第21講

排列組合、二項式定理(理)精選ppt1.加法原理與乘法原理(1)分類加法計數原理完成一件事有兩類不同的方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.(2)分步乘法計數原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.(3)分類加法和分步乘法計數原理,區別在于:分類加法計數原理針對“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數原理針對“分步”問題,各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了才算完成這件事.精選ppt2.排列與組合(1)排列與組合的概念(2)排列數與組合數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數.從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.精選ppt(3)排列數、組合數的公式及性質

精選ppt3.二項式定理(1)二項式定理精選ppt(2)二項式系數的性質

(3)各二項式系數和

精選ppt題型一

加法與乘法原理【例1】

(1)從甲地到乙地每天有直達汽車4班,從甲到丙地,每天有5個班車,從丙地到乙地每天有3個班車,則從甲地到乙地不同的乘車方法有(

)A.12種

B.19種C.32種

D.60種(2)如圖,用6種不同的顏色分別給圖中A,B,C,D四塊區域涂色,若相鄰區域不能涂同一種顏色,則不同的涂法共有(

)A.400種 B.460種C.480種 D.496種精選ppt【解析】

(1)分兩類:一類是直接從甲到乙,有n1=4種方法;另一類是從甲經丙再到乙,可分為兩步,有n2=5×3=15種方法.由分類計數原理可得:從甲到乙的不同乘車方法n=n1+n2=4+15=19.故選B.(2)完成此事可能使用4種顏色,也可能使用3種顏色.當使用4種顏色時:從A開始,有6種方法,B有5種,C有4種,D有3種,完成此事共有6×5×4×3=360種方法;當使用3種顏色時,A,D使用同一種顏色,從A,D開始,有6種方法,B有5種,C有4種,完成此事共有6×5×4=120種方法.由分類加法計數原理可知:不同的涂法有360+120=480(種).【答案】(1)B

(2)C精選ppt【規律方法】(1)注意在綜合應用兩個原理解決問題時,一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數原理;注意對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題,可恰當地列出示意圖或列出表格,使問題形象化、直觀化.(2)解決涂色問題,可按顏色的種數分類,也可按不同的區域分步完成.第(2)題中,相鄰區域不同色,是按區域1與3是否同色分類處理.精選ppt變式訓練一1.(2015·四川卷)用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,其中比40000大的偶數共有(

)A.144個 B.120個

C.96個 D.72個2.如果一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1<a2,且a2>a3,則稱這樣的三位數為凸數(如120,343,275等),那么所有凸數的個數為(

)A.240 B.204

C.729

D.920B【解析】

若a2=2,則百位數字只能選1,個位數字可選1或0.“凸數”為120與121,共2個.若a2=3,則“凸數”有2×3=6(個).若a2=4,滿足條件的“凸數”有3×4=12(個),…,若a2=9,滿足條件的“凸數”有8×9=72(個).∴所有凸數有2+6+12+20+30+42+56+72=240(個).A精選ppt題型二

排列與組合【例2—1】

3名女生和5名男生排成一排.(1)如果女生全排在一起,有多少種不同排法?(2)如果女生都不相鄰,有多少種排法?(3)如果女生不站兩端,有多少種排法?(4)其中甲必須排在乙前面(可不相鄰),有多少種排法?(5)其中甲不站左端,乙不站右端,有多少種排法?【解析】(1)(捆綁法)由于女生排在一起,可把她們看成一個整體,這樣同五個男生合在精選ppt精選ppt(5)甲、乙為特殊元素,左、右兩邊為特殊位置.

精選ppt【例2—2】

某市工商局對35種商品進行抽樣檢查,已知其中有15種假貨.現從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內,不同的取法有多少種?(2)其中某一種假貨不能在內,不同的取法有多少種?(3)至少有2種假貨在內,不同的取法有多少種?(4)至多有2種假貨在內,不同的取法有多少種?100+455=2555(種).∴至少有2種假貨在內的不同的取法有2555種.精選ppt∴至多有2種假貨在內的不同的取法有6090種.精選ppt【例2—3】

4個不同的球,4個不同的盒子,把球全部放入盒內.(1)恰有1個盒不放球,共有幾種放法?(2)恰有1個盒內有2個球,共有幾種放法?(3)恰有2個盒不放球,共有幾種放法?【解析】

(1)為保證“恰有1個盒不放球”,先從4個盒子中任意取出去一個,問題轉化為“4個球,3個盒子,每個盒子都要放入球,共有幾種放法?”即把4個球分成2,1,1的三組,然后再從3個盒子中選1個放2個球,其余2個球放在另外2個盒子內,由分步乘法計數原理,共(2)“恰有1個盒內有2個球”,即另外3個盒子放2個球,每個盒子至多放1個球,也即另外3個盒子中恰有一個空盒,因此,“恰有1個盒內有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事,所以共有144種放法.精選ppt精選ppt【規律方法】(1)求解有限制條件排列問題的主要方法精選ppt(2)解決有限制條件排列問題的策略①根據特殊元素(位置)優先安排進行分步,即先安排特殊元素或特殊位置.②根據特殊元素當選數量或特殊位置由誰來占進行分類.(3)含有附加條件的組合問題的解法①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:若“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;若“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.②“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型:解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解.用直接法或間接法都可以求解,通常用直接法分類復雜時,用間接法求解.(4)解排列、組合問題要遵循的兩個原則①按元素(或位置)的性質進行分類;②按事情發生的過程進行分步.具體地說,解排列、組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).精選ppt變式訓練二1.6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數為(

)A.144 B.120

C.72 D.242.旅游體驗師小明受某網站邀請,決定對甲、乙、丙、丁這四個景區進行體驗式旅游,若不能最先去甲景區旅游,不能最后去乙景區和丁景區旅游,則小李可選的旅游路線數為(

)A.24 B.18

C.16 D.10D【解析】

先把3把椅子隔開擺好,它們之間和兩端共有4個位置,再把3人帶椅子插放在4個位置,D精選ppt3.某單位擬安排6位員工在今年6月9日至11日值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位員工中的甲不值9日,乙不值11日,則不同的安排方法共有(

)A.30種

B.36種 C.42種

D.48種C所以總共有24+12+6=42(種)安排方法.

精選ppt題型三

二項式

(1)求n;(2)求含x2的項的系數;(3)求展開式中所有的有理項.精選ppt精選ppt【例3—2】

在(2x-3y)10的展開式中,求:(1)二項式系數的和;(2)各項系數的和;(3)奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和;(4)奇數項系數和與偶數項系數和;(5)x的奇次項系數和與x的偶次項系數和.【解析】

設(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)各項系數和為a0+a1+…+a10,奇數項系數和為a0+a2+…+a10,偶數項系數和為a1+a3+a5+…+a9,x的奇次項系數和為a1+a3+a5+…+a9,x的偶次項系數和為a0+a2+a4+…+a10.精選ppt由于(*)是恒等式,故可用“賦值法”求出相關的系數和.(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1,①令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,精選ppt精選ppt【規律方法】(1)與二項展開式有關問題的解題策略①求展開式中的第n項,可依據二項式的通項直接求出第n項.②求展開式中的特定項,可依據條件寫出第r+1項,再由特定項的特點求出r值即可.③已知展開式的某項,求特定項的系數,可由某項得出參數項,再由通項寫出第r+1項,由特定項得出r值,最后求出其參數.(2)賦值法的應用①形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展開式的各項系數之和,常用賦值法,只需令x=1即可.②對形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展開式各項系數之和,只需令x=y=1即可.③若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項系數之和為f(1),奇數項系數之和精選ppt變式訓練三

A.-3 B.-2C.2 D.3D【解析】

能夠使其展開式中出現常數項,由多項式乘法的定義可知需滿足:第一個因式

精選ppt-120精選ppt3.(2019·汕頭質檢)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,則實數m的值為

.

1或-3

【解析】

令x=0,則(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,令x=-2,則m9=a0-a1+a2-a3+…-a9,又(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a9)(a0-a1+a2-a3+…+a8-a9)=39,∴(2+m)9·m9=39,∴m(2+m)=3,∴m=-3或m=1.精選ppt式系數的最大值為b,若13a=7b,則m=(

)A.5 B.6 C.7 D.8B精選ppt1.若a∈{1,2,3,5},b∈{1,2,3,5},則方程y=x表示的不同直線條數為(

)A.11 B.12 C.13 D.14A.-20 B.-5 C.5

D.20CA精選ppt3.將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里,使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號,則不同的放球方法有(

)A.10種

B.20種C.36種

D.52種A【解析】

1號盒子可以放1個或2個球,2號盒子可以放2個或3個球,

精選ppt(

)A.84 B.-252 C.252 D.-84A精選ppt5.由1,2,3,4,5組成沒有重復數字且2與5不相鄰的四位數(含2和5)的個數是(

)A.120 B.36

C.60 D.486.旅游體驗師小李受某旅游網站的邀約,決定對甲、乙、丙、丁這四個景區進行體驗式旅游,若甲景區不能最先旅游,乙景區和丁景區不能最后旅游,則小李旅游的方法數為(

)A.24 B.18 C.16 D.10BD精選ppt7.(2017·合肥質檢)已知(ax+b)6的展開式中x4項的系數與x5項的系數分別為135與-18,則(ax+b)6的展開式中所有項系數之和為(

)A.-1 B.1 C.32 D.64D解得a+b=±2,故(ax+b)6的展開式中所有項的系數之和為(a+b)6=64,選D.精選ppt8.將標號為1,2,3,4的四個籃球分給三位小朋友,每位小朋友至少分到一個籃球,且標號1,2的兩個籃球不能分給同一個小朋友,則不同的分法種數為(

)A.15 B.20 C.30 D.42C9.6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數為

.

24

【解析】

先排三個空椅子,形成4個間隔,然后插入3個坐人的椅子,

10.(2017·南昌模擬)在多項式(1+2x)6(1+y)5的展開式中,xy