幾種特性第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日

如果存在數K2，使對任一xX，有f(x)K2，則稱函數f(x)在X上有下界，而稱K2為函數f(x)在X上的一個下界。圖形特點：函數y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方y=K1y=f(x)Oxy第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日有界函數的圖形特點：函數y=

f(x)的圖形在直線y=

-M和y=

M的之間。

如果存在數M，使對任一xX，有|f(x)|M，則稱函數f(x)在X上有界；如果這樣的M不存在，則稱函數f(x)在X上是無界函數，就是說對任何M，總存在x1X，使|f(x)|>M。y=f(x)Oxyy=-Ky=K第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日函數的有界性舉例：f(x)=sinx在(-,+)上是有界的：

|sinx|1。-11yxO-2p-pp2py=sinx第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日Oxy12y=1/x

函數f(x)=1/x在開區間(0,1)內是無界的。無界函數舉例：

函數f(x)=1/x在(0,1)內有下界，無上界。這是因為，任取M>1，總有0<x1<M-1<1，使f(x1)>M，所以函數無上界。

此函數在(1,2)內是有界的。第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日2.函數的單調性x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)

設函數y=

f(x)在區間I上有定義。如果對于區間I上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)，則稱函數f(x)在區間I上是單調增加的。第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)則稱函數f(x)在區間I上是單調減少的。f(x1)>f(x2)，

如果對于區間I上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恒有

單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數。第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日3.函數的奇偶性Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函數舉例：y=x2，y=cosx都是偶函數

偶函數的圖形關于y軸對稱。

設函數f(x)的定義域D關于原點對稱。如果對于任意的xD，有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數。第二十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日奇偶函數舉例：

y=x3