系統數學模型的建立第一頁，共六十五頁，2022年，8月28日4.1

由系統原理圖畫功能方框圖為了建立系統的數學模型，往往需要由系統的原理圖畫出系統的功能方框圖。控制系統數學模型的建立，可以按照圖4.1-1的基本步驟進行。圖4.1-1建立系統數學模型的基本步驟第二頁，共六十五頁，2022年，8月28日例4.1-1

試由圖4.1-2所示水位控制系統原理圖畫出其功能方框圖，并確定其控制方式。圖4.1-2水位控制系統原理圖解：由圖4.1-2可知水箱為被控對象；水位實際高度Hy為被控量；用水Q2、進水壓力、環境溫度等為擾動量；浮子為測量裝置；電位計為比較計算裝置；電動機、變速齒輪、控制閥為執行裝置；由于電位計與電路底板的接點位置與水位的期望高度H

f

相對應，故為被控量。此系統的功能方框圖如圖4.1-3所示。第三頁，共六十五頁，2022年，8月28日圖4.1-3水位控制系統的功能方框圖由圖4.1-3可知，此系統屬于“按偏差調節”的閉環負反饋控制系統。實際控制過程如下：當用水Q2使水箱的實際水位高度Hy與期望水位高度H

f出現偏差（由電位計與電路底板的接點位置設定），被浮子測量后，通過杠桿帶動比較電位計的滑動觸點，直接改變電動機電樞電壓的極性和大小，經過變速齒輪改變進水控制閥的開啟或關閉程度，調節進水量Q1的大小，使水箱的實際水位高度H

y

與期望水位高度H

f的偏差減小直至消除，Hy

=H

f時，使電位計的滑動觸點與電路底板的零電位相等，電動機因電樞電壓為0而停轉，系統處于一種新的平衡狀態。第四頁，共六十五頁，2022年，8月28日由系統原理圖畫功能方框圖的步驟根據例4.1-1的求解過程，可歸納“

由系統原理圖畫功能方框圖”的步驟如下：·首先由系統原理圖確定被控對象，這是由系統原理圖畫功能方框圖的主要矛盾，是關鍵；·其次由被控對象找到被控量、擾動量、控制裝置與給定量；·最后對照三種基本控制方式的功能方框圖模式，即可完成系統功能方框圖的繪制。第五頁，共六十五頁，2022年，8月28日4.2建立系統微分方程的一般方法由系統的功能方框圖及各功能方框的輸入輸出動態關系，可以從入到出建立系統的微分方程組，消去中間變量后，就可得到系統的微分方程。這是一個最基本的方法，也是最笨的方法。對于線性系統，還可以利用Laplase變換，把系統的功能方框圖變為動態結構圖，通過等效化簡，消去中間變量，直接求取系統的傳遞函數（系統函數）；或者把系統的功能方框圖變為信號流圖，通過Mason公式直接求取系統的傳遞函數（系統函數）。此外，還可用試驗測定的方法建立系統的數學模型。第六頁，共六十五頁，2022年，8月28日4.2.1基本方法1）一般非線性數學模型的線性化

一般而言，實際控制系統的元件都含有不同程度的非線性特性，如果采用非線性微分方程描述系統，就會導致求解過程的許多困難。因此，只要不是典型的非線性問題，只要分析方法不使系統產生太大的誤差，則允許在一定條件下將一般非線形模型近似為線性模型。小偏差法（小增量法）是常用的近似方法。小偏差法的前提條件是：系統僅在平衡工作點附近的小范圍工作；小偏差法的實質是在平衡工作點附近足夠小的范圍內，用平衡點的切線來取代原來連續變化函數的非線性特性。小偏差法的示意圖如圖4.2-1所示。圖4.2-1小偏差法的示意圖第七頁，共六十五頁，2022年，8月28日（1）單變量非線性函數的線性化：若對連續的非線性函數y

=

f（x），在工作點A（x0,y0）附近展成Talor級數（4.2-1）考慮y0

=

f（x0），有（4.2-2）令，當增量很小時，可以忽略的高次冪項，有如下近似（4.2-3）（2）雙變量非線性函數的線性化：若是有兩個或兩個以上變量的非線性系統，可以采用與上述單變量線性化基本相同的方法。設非線性函數y=f（x1

，x2），同樣可在某工作點（x10，x20），用Talor級數展開，以同樣的方法可求得

Δy≈k1Δx1+k2Δx2

（4.2-4）第八頁，共六十五頁，2022年，8月28日（3）注意事項：在上述小偏差線性化過程中，要注意以下幾點①線性化參數ki的計算只適于小偏差情況；②入、出變量與系統的實際變化不能太大；③非線性特性必須連續可微；④典型非線性化問題需用第9章專門方法。（4）應用舉例：例4.2-1設三相橋式可控晶閘管整流電路的輸入為控制角，輸出為整流電壓Ud

，二者的非線性關系為，式中U2為交流電源的相電壓有效值，U0

為＝０時的整流電壓。試對此表達式，在參考工作點（0

，Ud0

）附近，進行局部線性化處理。第九頁，共六十五頁，2022年，8月28日解：由單變量非線性函數的線性化方法有

ΔUd

=Ud-Ud0≈ksΔ=ks(-0)

式中有ΔUd

≈Δ

=ksΔ若按約定省略增量符號Δ，可得Ud

=

ks

，即：線性化處理后，Ud將隨控制角

的ks倍線性變化。

2）Laplace變換與傳遞函數（系統函數）

（1）Laplace變換（詳細介紹見中篇第7章）：①定義：對于一個t

≥

0時有定義的連續時間函數f(t)，若積分在復變量s的某區域內收斂，則f(t)的單邊拉氏正變換為（4.2-5）其中f(t)為原函數，F(s)為象函數，復變量。第十頁，共六十五頁，2022年，8月28日第十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日①用拉氏變換求解微分方程的步驟·先將系統的微分方程進行拉氏變換，得到以s為變量的代數方程，計算中的初始值應取系統在t=0-時的對應值；·再求解代數方程，得到系統輸出量的象函數表達式；·最后將輸出量的象函數表達式展成部分分式，用部分分式法求拉氏反變換（見第7章），即得系統微分方程的時域解。②應用舉例例4.2-3RC網絡如圖4.2-3所示，若開關閉合前，電容的初始電壓為UC(0-)，開關s在0時刻瞬間閉合后，試求電容C兩端的電壓uC(t)

。圖4.2-3一階RC網絡第十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日解：開關S在0時刻閉合瞬間，網絡微分方程為（4.2-10）對式（4.2-10）兩邊取拉氏變換，得（4.2-11）整理（4.2-11）式，可得輸出量的象函數表達式（4.2-12）對（4.2-12）式兩邊求拉氏反變換，得（4.2-13）

（3）傳遞函數（系統函數）一定條件下，拉氏變換可以把系統微分方程變為復變量s的代數方程，使計算與分析過程簡化，并把系統的時域數學模型變為系統的復頻域數學模型——傳遞函數(

系統函數

)——

經典控制理論中十分重要的常用數學模型。第十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日①傳遞函數（系統函數）的定義所謂傳遞函數，即線性定常系統在零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。傳遞函數也可定義為：線性定常系統在零初始條件下，系統單位沖激（脈沖）響應的拉氏變換。若一般線性定常系統的微分方程表達式為：

式中：y(t)為系統的輸出量，f(t)為系統的輸入量。在初始狀態為零時，對（4.2-14）式兩邊求拉氏變換得：即（4.2-16）式（4.2-16）中，Y(s)表示輸出量的拉氏變換，F(s)表示輸入量的拉氏變換，G(s)表示環節或系統的傳遞系數（系統函數）；多數情況下，取a

0=1。第十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日②關于傳遞函數的幾點說明·由于拉氏變換是一種線性積分運算，而傳遞函數又是從拉氏變換得來的，因此傳遞函數的概念只能用于線性定常系統；·傳遞函數只取決于系統本身的結構參數，而與輸入信號以及初始狀態無關，但是，改變輸入、輸出信號的作用點，將會使同一系統得到不同分子的傳遞函數（分母不變）；·由于傳遞函數是在零初始條件下定義的，因此傳遞函數原則上不能反映系統在非零初始條件下的全部運動規律，不能直接求系統的零輸入響應，但是可以通過拉氏反變換由傳遞函數得到系統微分方程，再對系統微分方程求非零初始條件下的拉氏變換，得到零輸入響應與零狀態響應之和的拉氏變換，最后經拉氏反變換即可得到零輸入響應、零狀態響應與完全響應；由于系統的慣性及能源的限制，使傳遞函數分子多項式的階次m小于或等于分母多項式的階次n，即

n

≥

m

；·多輸入多輸出系統多變量之間的關系不可能只用一個傳遞函數來表征，必須用傳遞函數矩陣來表示（詳見下篇第10章）。第十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日③傳遞函數的幾種表達形式·真有理分式表達式——式（4.2-16）在ai、b

j

均為實數，且n＞

m

時，即為傳遞函數的真有理分式表達式，其中

n為系統的階次，分母為系統的特征多項式，若n=

m則需用多項式除法把式（4.2-16）（假分式）化為真有理分式與商之和的形式，一般由多項式除法得到的商都與δ(t)信號有關；零、極點表達式——把式（4.2-16）的分子、分母多項式都分解為單因子因式的乘積，即得到傳遞函數的零、極點表達式（4.2-17）其中Kg=b0/a0

（a0=1）為系統的傳遞系數或根增益，

zj為系統的零點，p

i為系統的極點；第十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日典型環節表達式——式（4.2-16）的分子、分母多項式都可化為典型環節的形式，從而得到典型環節表達式（4.2-18）式（4.2-18）的分子中：K為放大環節，為一階微分環節（可能有幾個），而二階微分環節則為（也可能有幾個）；式（4.2-18）的分母中：為積分環節（v為整數，表示積分環節的個數，v<0時表示有純微分環節），為慣性環節（可能有幾個），為二階振蕩環節（也可能有幾個）；令、，可把式（4.2-18）變成式（4.2-17），有

第十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日④常見元部件的傳遞函數

比例（放大）環節——方框圖如圖4.2-4所示，微分方程為（t≥0）式中：K為比例系數或增益，是一個常數。傳遞函數為

(4.2-19)圖4.2-4放大環節的方框圖第十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日

慣性環節——方框圖如圖4.2-5所示，微分方程為（t≥0）式中T為時間常數。傳遞函數為(4.2-20)

積分環節——方框圖如圖4.2-6所示，微分方程為（t≥0）傳遞函數為(4.2-21)圖4.2-5慣性環節的方框圖圖4.2-6積分環節的方框圖第十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日例4.2-5試求圖4.2-7中，通過減速器與輸出軸相連的伺服電動機的輸出軸轉角φy與電動機電樞電壓Uf之間的傳遞函數。解：忽略電磁慣性和機械慣性的影響，設初始狀態為零，由圖4.2-7有電動機轉速,減速器輸出轉速可得（4.2-22）式（4.2-22）中：K1、K2為比例常數，又，代入式4.2-22可得：，初始狀態為零時，對此式兩邊求拉氏變換得式中：K=K1·K2，為比例常數。所以系統的傳遞函數為（4.2-23）圖4.2-7伺服電動機示意圖第二十頁，共六十五頁，2022年，8月28日微分環節——微分環節有理想微分、一階微分與二階微分三種。圖4.2-8理想微分環節的方框圖理想（純）微分環節——方框圖如圖4.2-8所示，微分方程為（t≥0）傳遞函數為（4.2-24）例4.2-6若測速發電機的輸出電壓為u(t),轉軸的轉角為θ(t)，則測速發電機的微分方程為u(t)=Ktω(t)，其中ω(t)=為所測轉軸的角速度，試求其傳遞函數。圖4.2-8理想微分環節的方框圖第二十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日解：在零初始狀態下對已知測速發電機的微分方程兩邊求拉氏變換，可得U(s)=KtΩ(s)=KtsΘ(s)（4.2-25）有兩種傳遞函數為（4.2-26）與（4.2-27）測速發電機兩種傳遞函數的方框圖如圖4.2-9a.和b.所示。a.輸入為角速度

b.輸入為角位移圖4.2-9測速發電機兩種傳遞函數的方框圖第二十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日一階微分環節——方框圖如圖4.2-10所示。微分方程為（4.2-28）式中t≥0，τ為時間常數。傳遞函數為（4.2-29）二階微分環節——方框圖如圖4.2-11所示，微分方程為（4.2-30）傳遞函數為（4.2-31）

圖4.2-10一階微分環節的方框圖圖4.2-11二階微分環節的方框圖第二十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日振蕩環節——方框圖如圖4.2-12所示，微分方程為（4.2-32）式中：t≥0，T為時間常數，為阻尼比。傳遞函數為（4.2-33）或為（4.2-34）式中：

為振蕩環節的固有振蕩角頻率。振蕩環節的兩個極點為，當時，單位階躍響應為（t≥0）圖4.2-12二階振蕩環節的方框圖第二十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日延遲環節——方框圖如圖4.2-13所示，微分方程形為傳遞函數為

（4.2-35）3）建立系統微分方程的基本方法

（1）由微分方程組建立系統微分方程一般線性系統微分方程的建立，大致分為以下三步：①確定輸入、輸出與中間變量：根據實際工作情況，確定元件的輸入量（給定量和擾動量）、輸出量（被控量，也稱為系統響應）與中間變量（輸入、輸出變量以外的變量）；②由系統各部分的動態關系建立微分方程組；③消除中間變量，得到系統的微分方程。圖4.2-13二階微分環節的方框圖第二十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日第二十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日第二十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日例4.2-9試求出圖4.2-16所示他勵直流電動機電樞電壓與電機轉速之間的微分方程。解：圖4.2-16中R

a為電樞電阻；La為電樞電感；Mm為電動機電磁轉矩；ML為電動機轉軸上的負載轉矩；Mo

為擾動輸入的負載轉矩；f1為電動機轉軸上的粘性摩擦系數；f2為電動機負載轉軸上的粘性摩擦系數；J1為電動機轉子的轉動慣量；J2為負載轉軸上的轉動慣量；1/i=Z1/Z2

為變速比。·圖4.2-16他勵直流電動機拖動原理圖第二十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日第二十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日（2）由功能方框圖建立系統微分方程由功能方框圖建立控制系統的微分方程，一般可分為以下三步：·首先由系統原理圖畫出系統的功能方框圖，明確輸入、輸出變量與中間變量；·再分別列寫系統各功能方框的微分方程；·最后消去中間變量，得到總輸出量與輸入量之間的系統微分方程。在列寫系統各功能方框的微分方程時，要注意信號傳送的單向性——前一個方框的輸出是后一個方框的輸入；要按信號傳送順序從左到右列寫，且左出=右入、“上式出”為“下式入”。第三十頁，共六十五頁，2022年，8月28日例4.2-10圖4.2-17為閉環直流調速控制系統原理圖，試寫出該控制系統的微分方程。解：首先由原理圖畫系統功能方框圖如圖4.2-18所示（未考慮負載擾動），并確定輸入為給定電壓Ug、輸出為電動機轉速n

，中間變量為Uf、Ud與Uk

。圖4.2-17閉環直流調速控制系統原理圖第三十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日再分別列寫系統各功能方框的微分方程。由圖4.2-18有：·比較放大：由I1+I2-I3=0有

R

01=R

02時得（4.2-41）其中K1=R12/R01為放大器的反饋放大系數；·可控整流放大：Ud=KsUk

（4.2-42）其中Ks為可控整流放大的電壓放大系數。·直流電動機：在不計電樞電阻、電感與負載擾動時，根據例4.2-9求出的直流電動機微分方程式（4.2-39）可得：（4.2-43）圖4.2-18閉環直流調速控制系統的功能方框圖第三十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日反饋環節（測速發電機）：由測速發電機輸出電壓U

f與轉速n

成正比(見例4.2-6)，有（Ks

f為比例系數）（4.2-44）最后消去中間變量Uf、Ud

與Uk，可得到系統的微分方程：

（4.2-46）當系統穩定時，閉環系統的靜態方程式為（4.2-47）第三十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日4.2.2

方框圖的等效變換1）控制系統的方框圖表示

（1）組成方框圖的基本單元一般的，控制系統的方框圖由信號線、比較點（綜合點）、引出點（測量點）、方框（環節）四種基本單元組成，如圖4.2-19所示。圖4.2-19組成方框圖的基本單元第三十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日·信號線：帶箭頭的直線，線旁標記為傳遞的信號，箭頭為傳遞方向，如圖4.2-19a.所示；

·比較點（綜合點、和點）：對兩個以上信號進行加減運算，“+”號表示相加，“-”號表示相減，如圖4.2-19b.所示；

·引出點（測量點、分點）：表示信號引出或測量的位置，從同一個引出點引出的信號完全相同，如圖4.2-19c.所示；

·方框（環節、子系統）：方框表示信號的入、出動態關系（元部件、子系統或系統的傳遞函數），方框的輸出信號為輸入信號與傳遞函數的乘積，如圖4.2-19d.所示。（2）控制系統方框圖的繪制在建立控制系統的功能方框圖的基礎上，對每個功能方框的入、出動態關系式明確后，即可通過拉氏變換得到每個功能方框的傳遞函數，用每個功能方框的傳遞函數取代原功能方框，功能方框圖就變成了控制系統的動態結構圖（方框圖）。第三十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日例4.2-11試由圖4.2-17閉環直流調速控制系統的原理圖，畫出系統的動態結構圖。解：·首先由原理圖畫系統功能方框圖如圖4.2-18，利用例4.2-10的有關結果，即比較放大：；可控整流放大：Ud/

Uk=Ks；直流電動機：；反饋環節（測速發電機）：·再分別求拉氏變換（零初始條件下），得到每個功能方框的傳遞函數比較放大：；可控整流放大：；直流電動機：；

反饋環節（測速發電機）：最后用每個方框的傳遞函數取代原功能方框，即得系統動態結構圖如圖4.2-20所示。第三十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日由系統動態結構圖，易得閉環直流調速控制系統的傳遞函數為

Ф(s)=令Kg

=KsK1、Kk

=KsfKsK1

/Ce

得Ф(s)=，其中。等效變換應遵循的原則是：變換前后信號傳遞的數學關系不能改變。圖4.2-20閉環直流調速控制系統的動態結構圖第三十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日（3）方框圖等效變換的三條基本法則①串聯相乘：圖4.2-21表示由n個子系統串聯組成的復合系統。

（4.2-48）②并聯相加：圖4.2-22表示由n個子系統并聯組成的復合系統。復合系統的輸入即各子系統的輸入，而復合系統的輸出則為各子系統輸出的代數和，即

(4.2-49)

圖4.2-21n個子系統的串聯第三十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日③回路吸收：反饋回路一般如圖4.2-23a.所示。由4.2-23a.有對以上(1)、(2)、(3)式消去中間變量E

(s)、

B

(s)可得閉環傳遞函數為

(4.2-50)即：反饋回路的方框圖可吸收為圖4.2-23b.的形式（負號對應正反饋，正號對應負反饋）。

圖4.2-22n個子系統并聯

圖4.2-23一般反饋回路第三十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日（4）分、和點的等效移動①和點的前移：和點從某個方框的輸出端移到輸入端即和點的前移，如圖4.2-24所示。②和點的后移：和點的后移與前移是可逆的，類似從圖4.2-24b.變換成圖4.2-24

a.，此處不再重復。③和點之間的移動：圖4.2-25給出了兩個相鄰和點相互交換移動的等效變換。

a.原方框圖b.

和點的前移圖4.2-24和點的前移第四十頁，共六十五頁，2022年，8月28日④分點的前移：分點從某個方框的輸出端移到輸入端即分點的前移，如圖4.2-26所示。⑤分點的后移：分點的后移與分點的前移是可逆的，即由圖4.2-26b.變換成

a.，此處不再重復。

a.原方框圖b.

兩個相鄰和點交換移動c.

兩個相鄰和點合并圖4.2-25和點之間的移動a.原方框圖b.

分點的前移圖4.2-26分點的前移第四十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日⑥分、和點的易位：由于分、和點易位會增加系統的分、和點數目，使問題更加復雜，除非必需，一般不采用這種變換。圖4.2-27給出了分、和點易位的等效變換，以備必需。（5）應用舉例例4.2-12應用方框圖等效變換方法求取圖4.2-28的系統傳遞函數。a.原方框圖b.

分、和點易位圖4.2-27分、和點的易位圖4.2-28例4.2-12的系統方框圖第四十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日解：由題，按照先串、并，后吸收，依次由內向外的變換過程如圖4.2-29所示圖4.2-29例4.2-12的等效變換過程第四十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日

4.2.3

信號流圖與Mason公式1）

信號流圖系統的信號流圖由節點和有向線段組成，是系統結構圖的一種簡化表示形式，具有與結構圖相同的等效化簡法則。在信號流圖中，用節點來表示信號（通常用小圓圈表示），用有向線段來表示信號的傳輸方向和傳輸關系。由于節點變量的設置是任意的，因此一個系統的信號流圖并不是唯一的，可以有多種畫法。

（1）信號流圖的表示與傳輸規則：信號流圖的表示與傳輸規則如圖4.2-32所示。第四十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日圖4.2-32信號流圖的表示與傳輸規則第四十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日（2）信號流圖的常用術語·源節點（源點）：只有輸出支路的輸入節點，表示整個系統的輸入變量（圖4.2-33的x1）。·匯節點（匯點）：只有輸入支路的輸出節點，表示整個系統的輸出變量（圖4.2-33的x6）。混合節點：既有輸入支路又有輸出支路的節點，表示系統內部的中間變量。圖4.2-33中的x2、x3、x4、x

5都是混合節點，混合節點具有“先入后出”或“先和后分”的特點。·前向通道（前向通路）：信號從輸入節點到輸出節點的所有傳遞通路，每個節點在一條通道中最多只能被通過一次。在圖4.2-33中，從源點x1

到匯點x

2

共有兩條前向通道，分別為x

1→x

2→x

3

→x

4

→x

5

→x

6

和x

1→x

2→x

5

→x

6

。·環路（回路）：如果通道的起點和終點為同一個點，并且與途經的其余節點只相遇一次，則稱該通路為環路或回路。互不接觸環路：無公共節點或支路的環路。前向通道增益（通道增益）：前向通道途經各支路傳輸增益(含符號)的乘積，常用p

k

表示。環路增益：環路途經各支路傳輸增益（含符號）的乘積，通常用Li

表示。圖4.2-33系統的信號流圖表示第四十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日2）由方框圖→信號流圖

（1）信號流圖與方框圖的對應關系信號流圖與方框圖的對應關系如圖4.2-34所示。（2）由方框圖→信號流圖利用信號流圖與方框圖的對應關系，可直接由系統的方框圖畫出系統的信號流圖。圖4.2-34信號流圖與方框圖的對應關系第四十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日3）Mason公式及其應用利用Mason公式，可以由信號流圖求出系統的傳輸函數Ф(s)。

（1）Mason公式：

Ф(s)=(4.2-52)式中，(4.2-53)

為系統信號流圖的特征式；表示信號流圖中所有回路的傳輸函數之和；表示信號流圖中所有兩個互不接觸回路的回路傳輸函數的乘積之和；表示所有三個互不接觸回路的回路傳輸函數的乘積之和；p

k表示第k條前向通道的傳輸函數，共m條（m≥1）；是中除去所有與第k條前向通道相接觸的回路所在的項以后的余式。第四十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日（2）Mason公式的應用例4.2-16試求出圖4.2-36所示系統的傳遞函數(混合節點為“先和后分”)。解：由圖可知，此系統信號流圖共有兩條前向通道，即p1=abcde,p2=kde；共有六個回路，回路增益分別為L1=-af、L

2=-bg、L

3=-ch、L

4=-di、L

5=-ej、L

6=-khgf；共有七對兩不接觸回路，即L1

L3、L1

L4、L1

L5、L2

L4、L2L5、L3

L5、L5

L6；只有一組三不接觸回路，即L1

L3

L5；且所有回路均前向通道p1有接觸，使Δ1=1；圖4.2-36例4.2-16系統的信號流圖第四十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日但回路L2與前向通道p

2沒有接觸，使Δ2=1-L2=1+bg；可得

Δ=1-L1-L2-L3-L4-L5-L6+L1

L3+L1

L4+L1

L5+L2

L4+

+L2

L5+L3

L5+L5

L6-L1

L3

L5即Δ=1+af+bg+ch+ch+ej+khgf

+

afch+afdi+afej+

+bgdi+bgej+chej

+ejkhgf+afchej由Mason公式有Ф(s)=為所求。第五十頁，共六十五頁，2022年，8月28日4.3系統的傳遞函數（系統函數）4.3.1系統的開環傳遞函數在圖4.3-1中，如果斷開H(s)輸出端與和點的連接，則稱前向通路與反饋通路的傳遞函數的乘積G1(s)G2(s)H(s)為系統的開環傳遞函數，即：開環傳遞函數=B(s)/E(s)。由圖4.3-1及回路吸收法則可知：當干擾N(s)不作用時，

Ф(s)=其中Ф(s)的分母為：（4.3-1）式（4.3-1）稱為系統的閉環特征式。

圖4.3-1典型閉環控制系統的方框圖

第五十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日4.3.2系統的閉環傳遞函數1）輸入信號作用下系統的閉環傳遞函數在圖4.3-1中，當干擾N(s)不作用時，圖4.3-1可化為圖4.3-2a.。由圖4.3-2a.可得：（4.3-2）

為輸入信號作用下系統輸出對輸入的閉環傳遞函數。a.輸入信號作用下的系統方框圖

b.

干擾信號作用下的系統方框圖圖4.3-2系統輸入信號作用點的改變第五十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日2）干擾信號作用下系統的閉環傳遞函數在圖4.3-1中，當輸入F(s)不作用時，圖4.3-1可化為圖4.3-2b.。由圖4.3-2b.可得:

（4.3-3）為干擾信號作用下系統輸出對干擾的閉環傳遞函數。３）系統的總輸出利用線性系統的疊加原理，由式（4.3-2）和式（4.3-3）可得到系統總輸出為各外作用下輸出的總和，即

（4.3-4）第五十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日4.3.3系統的誤差傳遞函數在對系統進行分析時，不僅要研究輸入和干擾信號對輸出信號的影響，還要研究控制過程中輸入和干擾信號對誤差的影響，研究誤差信號的變化規律。穩態誤差的大小直接反映了系統的控制精度。在圖4.3-1中，誤差E(s)=R(s)-B(s)（4.3-5）1）輸入信號作用下系統的誤差傳遞函數在圖4.3-1中，當干擾N(s)不作用時，圖4.3-1可化為圖4.3-3a.。a.輸入信號作用下的系統方框圖

b.

干擾信號作用下的系統方框圖圖4.3-3系統輸出信號作用點的改變第五十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日由圖4.3-2a.可得：（4.3-6）

為輸入信號作用下系統誤差對輸入的傳遞函數。2）干擾信號作用下系統的誤差傳遞函數在圖4.3-1中，當輸入F(s)不作用時，圖4.3-1可化為圖4.3-3b.(由于圖4.3-1中的負反饋符號不宜越過和點，故保留在H(s)方框內)。由圖4.3-3b.可得ФEN(s)（4.3-7）

ФEN(s)為干擾信號作用下系統誤差對干擾的傳遞函數。3）系統的總誤差利用線性系統的疊加原理有系統的總誤差E(s)=ФEF(s)F(s)+ФEN(s)N(s)

（4.3-8）第五十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日4.4

系統數學模型的試驗測定

4.4.1

試驗測定數學模型的主要方法由于用試驗測定法建立的系統模型是通過對系統輸入、輸出試驗數據進行數學處理后得到的，所以試驗測定法一般只用于建立被測對象的輸入輸出模型，這種方法只對被測對象或系統的外部特性進行測試和描述，而不考慮其內部的復雜結構。為了獲得被測對象或系統的動態特性，必須對被研究的過程給以激勵，使之處于動態響應狀態。根據所加激勵信號和分析方法的不同，試驗測定法可以分為以下幾種：1）時域測定法時域測定法是在被測對象或系統的輸入端加入階躍擾動信號或者脈沖信號，在輸出端測量輸出隨時間變化的階躍響應曲線或者脈沖響應曲線，然后對輸出響應的曲線進行分析，從而使被研究對象或系統的傳遞函數得到確定。這種方法采用的測試儀器簡單，測試工作量小，但測量精度不高。第五十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日2）頻域測定法頻域測定法是在被測對象或系統的輸入端加入不同頻率的等幅正弦波，通過對輸入與輸出信號的幅值比和相位差的測量