2019年山東省濰坊市中考數學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確

的，請把正確的選項選出來，每小題選對得3分，錯選、不選或選出的答案超過一個均記

0分）

1.（3分）2019的倒數的相反數是（

A.-2019B.-—C.-J—D.2019

20192019

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.3aX2Q=6QB.a8-ra4=a2

329

C.-3（a-1）=3-3。D.（ia）=.La

39

3.（3分）“十三五”以來，我國啟動實施了農村飲水安全鞏固提升工程.截止去年9月

底，各地已累計完成投資1.002X10”元.數據1.002義IO”可以表示為（）

A.10.02億B.100.2億C.1002億D.10020億

4.（3分）如圖是由10個同樣大小的小正方體擺成的幾何體.將小正方體①移走后，則關

于新幾何體的三視圖描述正確的是（）

A.俯視圖不變，左視圖不變

B.主視圖改變，左視圖改變

C.俯視圖不變，主視圖不變

D.主視圖改變，俯視圖改變

5.（3分）利用教材中時計算器依次按鍵下:

則計算器顯示的結果與下列各數中最接近的一個是（）

A.2.5B.2.6C.2.8D.2.9

6.（3分）下列因式分解正確的是（）

A.3a/-6ax=3（ax2-2ax）B.x2+y2=（-x+y）（-x-y）

C.a2+2ah-4b2=(a+26)2D.-ax2+2ax-a=-a(x-1)2

7.(3分)小瑩同學10個周綜合素質評價成績統計如下：

成績（分）94959798100

周數（個）12241

這10個周的綜合素質評價成績的中位數和方差分別是（）

A.97.52.8B.97.53

C.972.8D.973

8.（3分）如圖，已知乙105.按照以下步驟作圖:

①以點。為圓心，以適當的長為半徑作弧，分別交NZO8的兩邊于C,。兩點，連接

CD.

②分別以點C,。為圓心，以大于線段OC的長為半徑作弧，兩弧在N/08內交于點

E,連接CE,DE.

③連接OE交CD于點M.

下列結論中錯誤的是（）

B.CM=MD

C./OCD=/ECDD.S四邊形OCEO=&Z)?0E

2

9.（3分）如圖，在矩形/BCD中，AB=2,BC=3,動點P沿折線BCD從點8開始運動

到點。.設運動的路程為x,△/。尸的面積為y,那么y與x之間的函數關系的圖象大

致是（

B

10.（3分）關于x的一元二次方程/+2〃a+加2+加=。的兩個實數根的平方和為12,則加

的值為（）

A.m--2B.m=3C.m=3或加=-2D.加=-3或加=2

11.（3分）如圖，四邊形45CD內接于。0,4B為直徑,AD=CD,過點。作于

點E,連接ZC交。E于點尸.若sin/C/8=W,DF=5,則8c的長為（）

A.8B.10C.12D.16

12.（3分）拋物線>=$+版+3的對稱軸為直線x=l.若關于x的一元二次方程/+法+3-

f=0（t為實數）在-l〈xV4的范圍內有實數根，則f的取值范圍是（）

A.B.C.6</<11D.2?6

二、填空題（本題共6小題，滿分18分。只要求填寫最后結果，每小題填對得3分。）

13.（3分）若2<=3,2y=5,則2X+P=.

14.（3分）當直線y=（2-2左）x+k-3經過第二、三、四象限時，則人的取值范圍

是.

15.（3分）如圖，RtA4O8中，乙408=90°,頂點/,8分別在反比例函數y=L（x>

0）與y=3（xV0）的圖象上，則tan/SNO的值為

16.（3分）如圖，在矩形N8C。中，/。=2.將N/向內翻折，點”落在8C上，記為4

',折痕為。E.若將48沿E4'向內翻折，點8恰好落在。E上，記為B',則48

17.（3分）如圖，直線y=x+l與拋物線y=/-4x+5交于4,8兩點，點P是y軸上的一

個動點，當△尸48的周長最小時，S&PAB=.

18.（3分）如圖所示，在平面直角坐標系X。,中，一組同心圓的圓心為坐標原點。，它們

的半徑分別為1,2,3,按照“加1”依次遞增；一組平行線，Io,h，b，，3,…都

與x軸垂直，相鄰兩直線的間距為/,其中/（）與了軸重合若半徑為2的圓與/］在第一象

限內交于點尸1，半徑為3的圓與6在第一象限內交于點尸2，…，半徑為〃+1的圓與。

在第一象限內交于點P”，則點P”的坐標為.（〃為正整數）

1y八

三、解答題（本題共7小題，共66分。解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟。）

19.（5分）己知關于x,y的二元一次方程組[2*-3尸5的解滿足》＞外求人的取值范

[x-2y=k

圍.

20.（6分）自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾

步行健身，某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造.如圖2所示，改造前的斜

坡48=200米，坡度為1：?；將斜坡4?的高度NE降低/C=20米后，斜坡改

造為斜坡CZ）,其坡度為1：4.求斜坡。的長.（結果保留根號）

21.（9分）如圖所示，有一個可以自由轉動的轉盤，其盤面分為4等份，在每一等份分別

標有對應的數字2,3,4,5.小明打算自由轉動轉盤10次，現已經轉動了8次，每一

次停止后，小明將指針所指數字記錄如下：

次數第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次

數字35233435

（1）求前8次的指針所指數字的平均數.

（2）小明繼續自由轉動轉盤2次，判斷是否可能發生“這10次的指針所指數字的平均

數不小于3.3,且不大于3.5”的結果？若有可能，計算發生此結果的概率，并寫出計算

過程；若不可能，說明理由.（指針指向盤面等分線時為無效轉次.）

22.(10分)如圖，正方形N8CD的邊C。在正方形ECG尸的邊CE上，連接。G,過點/

作4H〃DG,交BG于點、H.連接，尸，AF,其中/產交EC于點

(1)求證：尸為等腰直角三角形.

(2)若月8=3,EC=5,求EM的長.

23.(10分)扶貧工作小組對果農進行精準扶貧，幫助果農將一種有機生態水果拓寬了市

場.與去年相比，今年這種水果的產量增加了1000千克，每千克的平均批發價比去年

降低了1元，批發銷售總額比去年增加了20%.

(1)已知去年這種水果批發銷售總額為10萬元，求這種水果今年每千克的平均批發價

是多少元？

(2)某水果店從果農處直接批發，專營這種水果.調查發現，若每千克的平均銷售價

為41元，則每天可售出300千克；若每千克的平均銷售價每降低3元，每天可多賣出

180千克，設水果店一天的利潤為w元，當每千克的平均銷售價為多少元時，該水果店

一天的利潤最大，最大利潤是多少？(利潤計算時，其它費用忽略不計.)

24.(13分)如圖1,菱形的頂點N,。在直線上，NBAD=60°,以點工為旋轉中

心將菱形/8C。順時針旋轉a(0°<a<30°),得到菱形CD',B'C交對

角線/C于點M,CD'交直線/于點N,連接MV.

(1)當MN〃B'D'時，求a的大小.

(2)如圖2,對角線夕D'交AC于點H,交直線/與點G,延長C'B'交4B于點、

E,連接當AHEB'的周長為2時，求菱形/8CZ)的周長.

25.(13分)如圖，在平面直角坐標系xoy中，。為坐標原點，點/(4,0),點B(0,

4),△480的中線ZC與y軸交于點C,且。陽經過O,A,C三點.

(1)求圓心A/的坐標；

(2)若直線與0〃相切于點/,交y軸于點。，求直線/D的函數表達式;

(3)在過點5且以圓心加為頂點的拋物線上有一動點P,過點P作PE〃y軸,交直線

4D于點E.若以PE為半徑的OP與直線4。相交于另一點尸.當￡尸=4再寸,求點P

2019年山東省濰坊市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確

的，請把正確的選項選出來，每小題選對得3分，錯選、不選或選出的答案超過一個均記

0分）

1.（3分）2019的倒數的相反數是（）

A.-2019B.一C.」一D.2019

20192019

【分析】先求2019的倒數，再求倒數的相反數即可；

【解答】解：2019的倒數是」―，再求相反數為-」_；

201920192019

故選：B.

【點評】本題考查倒數和相反數；熟練掌握倒數和相反數的求法是解題的關鍵.

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.3ax2a=6。B.a84-a4=a2

C.-3（a-l）=3-3aD.&3）2=。

39

【分析】根據單項式乘法法則，同底數幕的除法的性質，去括號法則，積的乘方的性

質，對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：/、3ax2a=6層，故本選項錯誤；

B、*+/=/,故本選項錯誤；

C、~3（fl-1）=3-3。，正確：

D、（L?）2=16,故本選項錯誤.

39

故選：C.

【點評】本題考查了單項式乘法法則，同底數基的除法的性質，去括號法則，積的乘方

的性質.熟練掌握法則是解題的關鍵.

3.（3分）“十三五”以來，我國啟動實施了農村飲水安全鞏固提升工程.截止去年9月

底，各地已累計完成投資1.002X10"元.數據1.002X10”可以表示為（）

A.10.02億B.100.2億C.1002億D.10020億

【分析】利用科學記數法的表示形式展開即可

【解答】解：

1.002X1011=100200000000=1002億

故選：C.

【點評】本題主要考查科學記數法的展開，科學記數法是指把一個數表示成ax10的〃

次基的形式（lWa<10,n為正整數.）

4.（3分）如圖是由10個同樣大小的小正方體擺成的幾何體.將小正方體①移走后，則關

于新幾何體的三視圖描述正確的是（）

A.俯視圖不變，左視圖不變

B.主視圖改變，左視圖改變

C.俯視圖不變，主視圖不變

D.主視圖改變，俯視圖改變

【分析】利用結合體的形狀，結合三視圖可得出俯視圖和左視圖沒有發生變化；

【解答】解：將正方體①移走后，

新幾何體的三視圖與原幾何體的三視圖相比，俯視圖和左視圖沒有發生改變；

故選：A.

【點評】此題主要考查了簡單組合體的三視圖，根據題意正確掌握三視圖的觀察角度是

解題關鍵.

5.（3分）利用教材中時計算器依次按鍵下：

則計算器顯示的結果與下列各數中最接近的一個是（）

A.2.5B.2.6C.2.8D.2.9

【分析】利用計算器得到行的近似值即可作出判斷.

【解答】解：???、=心2.646,

.?.與行最接近的是2.6,

故選：B.

【點評】本題主要考查計算器-基礎知識，解題的關鍵是掌握計算器上常用按鍵的功能

和使用順序.

6.（3分）下列因式分解正確的是（

A.3a/-(>ax—3(ax2-2ox)B.x2+y2=(-x+y)(-x-y)

C.a2+2ah-4b2=(a+26)D.-ax2+2ax-a=-a(x-1)

【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式進而判斷即可.

【解答】解：4、3ax2-6ax—3ax（x-2）,故此選項錯誤；

B、/+/，無法分解因式，故此選項錯誤：

C、a2+2ab-4h2,無法分解因式，故此選項錯誤；

D、-a^+lax-a--a（x-1）2,正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關

鍵.

7.（3分）小瑩同學10個周綜合素質評價成績統計如下:

成績（分）94959798100

周數（個）12241

這10個周的綜合素質評價成績的中位數和方差分別是（）

A.97.52.8B.97.53

C.972.8D.973

【分析】根據中位數和方差的定義計算可得.

【解答】解：這10個周的綜合素質評價成績的中位數是空空=97.5（分）,

平均成績為」-X(94+95X2+97X2+98X4+100)=97(分)，

10

.?.這組數據的方差為」-X[(94-97)2+(95-97)2X2+(97-97)2X2+(98-97)2

X4+（100-97）2]=3（分2）,

故選：B.

【點評】本題主要考查中位數和方差，解題的關鍵是掌握中位數和方差的定義.

8.（3分）如圖，已知N4O2.按照以下步驟作圖：

①以點。為圓心，以適當的長為半徑作弧，分別交NHO8的兩邊于C,。兩點，連接

CD.

②分別以點C,。為圓心，以大于線段0C的長為半徑作弧，兩弧在N408內交于點

E,連接CE,DE.

③連接0E交CQ于點M.

下列結論中錯誤的是（）

A.NCEO=NDEOB.CM=MD

C./OCD=NECDD.S四邊形

2

【分析】利用基本作圖得出角平分線的作圖，進而解答即可.

【解答】解：由作圖步驟可得：OE是/Z08的角平分線,

J.ACEO^ADEO,CM=MD,S四邊形℃￡0=攵。?。石，

2

但不能得出NOCD=NECD,

故選：C.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線

段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作

已知直線的垂線）.

9.（3分）如圖，在矩形,88中，AB=2,8c=3,動點P沿折線88從點8開始運動

到點￡>.設運動的路程為x,的面積為y,那么y與x之間的函數關系的圖象大

致是（）

BC

.由此即可判斷.

【解答】解：由題意當0WxW3時，夕=3,

當3cx<5時，y=Lx3K（5-x）=-當+應.

222

故選：D.

【點評】本題考查動點問題的函數圖象，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論是扇

形思考問題，屬于中考常考題型.

10.（3分）關于x的一元二次方程/+2mx+加2+〃?=o的兩個實數根的平方和為12,則〃2

的值為（）

A.m=-2B.m=3C,m=3或m=-2D.m=-3或加=2

【分析】設修，工2是/+2加葉M2+加=0的兩個實數根，由根與系數的關系得X]+'2=-

2〃?,Xi，X2=M2+m,再由XJ+%22=（冗]+%2）2-2x]?12代入即可；

【解答】解：設,，X2是9+2加什加2+陽=0的兩個實數根，

-4加20,

「?"WO’

.*.%1+%2=-2加，勺,X2=加2+〃?，

/.XI2+X22=（工]+12）2-2jq?、2=4加2-2m2-2加=262-2加=12,

，〃7=3或，n=-2；

m=-2；

故選：A.

【點評】本題考查一元二次方程根與系數的關系；牢記韋達定理，靈活運用完全平方公

式是解題的關鍵.

11.（3分）如圖，四邊形N8CZ）內接于O。，4B為直徑,AD=CD,過點。作于

點E,連接NC交OE于點F.若sin/C4B=W,DF=5,則8C的長為（）

5

A.8B.10C.12D.16

【分析】連接8。，如圖，先利用圓周角定理證明得到尸。="=5,再

根據正弦的定義計算出EF=3,則/E=4,Z）E=8,接著證明利用相

似比得到8E=16,所以48=20,然后在RtZ\Z8C中利用正弦定義計算出8c的長.

【解答】解：連接8。，如圖，

；力8為直徑，

AZADB=ZACB=90°,

:NAD=CD,

：.ND4C=NDCA,

而/。C4=48。，

ZDAC=ZABD,

:DEUB,

：.ZABD+ZBDE=90°,

而NADE+NBDE=90°,

ZABD=ZADE,

：.NADE=ND4C,

：.FD=FA=5,

在RtZ\4￡F中，：sinNC48=E^=W,

AF5

：.EF=3,

：.AE=J^2_32=4,￡>￡=5+3=8,

NADE=NDBE,N4ED=/BED,

:AADESADBE,

:.DE：BE=AE：DE,即8：BE=4：8,

：.BE=16,

.,."8=4+16=20,

在RtZ\/8C中，；sin/G48=K=

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的

圓周角所對的弦是直徑.也考查了解直角三角形.

12.（3分）拋物線y=/+bx+3的對稱軸為直線x=l.若關于x的一元二次方程，+云+3-

f=0”為實數）在-1<X<4的范圍內有實數根，貝丸的取值范圍是（）

A.2WfVllB.C.6<r<llD.2Wt<6

【分析】根據給出的對稱軸求出函數解析式為夕=/-2x+3,將一元二次方程x2+bx+3-

t=0的實數根可以看做-2x+3與函數的有交點，再由-1VxV4的范圍確定

y的取值范圍即可求解；

【解答】解：??3=/+以+3的對稱軸為直線、=1,

：.b=-2,

Ay=x2-2x+3,

，一元二次方程/+反+3-t=0的實數根可以看做y=--2x+3與函數的有交點，

???方程在-1VxV4的范圍內有實數根，

當x=-1時，y=6；

當x=4時，y=\\；

函數>=7-2%+3在4=1時有最小值2；

.?.2Wt<6；

故選：D.

【點評】本題考查二次函數的圖象及性質；能夠將方程的實數根問題轉化為二次函數與

直線的交點問題，借助數形結合解題是關鍵.

二、填空題（本題共6小題，滿分18分。只要求填寫最后結果，每小題填對得3分。）

13.（3分）若2、=3,2y=5,則2/=15.

【分析】由2、=3,2y=5,根據同底數事的乘法可得#+?=2'?2A繼而可求得答案.

【解答】解：；2》=3,2y=5,

.?.2巾=2”=3*5=15.

故答案為：15.

【點評】此題考查了同底數幕的乘法.此題比較簡單，注意掌握公式的逆運算.

14.（3分）當直線y=（2-2%）x+k-3經過第二、三、四象限時，則人的取值范圍是」

<k<3.

【分析】根據一次函數夕=履+'k<0,6V0時圖象經過第二、三、四象限，可得2-

2k<0,k-3<0,即可求解：

【解答】解：夕=（2-2k）x+八3經過第二、三、四象限，

：.2-2k<0,3<0,

：.k>l,k<3,

：.\<k<3；

故答案為1<在<3；

【點評】本題考查一次函數圖象與系數的關系；掌握一次函數y=Ax+b,/與b對函數

圖象的影響是解題的關鍵.

15.（3分）如圖，RtZUOB中，408=90°,頂點48分別在反比例函數（x>

X

0）與y=二L（尤<0）的圖象上，則tan/8/O的值為_近_.

X

【分析】過4作ZC_Lx軸，過8作BO_Lx軸于。，于是得到N8Z)O=/4co=90°,

根據反比例函數的性質得到SABDO=§,S2OC=L根據相似三角形的性質得到

22

5,

Sabod=(強)2=斗=5,求得強=依，根據三角函數的定義即可得到結論.

SAOAC0A10A

2

【解答】解：過Z作NCJ_x軸，過8作8Z)_Lx軸于。，

則/8OO=NZCO=90°,

?.?頂點/,8分別在反比例函數y=L(x>0)與y=W_(xV0)的圖象上，

XX

:.SRBDO=JS△力0。=二，

22

VZAOB=90°,

???ZBOD+ZDBO=ZBOD+ZAOC=90°,

???/DBO=/AOC,

:.△BDOs/\OCA,

_5

S^BOD=(0B)2=^=5,

2AOAC°A—

2

,.察=亦

OA

*??tanNBAO=

OA

故答案為：A/5-

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質、反比例函數的性質以及直角三角形的性

質.解題時注意掌握數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法.

16.（3分）如圖，在矩形中，AD=2.將向內翻折，點/落在8c上，記為/

',折痕為。E.若將N8沿EH向內翻折，點8恰好落在。￡上，記為夕，則/8=

Q

【分析】利用矩形的性質，證明/40￡：=/4。￡=/4。。=30°,ZC^ZA'B'D=90

°,推出△084名△OC4,CD=B'D,設/8=OC=x,在中，通過勾股定理

可求出的長度.

【解答】解：???四邊形/BCD為矩形，

...NADC=NC=/8=90°,HB=DC,

由翻折知，/\A'BE^/\A'B'E,/AB'E=ZB=NABD=90°,

AZAED=ZA'ED,ZA'EB=ZA'EB',BE=B'E,

ZAED=ZA'ED=ZA'EB=LX180°=60°,

3

AZADE=90°-4ED=30°,/4。￡=90°-NHE8=30°,

N4DE=NA'DE=N4DC=30°,

又,.,NC=/48'D=90°,DA'^DA',

：./\DB'A'^/\DCA'(AAS),

：.DC=DB',

在RtZ\/ED中,

ZADE=3Q°,AD=2,

.?./￡?=3=

V33

設AB=DC=x,則BE=B'E=x-

3

"：AE2+AD2=DE2,

22

...（2愿.）2+22=（x+x_Vs.）,

33

解得，Xl=二/1■（負值舍去），X2=J&

3

故答案為：Vs.

【點評】本題考查了矩形的性質，軸對稱的性質等，解題關鍵是通過軸對稱的性質證明

ZAED=ZA'ED=ZA'EB=60°.

17.（3分）如圖，直線y=x+l與拋物線y=x2-4x+5交于4,8兩點，點P是y軸上的一

個動點，當△48的周長最小時，SAPJg=_ll_.

【分析】根據軸對稱，可以求得使得△P48的周長最小時點P的坐標，然后求出點尸

到直線N8的距離和N8的長度，即可求得△P/8的面積，本題得以解決.

【解答】解：yv=x+1,

Ly=x-4x+5

解得，（x=l或（x=4,

ly=2（y=5

.?.點4的坐標為（1,2）,點B的坐標為（4,5）,

?J"、（5—2）2+（4一］產3近,

作點4關于y軸的對稱點,連接8與y軸的交于尸，則此時△P48的周長最

小，

點/的坐標為（-1,2）,點8的坐標為（4,5）,

設直線Z'8的函數解析式為y=H+6,

J-k+b-2得15

l4k+b=5'卜工，

...直線，8的函數解析式為夕=旦什/，

55

當x=0時，

5

即點P的坐標為（0,E）,

5

將x=0代入直線歹=工+1中，得y=l,

??,直線y=x+l與y軸的夾角是45°,

.?.點P到直線的距離是：（W-l）Xsin45°=&乂返=2返，

5525

研又堂~12

.?.△尸/8的面積是：---------絲，

25

【點評】本題考查二次函數的性質、一次函數的性質、軸對稱-最短路徑問題，解答本

題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

18.（3分）如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，一組同心圓的圓心為坐標原點。，它們

的半徑分別為1,2,3,按照“加分依次遞增;一組平行線，./i，%，b，…都

與x軸垂直，相鄰兩直線的間距為/,其中/（）與丁軸重合若半徑為2的圓與/]在第一象

限內交于點P],半徑為3的圓與，2在第i象限內交于點尸2，…，半徑為勿+1的圓與1,1

在第一象限內交于點P”,則點P”的坐標為（〃，亞a?）.（〃為正整數）

1y八

【分析】連OPi，OP2,OP3,1\、&、/3與X軸分別交于小、42、43，在Rt^O/lP]

中，OAi=\,OP\=2,由勾股定理得出小P|=Jop]2_0A]2=J^,同理：A2P2=近

，43P3=瓜，得出修的坐標為（1.J&）,七的坐標為（2,、尺），2的坐標

為（3,夜），……，得出規律，即可得出結果.

【解答】解：連接。P|,OP2,OP3,八、%、，3與X軸分別交于小、42、小，如圖所

示：

在RtZ\O4]P[中，0小=1,OPi=2,

??㈤PI=J0P[2_0A[2=、22_12=V^

同理：42P2=d32-22=43P3=442.32=5/^,....，

二尸1的坐標為（1,22的坐標為（2,遍），尸3的坐標為（3,77）,....,

…按照此規律可得點P”的坐標是（”，d（n+l）2-2），即（小V2n+1）

故答案為：（〃，V2n+1

【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑.也考查了勾股定理;

由題意得出規律是解題的關鍵.

三、解答題（本題共7小題，共66分。解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟。）

19.（5分）己知關于x,y的二元一次方程組（尸5的解滿足x>?求人的取值范

[x-2y=k

圍.

【分析】先用加減法求得x-y的值（用含2的式子表示），然后再列不等式求解即可.

【解答】解：（2x-3尸p

[x-2y=k②

①~②得：x-y=5-k,

**x>y,

.*.x-y>0.

A5-A>0.

解得：k<5.

【點評】本題主要考查的是二元一次方程組的解，求得x-y的值（用含左的式子表

示）是解題的關鍵.

20.（6分）自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾

步行健身，某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造.如圖2所示，改造前的斜

坡48=200米，坡度為1：V3；將斜坡的高度ZE降低ZC=20米后，斜坡改

造為斜坡8,其坡度為1：4.求斜坡8的長.（結果保留根號）

【分析】根據題意和銳角三角函數可以求得ZE的長，進而得到CE的長，再根據銳角

三角函數可以得到ED的長，最后用勾股定理即可求得CD的長.

【解答】解：???/ZE8=90°,48=200,坡度為1：如,

tanZABE=-^^3~,

a-3

AZABE=30°,

：.AE=l^B=\00,

2

:/C=20,

：.CE=S0,

VZC￡D=90",斜坡CA的坡度為1：4,

.生小

?.施工，

即里I」

ED-4

解得，紅）=320,

-'-CD=J&（）2+3202=8，

答：斜坡8的長是80j百米.

【點評】本題考查解直角三角形的應用-坡度坡角問題，解答本題的關鍵是明確題意，

利用銳角三角函數和數形結合的思想解答.

21.（9分）如圖所示，有一個可以自由轉動的轉盤，其盤面分為4等份，在每一等份分別

標有對應的數字2,3,4,5.小明打算自由轉動轉盤10次，現已經轉動了8次，每一

次停止后，小明將指針所指數字記錄如下：

次數第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次

數字35233435

（1）求前8次的指針所指數字的平均數.

（2）小明繼續自由轉動轉盤2次，判斷是否可能發生“這10次的指針所指數字的平均

數不小于3.3,且不大于3.5”的結果？若有可能，計算發生此結果的概率，并寫出計算

過程：若不可能，說明理由.（指針指向盤面等分線時為無效轉次.）

【分析】（1）根據平均數的定義求解可得：

（2）由這10次的指針所指數字的平均數不小于3.3,且不大于3.5知后兩次指正所指數

字和要滿足不小于5且不大于7,再畫樹狀圖求解可得.

【解答】解：（1）前8次的指針所指數字的平均數為1X（3+5+2+3+3+4+3+5）=

8

3.5；

（2）???這10次的指針所指數字的平均數不小于3.3,且不大于3.5,

???后兩次指正所指數字和要滿足不小于5且不大于7,

畫樹狀圖如下:

2345

AAAA

345245235234

由樹狀圖知共有12種等可能結果，其中符合條件的有8種結果，

所以此結果的概率為國-=2.

123

【點評】本題考查的是利用樹狀圖求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情

況數之比.

22.(10分)如圖，正方形/8CZ)的邊CD在正方形ECG尸的邊CE上，連接。G,過點工

作AH//DG,交8G于點，.連接“凡AF,其中/尸交EC于點

(1)求證：為等腰直角三角形.

(2)若48=3,EC=5,求EAf的長.

【分析】(1)通過證明四邊形/"G。是平行四邊形，可得4H=DG,AD=HG=CD,

由"S4S"可證△OCG絲△4GF,可得QG=//F,ZHFG^ZHGD,可證N//_L4F,

AH=HF,即可得結論；

(2)由題意可得OE=2,由平行線分線段成比例可得趴=旦匕=旦，即可求EW的長.

DMAD3

【解答】證明：(1)?.?四邊形四邊形ECGF都是正方形

J.DA//BC,AD=CD,FG=CG,NB=NCGF=90°

'：AD//BC,AH//DG

四邊形AHGD是平行四邊形

:?AH=DG,AD=HG=CD

■:CD=HG,/ECG=NCGF=90°,FG=CG

：.△QCGg叢HGF(SAS)

:?DG=HF,4HFG=/HGD

：.AH=HF,

NHGD+/DGF=90°

：.NHFG+NDGF=9G°

：.DG±HF,^.AH//DG

J.AHLHF,KAH=HF

/為等腰直角三角形.

（2）'：AB=3,EC=5,

：.AD=CD=3,DE=2,EF=5

■:AD//EF

，史=EF=5,且。E=2

DMAD-3

4

【點評】本題考查了正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性

質，平行線分線段成比例等知識點，靈活運用這些知識進行推理是本題的關鍵.

23.（10分）扶貧工作小組對果農進行精準扶貧，幫助果農將一種有機生態水果拓寬了市

場.與去年相比，今年這種水果的產量增加了1000千克，每千克的平均批發價比去年

降低了1元，批發銷售總額比去年增加了20%.

（1）已知去年這種水果批發銷售總額為10萬元，求這種水果今年每千克的平均批發價

是多少元？

（2）某水果店從果農處直接批發，專營這種水果.調查發現，若每千克的平均銷售價

為41元，則每天可售出300千克；若每千克的平均銷售價每降低3元，每天可多賣出

180千克，設水果店一天的利潤為w元，當每千克的平均銷售價為多少元時，該水果店

一天的利潤最大，最大利潤是多少？（利潤計算時，其它費用忽略不計.）

【分析】（1）由去年這種水果批發銷售總額為10萬元，可得今年的批發銷售總額為10

（1-20%）=12萬元，設這種水果今年每千克的平均批發價是x元，則去年的批發價

為（x+i）元，可列出方程：12000。」ooooo=]O00,求得x即可

Xx+1

（2）根據總利潤=（售價-成本）X數量列出方程，根據二次函數的單調性即可求最

大值.

【解答】解：

（1）由題意，設這種水果今年每千克的平均批發價是X元，則去年的批發價為（x+1）

元

今年的批發銷售總額為10(1-20%)=12萬元

?120000100000

-------------------n-=iooo

Xx+1

整理得X2-19x-120=0

解得x=24或x=-5(不合題意，舍去)

故這種水果今年每千克的平均批發價是24元.

(2)設每千克的平均售價為〃，元，依題意

由(1)知平均批發價為24元，則有

w=(zn-24)(qIFX180+300)=-60m2+4200”？-66240

3

整理得w=-60-35)2+7260

-60<0

.??拋物線開口向下

，當加=35元時，w取最大值

即每千克的平均銷售價為35元時，該水果店一天的利潤最大，最大利潤是7260元

【點評】本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用.最大銷售利潤的問題常利函

數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，根據每天的利潤

=一件的利潤X銷售件數，建立函數關系式，此題為數學建模題，借助二次函數解決實

際問題.

24.(13分)如圖1,菱形的頂點Z,。在直線上，NBAD=60°,以點/為旋轉中

心將菱形/8CD順時針旋轉a(0°<a<30°),得到菱形力夕CD',B'C交對

角線4C于點"，CD'交直線/于點N,連接MN.

(1)當MN〃B'D'時，求a的大小.

(2)如圖2,對角線8'D'交AC于點、H,交直線/與點G,延長C'B'交48于點

E,連接￡77.當△HE8'的周長為2時，求菱形/8CO的周長.

【分析】(1)證明M^/\AD'N(SAS),推出N8'AM=ND'AN,即可解決問

題.

(2)證明△4E8'g△NG。'(44S),推出E8'=GD',AE=AG,再證明

△AHG(SAS),推出￡7/=G〃，推出B'D'=2,即可解決問題.

【解答】解：(1)???四邊形CD'是菱形，

J.AB'=夕C=CD'=AD',

VZ5ZAD'=NB'CD'=60°,

A/\AB'D',/\B'CD'是等邊三角形，

,:MN〃B'C,

AZCZMN=NC'B'D'=60°,NCNM=NC'D'B'=60°,

.?.△C'MN是等邊三角形，

：.CM=CN,

：.MB'=ND',

,:NAB'M=NAD'N=120°,AB'=4D',

A/XAB'M學LAD'N(￡4S),

:.NB'AM=ND'AN,

VZCAD=LZBAD=30°,

2

ZDAD'=15°,

；.a=15°.

(2)VZCB'D'=60°,

:.NEB'G=120°,

VZEAG=60°,

:.NEAG+NEB'G=180°,

四邊形E4G8'四點共圓，

AZAEB'=NAGD',

■:NEAB'=NGAD',AB'=AD',

.?.△AEB'絲△ZG。'(AAS),

：.EB'=GD',AE=AG,

'：AH=AH,NHAE=NHAG,

:.4AHE妥AAHG(SAS),

：.EH=GH,

'：/\EHB'的周長為2,

J.EH+EB'+HB'=B'H+HG+GD'=B'D'=2,

.".AB'—AB=2,

，菱形/8CO的周長為8.

【點評】本題考查旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，菱形的性質等知識，解題的

關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

25.(13分)如圖，在平面直角坐標系xoy中，。為坐標原點，點”(4,0),點B(0,

4),的中線/C與y軸交于點C,且。"經過O,A,C三點.

(1)求圓心M的坐標：

(2)若直線與。〃相切于點4交y軸于點O,求直線的函數表達式；

(3)在過點5且以圓心收為頂點的拋物線上有一動點P,過點尸作PE〃y軸，交直線

于點E.若以PE為半徑的。P與直線/D相交于另一點F.當EF=4四寸，求點尸

【分析】(1)利用中點公式即可求解；

(2)設：ZCAO=a,則/C4O=NOZ14=/尸￡7/=a,tanZCAO=—=tana,則

_OA2

sina=-^,cosa=-^,則CD=----...="10=1