§9.7拋物線最新考綱考情考向分析1.了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質.拋物線的方程、幾何性質及與拋物線相關的綜合問題是命題的熱點．題型既有小巧靈活的選擇、填空題，又有綜合性較強的解答題.1．拋物線的概念平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的，直線l叫做拋物線的．2．拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點坐標O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點坐標Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下

概念方法微思考1．若拋物線定義中定點F在定直線l上時，動點的軌跡是什么圖形？2．直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的什么條件？題組一思考辨析1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準線方程是x＝－eq\f(a,4).()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．()(4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.()(5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長為2a.()題組二教材改編2．[P69例4]過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于()A．9B．8C．7D．63．[P73A組T3]若拋物線y2＝4x的準線為l，P是拋物線上任意一點，則P到準線l的距離與P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值是()A．2 B.eq\f(13,5)C.eq\f(14,5) D．34．[P72T1]已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經過點P(－2，－4)，則該拋物線的標準方程為____________________．題組三易錯自糾5．設拋物線y2＝8x上一點P到y軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是()A．4 B．6C．8 D．12答案B6．已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是()A．y2＝±2eq\r(2)x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±4eq\r(2)x7．設拋物線y2＝8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是__________．題型一拋物線的定義和標準方程命題點1定義及應用例1設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．引申探究1．若將本例中的B點坐標改為(3,4)，試求|PB|＋|PF|的最小值．2．若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動點P到y軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1＋d2的最小值．命題點2求標準方程例2設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的標準方程為()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x跟蹤訓練1(1)設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，則點P到點A(－1，1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________．(2)如圖所示，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的標準方程為()A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝9xC．y2＝eq\f(9,2)x D．y2＝3x題型二拋物線的幾何性質例3(1)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，過焦點F且斜率為eq\r(3)的直線與C相交于P，Q兩點，且P，Q兩點在準線上的射影分別為M，N兩點，則S△MFN等于()A.eq\f(8,3)p2 B.eq\f(2\r(3),3)p2C.eq\f(4\r(3),3)p2 D.eq\f(8\r(3),3)p2(2)過點P(－2,0)的直線與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點，且|PA|＝eq\f(1,2)|AB|，則點A到拋物線C的焦點的距離為()A.eq\f(5,3)B.eq\f(7,5)C.eq\f(9,7)D．2跟蹤訓練2(1)設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32)D.eq\f(9,4)(2)拋物線C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p>0)的焦點與雙曲線C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p等于()A.eq\f(\r(3),16)B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)題型三直線與拋物線例4設拋物線的頂點在坐標原點，焦點F在y軸正半軸上，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，線段AB的長是8，AB的中點到x軸的距離是3.(1)求拋物線的標準方程；(2)設直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點．連接QF并延長交拋物線的準線于點R，當直線PR恰與拋物線相切時，求直線m的方程．跟蹤訓練3(2018·山西康杰中學月考)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，圓O：x2＋y2＝1.(1)若拋物線C的焦點F在圓O上，且A為拋物線C和圓O的一個交點，求|AF|；(2)若直線l與拋物線C和圓O分別相切于點M，N，求|MN|的最小值及相應p的值．直線與圓錐曲線問題的求解策略例(12分)已知拋物線C：y＝mx2(m>0)，焦點為F，直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q.(1)求拋物線C的焦點坐標；(2)若拋物線C上有一點R(xR,2)到焦點F的距離為3，求此時m的值；(3)是否存在實數m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．1．拋物線y＝ax2的準線方程是y＝1，則a的值為()A.eq\f(1,4)B．－eq\f(1,4)C．4D．－42．(2018·泰安診斷)設F為拋物線y2＝2x的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若F為△ABC的重心，則|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值為()A．1B．2C．3D．43．(2018·遼寧五校聯考)拋物線x2＝4y的焦點為F，過點F作斜率為eq\f(\r(3),3)的直線l與拋物線在y軸右側的部分相交于點A，過點A作拋物線準線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是()A．4B．3eq\r(3)C．4eq\r(3)D．84．(2018·江西上高二中、豐城中學聯考)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，M是拋物線C上的點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為36π，則p等于()A．2B．4C．6D．85．已知直線l：y＝kx－k(k∈R)與拋物線C：y2＝4x及其準線分別交于M，N兩點，F為拋物線的焦點，若2eq\o(FM,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，則實數k等于()A．±eq\f(\r(3),3)B．±1C．±eq\r(3)D．±26．已知拋物線C的頂點是原點O，焦點F在x軸的正半軸上，經過點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－12，則拋物線C的方程為()A．x2＝8y B．x2＝4yC．y2＝8x D．y2＝4x7．(2018·新余市第一中學模擬)動點P到點A(0,2)的距離比它到直線l：y＝－4的距離小2，則動點P的軌跡方程為____________．8．(2018·武漢質檢)已知F是拋物線y2＝4x的焦點，A，B是拋物線上兩點，若△AFB是等邊三角形，則△AFB的邊長為________________．9．已知直線l：y＝kx＋t與圓：x2＋(y＋1)2＝1相切，且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點M，N，則實數t的取值范圍是____________．10．(則|BF|＝__________.11．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點，且|AB|＝9.則該拋物線的方程為________．12．(2018·貴陽模擬)過拋物線C：y2＝4x的焦點F且斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點，且|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)若A關于x軸的對稱點為D，求證：直線BD過定點，并求出該點的坐標．13.(2018·益陽市、湘潭市質檢)如圖所示，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若F是AC的中點，且|AF|＝4，則線段AB的長為()A．5 B．6C.eq\f(16,3) D.eq\f(20,3)14.(2018·廣東七校聯考)如圖所示，拋物線y＝eq\f(1,4)x2，AB為過焦點F的弦，過A，B分別作拋物線的切線，兩切線交于點M，設A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，則：①若AB的斜率為1，則|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率為1，則xM＝1；⑤xA·xB＝－4.以上結論正確的個數是()A．