2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)xwR,則“設(shè)<27”是“1尤1<3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2+3/

2.已知i為虛數(shù)單位,則(l-2z)i-()

74.74.47.47.

A.一+—1B.--------1C.—1—1—I

55555555

3.學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)按照考生原始成績(jī)從高到低分為A、B、C、D、￡五個(gè)等級(jí).某班共有36名學(xué)生且全部選考

物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中，這兩科等級(jí)均為A的學(xué)生有5人，這兩科中僅

有一科等級(jí)為A的學(xué)生，其另外一科等級(jí)為3,則該班（）

中級(jí)

科*ABCDE

物理1016910

化學(xué)819720

A.物理化學(xué)等級(jí)都是8的學(xué)生至多有12人

B.物理化學(xué)等級(jí)都是8的學(xué)生至少有5人

C.這兩科只有一科等級(jí)為8且最高等級(jí)為8的學(xué)生至多有18人

D.這兩科只有一科等級(jí)為3且最高等級(jí)為3的學(xué)生至少有1人

4.已知復(fù)數(shù)二滿(mǎn)足z（l+i）=4-3i,其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)二在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）

A.在K5055

15.--------C.一D.-

2224

=艮，貝匹的虛部是（

5.已知復(fù)數(shù)2:)

1-1

1-ID.1

x

6.已知x,ywR,貝！|“x<y”是“一<1”的（）

y

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.若直線(xiàn)2x+y+機(jī)=0與圓f+2x+y2—2y—3=0相交所得弦長(zhǎng)為2逐，則加=（）

A.1B.2C.y/5D.3

8.已知非零向量滿(mǎn)足分后=0,|a|=3,且〃與。+石的夾角為一，則|B|=（）

4

A.6B.372C.2夜D.3

9.若%+6（28-1）+。2（2%-1）2+。3（2%-1）3+。式2%-1）4+%（28-1）5=J，則%的值為（）

5555

A.—B?—C.—D.—

481632

10.已知a,0表示兩個(gè)不同的平面，1為a內(nèi)的一條直線(xiàn)，貝！|“a〃6是"1〃留的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

11.百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中有這樣的一個(gè)小游戲.袋子中

有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球，分別寫(xiě)有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個(gè)字，有放回地從中任意摸出一個(gè)小球，直

到“仁，，、“智，，兩個(gè)字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1

到4之間（含1和4）取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)

數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：

141432341342234142243331112322

342241244431233214344142134412

由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為（）

1123

A.—B.-C.—D.一

4555

12.已知命題"關(guān)于x的方程V—4x+a=0有實(shí)根”，若力為真命題的充分不必要條件為a>3加+1,則實(shí)數(shù)加

的取值范圍是（）

A.[l,+oo）B.（1,+?）C.（-oo,l）D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知｛%｝是等比數(shù)列，若訝=(4,2),5=(4,3),且［〃萬(wàn)，則口^=.

CloIC＜c

14.已知尸為拋物線(xiàn)&F=8y的焦點(diǎn)，尸為。上一點(diǎn)，〃(-4,3),則△PMF周長(zhǎng)的最小值是.

/。吟

cos2a——

15.若tana=2,貝！|z-----、=____.

singer

16.雙曲線(xiàn)y一％2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,漸近線(xiàn)方程是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知點(diǎn)A、B分別在x軸、＞軸上運(yùn)動(dòng)，|AB|=3,潴=2湄.

(1)求點(diǎn)"的軌跡C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)/與曲線(xiàn)C交于「、Q兩點(diǎn)，E(0,l),求|￡「『+|￡。『的取值范圍.

\5/

18.(12分)在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，NBAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

的中點(diǎn).

(1)證明：PO//平面A￡C;

(2)設(shè)尸是線(xiàn)段。C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E到平面W距離最大時(shí)，求三棱錐P-AEE的體積.

19.(12分)設(shè)拋物線(xiàn)。：＞2=2。%(。＞0)的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)為/,A8為拋物線(xiàn)。過(guò)焦點(diǎn)尸的弦，已知以A3為直

徑的圓與/相切于點(diǎn)(一1,0).

(1)求。的值及圓的方程；

(2)設(shè)M為/上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為N,證明：MF1NF.

20.(12分)在△A8c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=4,幽土網(wǎng)0=￡心.

tanA+tan8c

(1)求A的余弦值；

(2)求AA5C面積的最大值.

21.（12分）某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶(hù)居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不

超過(guò)200度的部分按0.5元/度收費(fèi)，超過(guò)200度但不超過(guò)400度的部分按0.8元/度收費(fèi)，超過(guò)400度的部分按1.0元/

度收費(fèi).

（D求某戶(hù)居民用電費(fèi)用y（單位：元）關(guān)于月用電量x（單位：度）的函數(shù)解析式；

（U）為了了解居民的用電情況，通過(guò)抽樣，獲得了今年1月份100戶(hù)居民每戶(hù)的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示

的頻率分布直方圖，若這1（）（）戶(hù)居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過(guò)260元的占80%,求。的值；

（ni）在滿(mǎn)足（H）的條件下，若以這loo戶(hù)居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶(hù)用電量的概率，且同組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)代替，記y為該居民用戶(hù)1月份的用電費(fèi)用，求y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22.（10分）已知六面體A3CDE尸如圖所示，8七1平面回。。，BE//AF,AD//BC,BC=l,CD=加,

FM1

AB=AF=AD=2,"是棱￡0上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足——=一.

MD2

（1）求證：直線(xiàn)8F7/平面M4C；

（2）求二面角A—MC-。的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

先解不等式化簡(jiǎn)兩個(gè)條件，利用集合法判斷充分必要條件即可

【詳解】

解不等式》3<27可得X<3,

解絕對(duì)值不等式|x|<3可得—3<x<3,

由于｛x[—3<x<3｝為｛x|x<3｝的子集，

據(jù)此可知“V<27”是"Ix|<3"的必要不充分條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了必要不充分條件的判定，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】

2+3z2+3i（2+3z）（2-z）74.

-------------——/

（l-2z）z2+i（2+z）（2-z）55*

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題題.

3.D

【解析】

根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級(jí)為A,化學(xué)等級(jí)為8的學(xué)生人數(shù)以及物理等級(jí)為8,化學(xué)等級(jí)為A的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表

格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】

根據(jù)題意可知，36名學(xué)生減去5名全A和一科為A另一科為B的學(xué)生10-5+8-5=8人（其中物理A化學(xué)8的有5

人，物理3化學(xué)A的有3人），

表格變?yōu)椋?/p>

ABCDE

物理10-5-5=016-3=13910

化學(xué)8-5-3=019-5=14720

對(duì)于A選項(xiàng)，物理化學(xué)等級(jí)都是3的學(xué)生至多有13人，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)物理C和。，化學(xué)都是3時(shí)，或化學(xué)C和。，物理都是8時(shí)，物理、化學(xué)都是8的人數(shù)最少，至少

為13-7-2=4（人），B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，在表格中，除去物理化學(xué)都是B的學(xué)生，剩下的都是一科為3且最高等級(jí)為3的學(xué)生，

因?yàn)槎际荁的學(xué)生最少4人，所以一科為3且最高等級(jí)為3的學(xué)生最多為13+9+1-4=19（人），

C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，物理化學(xué)都是8的最多13人，所以?xún)煽浦挥幸豢频燃?jí)為8且最高等級(jí)為8的學(xué)生最少14-13=1（人）,

D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.

4.B

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為|z|,利用模長(zhǎng)公式即得解.

【詳解】

由題意知復(fù)數(shù)二在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為Iz|,

4-3/（4-30（1-01-7/17.

z=------=----------------=-------=-------Z,

1+Z2222

??「也后考

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，模長(zhǎng)公式和幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，分子分母同時(shí)乘以1+i,進(jìn)而求得復(fù)數(shù)Z,再求出I，由此得到虛部.

【詳解】

z="-;—i>z=-i>所以z的虛部為一1?

1-z

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

xX

x<y,不能得到一<1,二<1成立也不能推出X<>,即可得到答案.

【詳解】

因?yàn)?,y&R,

1x

當(dāng)x<y時(shí)，不妨取x=—1,y=—9—=2>1,

"2y

x

故光<y時(shí)，一<1不成立，

y

X

當(dāng)一<1時(shí)，不妨取x=2,y=-l,則x<y不成立，

y

綜上可知，“％<y”是“一<1”的既不充分也不必要條件，

y

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.

7.A

【解析】

將圓的方程化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)垂徑定理求解即可.

【詳解】

圓/+2x+V一2y-3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程(x+1)2+(y-1)2=5，圓心坐標(biāo)為(一1,1),半徑為百，因?yàn)橹本€(xiàn)2x+y+m=0

與圓/+2%+：/一2｝；-3=0相交所得弦長(zhǎng)為2右,所以直線(xiàn)2》+丁+，〃=0過(guò)圓心,得2*(-1)+1+根=0,即加=1.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線(xiàn)中參數(shù)的方法，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結(jié)果即可.

【詳解】

TT

解：非零向量a，B滿(mǎn)足日石=0,可知兩個(gè)向量垂直，而1=3,且￡與￡+5的夾角為:，

說(shuō)明以向量￡,B為鄰邊，￡+5為對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形是正方形，所以則|加=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

根據(jù)犬=J_[(2x-1)+1]5,再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

32

【詳解】

因?yàn)槿?\[(2x—1)+1『，所以二項(xiàng)式[(2x-l)+l]5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：

5r5r

7；+1=C；-(2x-l)-.f-(2x-l)-,令r=3,所以4=C；―(2x-1)2,因此有

一12_112_15X4_5

a>=—?C=—?C=—x------=—.

-32s5325s32216

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

10.A

【解析】

試題分析：利用面面平行和線(xiàn)面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.

解：根據(jù)題意，由于a,。表示兩個(gè)不同的平面，1為a內(nèi)的一條直線(xiàn)，由于“a〃°,

則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然a中任何一條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，

.?."a〃p是“1〃嚴(yán)的充分不必要條件.

故選A.

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定.

11.A

【解析】

由題意找出滿(mǎn)足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿(mǎn)足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.

【詳解】

由題意可知當(dāng)1,2同時(shí)出現(xiàn)時(shí)即停止摸球，則滿(mǎn)足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142,112,241,142,412.

則恰好第三次就停止摸球的概率為。5=；.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

命題p：tz<4,為a>4,又力為真命題的充分不必要條件為。>3m+1,故3加+1>4=m>1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.一

3

【解析】

若4=(%,2),人=(。3,3),且白〃5,則3%=2%,由｛〃“｝是等比數(shù)列，可知公比為q=U=5.

%+。4_1_2

%+%q3?

故答案為;2.

3

14.5+V17

【解析】

△1的周長(zhǎng)最小，即求IPMI+IP/^最小，過(guò)P做拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為Q,轉(zhuǎn)化為求IPMI+IPQI最小，

數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】

如圖，尸為拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，M(-4,3),

拋物線(xiàn)C：*2=8y的焦點(diǎn)為尸（0,2）,準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-2.

過(guò)P作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為Q,則有IPEHPQI

\PM\+\PF\^PM\+\PQ\^MQ\=5,

當(dāng)且僅當(dāng)M,P,Q三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，

22

所以△PMF的周長(zhǎng)最小值為5+7（-4）+（3-2）=5+V17.

故答案為：5+V17.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線(xiàn)定義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題.

1

15.-

7

【解析】

4

由tana=2,得出tan2a=-§,根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡(jiǎn)，再利用齊次式即可求出結(jié)果.

【詳解】

4

因?yàn)閠ana=2,所以tan2a=一一,

3

cos2acos—+sin2asin」

441+tan2a

sin2acos-—cos2asin—tan2a-1

44

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及運(yùn)用齊次式求值，屬于

對(duì)公式的考查以及對(duì)計(jì)算能力的考查.

16.(0,±V2)y=±x

【解析】

b

通過(guò)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解C,即可得到所求的結(jié)果.

a

【詳解】

由雙曲線(xiàn)y2-/=1,可得a=l,b-l,貝I)c=，

所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,土立)，

漸近線(xiàn)方程為：y=±x.

故答案為：(o,±V2)；y=〃.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于容易題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

X2,(“256]

17.(1)—+y2=l(2)4,--

4I25」

【解析】

(1)設(shè)坐標(biāo)后根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，用坐標(biāo)表示出所，詼，得到EP_LEQ,

所以|+|EQ『=|PQI2,代入韋達(dá)定理即可求解.

【詳解】

⑴設(shè)A(毛,0),8(0,%),則片+巾=9,

一?3

、n1X7、,UUUuuw_X=2(xo-x)=-X

>7。=2(°7)卜0=3y

(3丫

又由于《X+(3y)2=9,

2

化簡(jiǎn)得M的軌跡C的方程為—+y2=l.

4

3

(2)設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為了=g,

與C的方程聯(lián)立，消去)'得(1+4公卜2-日丘一||=0,

/>0,設(shè)P（X|，X）,。（程必），

24k-64

則%+%2

5+20公-25+100產(chǎn)

由已知EP=（X［，X-1）,￡。=（%2，%-1），則

EPEQ=xtx2+（X-1）（y2-1）=xlx2+Ax,-

=（1+上一）%*2--〃（玉+%2）+的

25

-648,24k64

=（1+22卜__?X

25+100A:25-5---+-----2---0---k--27----2--5--

一64-64/-192/+64+256公

25+100。

=0，

故直線(xiàn)EP_LE。.

\EP\2+\EQ\2=\PQ『=（1+卻藥+蠟-4中j

2,A

\-6464（1+/）（25二+4）

2）―4Ax-------

'25+100公25（1+4Z:2）2

64（4+29公+2524）

25（1+4用?

令1+4%2=。則

4「—27+66,+25產(chǎn)

25產(chǎn)

4<|「。尸壁.

所以，|痔『+|￡。|2的取值范圍為14,等.

【點(diǎn)睛】

此題考查軌跡問(wèn)題，橢圓和直線(xiàn)相交，注意坐標(biāo)表示向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化的處理技巧，屬于較難題目.

18.(1)見(jiàn)解析(2)B

3

【解析】

(1)連接DB與AC交于。，連接0E,證明PD//QE即可得證線(xiàn)面平行；

(2)首先證明平面A8C0(只要取8C中點(diǎn)M，可證平面Q4",從而得同理得Q4LC。),

因此點(diǎn)3到直線(xiàn)A尸的距離即為點(diǎn)3到平面Q4尸的距離，由平面幾何知識(shí)易得最大值，然后可計(jì)算體積.

【詳解】

(1)證明：連接。B與AC交于。，連接0E,

因?yàn)锳BCD是菱形，所以。為。8的中點(diǎn)，

又因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，

所以PD//OE,

因?yàn)镻￡>(Z平面AEC,OEu平面AEC,

所以P。//平面AEC.

(2)解：取8c中點(diǎn)/，連接AM,PM,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，N84D=120°,且PC=PB,

所以3CJ_平面"M，又APu平面"M，

所以BC_LQ4.

同理可證：DC1PA,又8CnOC=C,

所以Q4J_平面ABCD,

所以平面PAFL平面ABCD,

又平面BAEc平面ABC￡>=AE,

所以點(diǎn)B到直線(xiàn)AF的距離即為點(diǎn)B到平面PAF的距離,

過(guò)B作直線(xiàn)AE的垂線(xiàn)段，在所有垂線(xiàn)段中長(zhǎng)度最大為AB=2,

因?yàn)镋為依的中點(diǎn)，故點(diǎn)E到平面Q4E的最大距離為1,

此時(shí)，尸為。C的中點(diǎn)，即A/=百，

所以必?AE=；X2XG=V^,

所以%AFE=%'PAF=—XGX1=——.

r~/\rt,C,~ri\r33

【點(diǎn)睛】

本題考查證明線(xiàn)面平行，考查求棱錐的體積，掌握面面垂直與線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.(1)2,(X-1)2+/=4；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由題意得/的方程為x=一夕，根據(jù)A3為拋物線(xiàn)。過(guò)焦點(diǎn)尸的弦，以A8為直徑的圓與/相切于點(diǎn)(-1,0)“利

用拋物線(xiàn)和圓的對(duì)稱(chēng)性，可得-5=-1,圓心為尸(1,0),半徑為2.

(2)設(shè)M(T,%)，MN的方程為了=可X+1)+%,代入。的方程，得外2-4y+4(%+%)=0,根據(jù)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)

122

相切，令△=16-16刈％+%)=0,得%+%=；,代入外2-4y+4(%+%)=0,解得?.將y=一代入。的方程，

kkk

得x=A，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5,'1],然后求解而?成.

【詳解】

(1)解：由題意得/的方程為％=-"，

2

所以一￡=一1,解得，=2.

2

又由拋物線(xiàn)和圓的對(duì)稱(chēng)性可知，所求圓的圓心為尸(1,0),半徑為2.

所以圓的方程為(x—l)2+y=4.

(2)證明：易知直線(xiàn)MN的斜率存在且不為()，

設(shè)M(—1,%),MN的方程為〉=可犬+1)+%,代入C的方程，

得外2_今+4(%+2)=0.

令A(yù)=16-16&(%+4)=0,得丫0+%=?，

k

所以母2_4。+4(%+%)=%)-y+4=0,解得y=/.

21

將丁=二代入。的方程，得工=記，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為

所以麗=(-2,%),而

故MFINF.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線(xiàn)的定義幾何性質(zhì)以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬

于中檔題.

20.(1)-；(2)4百

2

【解析】

⑴根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得到sin(4-B)=sin(A+B)-sinB,故sin3=2sinBcosA,得到答案.

(2)計(jì)算。c416,再利用面積公式計(jì)算得到答案.

【詳解】

/.、tanA-tan8c-bsinAcosB-cosAsinBsinC-sinB

⑴Ek丁則nil

sinAcosB+cosAsinBsinC

即sin(A-B)=sin(A+故sin8=2sinBcosA,sin3wO,故cosA=—.

2

(2)a2=b2-^-c2—2/?ccosA>故b1+C1—bc=\6N2hc—bc,故。。<16.

當(dāng)b=c=4時(shí)等號(hào)成立.

cosA=；,故sinA==",S=(6csinA44百，故△ABC面積的最大值為46.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理，面積公式，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

0.5%,0<x<200

21.(1)y={0.8x—60,200<xW400；(2)。=0.0015,方=0.002()；(3)見(jiàn)解析.

x-140,%>140

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)題意分段表示出函數(shù)解析式；(2)將y=260代入(1)中函數(shù)解析式可得x=400,即

P(x<400)=0.80,根據(jù)頻率分布直方圖可分別得到關(guān)于。涉的方程,即可得。力；(3)x取每段中點(diǎn)值作為代表的用

電量,分別算出對(duì)應(yīng)的費(fèi)用值，對(duì)應(yīng)得出每組電費(fèi)的概率，即可得到y(tǒng)的概率分布列，然后求出y的期望.

試題解析：（1）當(dāng)0WXW200時(shí)，y=o.5x；

當(dāng)當(dāng)200<xW400時(shí)，y=0.5x200+0.8x（x-200）=0.8x-60；

當(dāng)當(dāng)x>400時(shí)，y=0.5x200+0.8x200+1.0x（x-400）=x-140,所以）'與x之間的函數(shù)解析式為

0.5x,0<x<200

y={0.8x-60,200<x<400.

x-140,x>140

（2）由（1）可知，當(dāng)y=260時(shí)，x=400,則P（xW400）=0.80,結(jié)合頻率分布直方圖可知

0.1+2xl00/7+0.3=0.8

'1000+0.05=0.2."=0.0015,匕=0.0020

（3）由題意可知X可取50,150,250,350,450,550,

當(dāng)x=50時(shí)，y=0.5x5（）=25,P（y=25）=0.1,

當(dāng)x=150時(shí)，y=0.5x150=75,二P（y=75）=0.2,

當(dāng)x=250時(shí)，y=0.5x200