第六講：間中的角（）二角一知點，本念1半平面：當兩個平面相交時，我們往往畫起一部分，就像一本翻開的書，我們把其中一部分叫做半平面。）二面角從一直出的個平形的形，如圖為二面角

，二面角的大小指的是二面角的平面角的大分別在兩個半平面內做交線的垂線條射線所成的角為二面角的平面角。，圍

]特別：重合為0，共面為，即相當于把一張紙折疊后的兩種極限情況。，驟一找，二證，三計算，二角平角定求面角大的鍵是明確構成二面角兩個半平面和；明確二面角的平面角是哪個？而要想明確二面角的平面角，關是看該角的兩邊是否都和棱垂直。二典例與讀求解二面角是立體幾何中最基本最重要的題型是各地高考中的熱點問題雖然對此可說是“錘百煉”，我們必須面對新的情境、新的變化，如何以基本方法的“不變”去應對題目中的萬變就是我研究的中心話.總的來說求解二面角的大體驟：“作求”其“作證”是鍵是點求依靠的計算，也決不能忽視，否因小失大，功虧一簣，也是十分遺憾之.定義即在二面角的棱上找一點（特殊二面角的兩個面內分別作棱的射線即得二面角的平面角定法是眾之源，萬變不離其宗樹高千葉歸根求二面角的一切方法蓋源出定義這個根！用定法，認觀圖的性例1在四棱錐P-ABCD中是正方形平面ABCDPA=AB=a二角B-PC-D的大小。-1-

、垂法已二角中個面一到個的線用垂定或定作二角平角例2在四棱錐P-ABCD中平行四邊形PA平面ABCD，求二面角P-BC-A的大小。LA、垂法已二面內點兩面垂時，兩線平與個平的線成角為面，此知二角平角在平與棱直例3在四棱錐P-ABCD中ABCD是正形PA平面ABCD，求大小。

BHPA、影：用積影式SS其為平角大，方不在射圖中出面；例4在四棱錐P-ABCD中ABCD為正方形，PA平面ABCDPA＝AB＝，求平PBA與平面PDC成二面角的大小。PAB

l-2-

練習，如圖，長方體ABCD—BD中AA==2AD，點E、FG分是DD、AB、1111CC的中點，求二面角G-AF-D1

C

A

BD

C

F

，正方體ABCD-ABCD中求二面角A-BD-C的大小111A

DCBDAB

C三，難點突破二面角按有無交線和角可以分為交線有角有交線需要做角無交線也無角那么無交線一類一般都要難一些。例1：未角但知交線如圖在多面體ABC-//B’CBC

'C

中平面AA’//BB’=

22

BC=2求證：’B

平面AA求證：’//平面’C求二面角C--A-3-

練習：，圖，直三棱柱ABC

A1

的底面邊長的3，側棱

AA

=D是CB延長線上一點，且BD=BC.（1求證：直線

BC//平面BD1（2求二面角

——

的大小例2，未角未交本法是針對在解構成二面角的兩半平面沒有明確交線的求二面角題目時兩平面的圖形補充完整使之有明確的（稱為補棱借助前述的定義法與三垂線法解題。即當二平面沒有明確的交線時，般用補棱法解決如，邊都是邊為的方，，AE面ABCD，BG//AE且BG=1求面與平ABCD所成面的弦-4-

練：，如圖所示，四棱底面ABCD是長為1的形BCD，是CD的中點，PA底面ABCD，PA＝2.（）證明：平面PBE面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角的大.

D

ECAB右圖是一個直三（以ABC為底面被一平面所截得到的幾何體截面為ABC已11知AB＝B＝lAB＝，AA＝4，CC＝．111ll1lll（1）設點O是中點，證明：OC平面ABC；1（2）求平面ABC與面B的面角大小；''（3）求此幾何體的體積-5-

0000A1B1C1ABCA1B1C10000A1B1C1ABCA1B1C1ABCABCA1B1C1ABCA1B1C四，課后作業．二面角是指（）A兩個平面相交所組成的圖形B一平面繞這個平面內一條直線旋轉所組成的圖形C從個平面內的一條直線出發的一個半平面與這個平所組成的圖形D從條直線出發的兩個半平面所組成的圖．在30的二面角的一個面內有一個，若它到另一個面的距離是，則它到棱的距離是()A5BC

10

D

．在直二面角α中ΔABC平面內，斜邊BC在棱l上，若AB面β所的角為60，則AC與平面β所成的角為（）A30

0

B45

C60

0

D120．如下圖（左線BDBABC兩兩互相直AB=BC=1BD=

，則弧度數為

的二面角是（）AD-AC-BBDA-BD-CADNBB

M

l

A．如上（右ABC在平面α射影AB，如ABC所在平面和平αθ角，1有ASθ