第五講期權定價理論I：

二叉樹模型1本講內容一、二叉樹模型（binominalTree）（一）單步二叉樹模型和無套利原則（二）風險中性定價（三）兩步二叉樹模型（四）看跌期權的情形（五）美式期權的情形（六）用u和d來匹配波動性（七）Δ（八）一些主要期權的定價2學習目標理解單步二叉樹模型中無風險資產組合的含義會計算單步二叉樹模型中期權的價格會計算兩步二叉樹模型中期權的價格了解風險中性定價、無套利原則、無風險利率和資產回報率之間的關系會計算二叉樹模型美式期權的價格3一、二叉樹模型（一）單步二叉樹模型和無套利原則一個例子考慮一支股票，當前價格為20元。現在知道3個月后股價要么是22元，要么是18元。一份歐式看漲期權為在3個月內以21元價格買入該股票。請問：3個月后，兩種情況下，該期權的價值幾何？期權定價的假設：不存在套利機會45考慮一個資產組合，股票+股票期權，到3個月期滿時，如果該資產組合的價值不存在不確定性，那么，它的收益等于無風險利率。由此，我們可以：1）計算設計資產組合的成本以及期權價格；2）設計無風險資產組合例1：考慮一個資產組合，持有Δ份股票以及賣空一份看漲期權，其中股票的價格現價為20元，3個月后，股票價格有兩種可能，22或者18元。看漲期權約定3個月到期以后以21元價格買入股票。在無風險和無套利原則下，我們可以計算：1）使資產組合無風險的Δ值；2）期權的價格。6問題1）的求解：Δ值使資產組合無風險意味著什么？高價出現時資產組合的價值=低價出現時資產組合的價值高價出現時，資產組合的價值：22Δ-1低價出現時，資產組合的價值：18Δ兩者相等時，資產組合無風險，即Δ=0.25因此，無風險資產組合為：持有0.25份股票+賣空1份看漲期權此時，兩種情況下，資產組合的價值為多少？7問題2）的求解：無風險資產組合到期價值的折現值=資產組合的期初價值在不存在套利的情況下，無風險資產組合的回報是什么？無風險利率！假定連續無風險年利率為12%，前述資產組合的當前價值是多少？4.5e-0.12×3/12=4.367假設看漲期權的價格為f，那么，資產組合的當前價值為多少？20×0.25-f=5-f根據前述條件可知，f=0.633。思考：如果期權價格大于或者小于0.633，結果會怎樣？f>0.633,構建這個資產組合的成本低于4.367，因而可以獲取超額收益；f<0.633,賣空資產組合，把剩余現金存入銀行，即可獲得超額回報。82.一般化情形考慮一個資產組合，期初價格為S0的股票多頭和一份價格為f的看漲期權空頭。期權持續時間為T，到期后，股票價格可以是S0u,其中u>1，此時期權價值為fu；或者是S0d，其中d<1，此時期權價值為fd。根據前面的分析，使上述資產組合無風險的條件為：S0uΔ-fu=S0dΔ-fd由此得到資產組合中股票多頭的規模：Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d)9該股票期權的價格由如下條件獲得：(S0uΔ-fu)e–rT

=S0Δ-f把f解出，并把Δ值代入，可得：f=e-rT[pfu+(1-p)fd]其中，p=(erT-d)/(u-d)。期權價格與Δ和S0無關。如果股票價格如單步二叉樹模型描述的那樣，期權價格可以按照上式來計算，唯一假設是無套利機會。例2：給定如下參數，u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,fu=1,fd=0。計算f。10（二）風險中性定價（Risk-neutralvaluation）對于f=e-rT[pfu+(1-p)fd]中的p，我們很自然地將其與股價上漲概率聯系在一起。因此，pfu+(1-p)fd相當于期權的期望收益。期權的價格也就是對期權期望收益按照無風險利率進行貼現。我們再看看股票的期望收益：E(ST)=pS0u+(1-p)S0d=pS0(u-d)+S0d把p=(erT-d)/(u-d)代入上式可得：E(ST)=S0erT即股票價格以無風險利率的速度上漲。風險中性的世界里，人人對風險持相同的態度。所有證券資產的期望收益為無風險利率。風險中性定價是講，在期權定價時，假定世界是風險中性的是完全無害的（impunity）。11風險中性定價與無套利原則下得到的期權估價是一樣的。例3：考慮一支股票，當前價格為20元。現在知道3個月后股價要么是22元，要么是18元。一份歐式看漲期權為在3個月內以21元價格買入該股票。無風險收益率12%。設p為股價上漲至22元的概率，在一個風險中性世界里，股票的預期收益率等于無風險利率，即22p+18(1-p)=20e0.12*3/12p=0.6523期權的當期價格為：f=[1*0.6523+0*(1-0.6523)]*e-0.12*3/12=0.633.該結果與無套利條件下的結果一樣，即風險中性定價與無套利原則給出相同的期權定價。12在剛才的例子里，價格上漲概率為0.6523，此時，期權和股價的回報率都一樣，為無風險利率。但是現實世界是怎樣的呢？如果現實世界，股票的回報率不等于12%，比如16%，此時，可以計算p*=0.7041，即期權的期望收益。此時，我們不知道貼現率為多少。因此，持有看漲期權的風險比持有股票大，其預期收益應該大于16%。但是，大多少？風險中性定價的方便之處在于，我們可以知道，在風險中性的世界里，所有資產的期望回報等于無風險利率。13（三）兩步二叉樹模型例4：考慮如下頁圖11.3所示兩步二叉樹模型，股票價格初始價格為20元，股票價格在每步要么上漲10%，要么下跌10%；每步為3個月期長，無風險年收益率為12%。看漲期權執行價格為21元。請計算看漲期權在期初的價格。由圖可知，第2步結束時，如果價格為D節點，期權價值為24.2-21=3.2；否則，期權價值為0。由此可知：u=1.1,d=0.9,r=12%,T=0.25。可以計算：p=0.6532。由此可以進一步計算出B節點期權的價值，為：e-0.12×3/12(0.6523×3.2+0.3477×0)=2.0257進一步可以得到歐式看漲期權在節點A的價值：e-0.12×3/12(0.6523×2.0257+0.3477×0)=1.28231415兩步二叉樹模型的一般化情況：16記每步時長為Δt，那么單步二叉樹模型下的期權價格為：f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd]其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以計算出期初和第一步到期時各個節點的期權價值：fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud]fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd]把fu和fd代入f可得：f=e-2rΔt[p2fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2

fdd]因此，期權的價格為期權預期收益以無風險利率進行貼現的現值。想象一下，三步二叉樹模型下期權的定價問題。17（四）看跌期權的情形例5：考慮如下圖11.7兩年期的歐式看跌股票期權，執行價格為52元，股票的當期價格為50元，假設時期分為兩步，每步期長為1年，且每步股票價格要么上漲20%，要么下跌20%，無風險利率為5%。計算該歐式看漲期權的價格。p=(e0.05×1-0.8)/(1.2-0.8)=0.6282f=e-2×0.05×1(0.62822×0+2×0.6282×0.3718×4+0.37182×20)=4.19231819（五）美式期權情形關鍵是：比較每個節點，看看提前執行期權合約是否更好。早期節點期權的價值為以下兩者中較大的一個：1.歐式期權下的價值2.提前執行的收益例6：以前一張幻燈片中（圖11.7）的兩步二叉樹模型為例，計算美式看跌期權的價格。討論：在B節和C節點，提前執行和不提前執行時的期權價值。2021因此，在期初節點A，美式看跌期權不提前執行的價值為：f=e-0.05×1(0.6282×1.4147+0.3718×12)=5.0894提前執行的收益為2，因此，不應執行。故節點A美式看跌期權的價格為5.0894。在相同條件下，美式看跌期權的價格要高于歐式看跌期權。思考：利用第一節例子，計算美式看漲期權的價格。22（六）用u和d來匹配波動性u和d與波動率的關系假定股票價格的波動率為，sqrt(Δt)為股價在時間區間Δt的標準差。我們有：Var(ST)=p*u2+(1-p*

)d2+[p*u+(1-p*

)d]2=2Δt其中，p*為真實世界股價上漲的概率。把p*=(eμΔt-d)/(u-d)代入，并求解u和d，可得：u=e

sqrt(Δt)d=e

-sqrt(Δt)那么，在一個風險中性世界里，類似地可以得到：pu2+(1-p)d2+[pu+(1-p)d]2=[erΔt(u+d)-ud-e2rΔt]

把上面的u和d代入可知，[erΔt(u+d)-ud-e2rΔt]=2Δt因此，盡管現實世界和風險中性世界的期望收益不同，但是其波動率不變。232.知道股價波動性時的期權定價例7：考慮一個兩步二叉樹美式看跌期權，如圖11.8所示。股價為50元，執行價格為52元，無風險收益率為5%，期權的期限為2年，分為兩步，每步時長為1年。波動率為30%。請為該期權定價。提示：先求出u，d，a；再計算p；然后定價f（7.43）。*下堂課現場作業。24（七）Δ回憶：Δ是什么？Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d)什么意思？Δ為期權價格變化與標的股票價格的變化之比；Δ為我們針對每個期權空頭而持有的股票數量，目的是構建一個無風險資產組合。Δ對沖（deltahedging）通常是指構建一個無風險對沖。看漲期權的Δ為正，看跌期權的Δ為負。計算圖11.1和11.7中的Δ。25運用期權和潛在標的資產來維持一個無風險對沖，需要周期性地調整持有的股票數量。（八）其它資產的二叉樹模型期權定價連續分紅股票考慮一個股票，連續分紅收益率為q，風險中性世界的無風險收益率為r，那么我們有：E(ST)=pS0u+(1-p)S0d=S0e(r-q)Δt因此，p=(e(r-q)Δt-d)/(u-d)262.股票指數期權定價例8：考慮一個6個月的歐式看漲股指期權。該股票指數當前水平為810，看漲期權執行價格是800，無風險利率為5%，波動率為20%，分紅收益率為2%。請利用兩步二叉樹模型估計該看漲股指期權的價格（53.39）。3.外匯期權定價外匯可以看成是按照國外無風險利率提供收益的資產，因此，以外匯為標的資產的期權類似于具有分紅收益的股票期權的情形。a=e(r-rf)Δt例9：澳元的當前匯率為0.61美元/澳元，該匯率的波動率為12%。澳大利亞和美國的無風險收益率分別為7%和5%。請利用三步二叉樹模型計算3個月期執行價格為0.6的美式看漲期權的價格（0.019）。274.期貨期權的定價在風險中性世界里，期貨的價格增長率為0。假設期貨的期初價格為F0，時間長度為Δt的