自動控制數學模型第一頁，共八十九頁，2022年，8月28日拉氏變換的引入拉普拉斯變換簡稱拉氏變換，是一種函數的變換，經變換后，可將微分方程變換成代數方程式，且在變換的同時引入初始條件，避免了經典解法中求積分常數的麻煩，拉氏變換可使微分方程求解的過程大大簡化。在經典自動控制理論中，自動控制系統的數學模型是建立在傳遞函數的基礎上，而傳遞函數又是建立在拉氏變換的基礎上，故拉氏變換是經典控制理論的數學基礎。第二頁，共八十九頁，2022年，8月28日一、拉氏變換的概念說明：由于是一個積分式，t

將在新函數中消失。故F(s)只取決于s，它是復變數s的函數。拉氏變換將原來的實變量函數f(t)轉化為復變量函數F(s)。通常稱f(t)為原函數，F(s)為象函數。存在一一對應關系。

定義：將實變量t的函數f(t)，乘以指數函數e-st（其中，s＝σ＋jω，是一個復變函數），再在0到∞對時間t進行積分，得到一個新的函數F(s)。那么，F(s)稱為f(t)的拉氏變換式，用符號L[f(t)]表示。即：第三頁，共八十九頁，2022年，8月28日3、微分定理在零初始條件下，即：則：二、拉氏變換定理1、疊加定理：兩個函數代數和的拉氏變換等于兩個函數拉氏變換的代數和。即：2、比例定理：K倍原函數的拉氏變換等于原函數拉氏變換的K倍，即：第四頁，共八十九頁，2022年，8月28日5、延遲定理

當原函數f（t）延遲τ時間，成為f(t-τ)時，其拉氏式為：說明：在零初始條件下，原函數的n重積分的拉氏式等于其象函數除以。4、積分定理在零初始條件下，即:則：第五頁，共八十九頁，2022年，8月28日6、終值定理說明：原函數在t→∞時的數值（穩態值），可以通過將象函數

F(s)乘以s后，再求s→0的極限值來求得。7、位移定理若L[f(t)]=F(s)，則對任一常數a，有第六頁，共八十九頁，2022年，8月28日三、常用函數拉氏變換對照表

序號原函數象函數單位脈沖１單位階躍單位斜坡１23456第七頁，共八十九頁，2022年，8月28日78910110<ξ<112第八頁，共八十九頁，2022年，8月28日1314150<ξ<10<ξ<1ξ>1第九頁，共八十九頁，2022年，8月28日例1、已知f(t)=1-2cosωt，求F(s)解：F(s)＝L[f(t)]=L[1-2cosωt]例2、求如圖所示的方波的拉氏變換。解：方波的表達式可寫為：第十頁，共八十九頁，2022年，8月28日例3、求e-atsinωt的拉氏變換解：直接運用位移定理得：同理，可求得：第十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日四、拉氏反變換（了解）

由象函數F(s)求取原函數f(t)的運算稱為拉氏反變換。求法：由定理，適當結合查表及部分分式分解法求拉氏逆變換。特殊情況：部分分式分解求拉氏反變換1.若真分式的分母中含有一次因式s－a，則進行部分分式分解后必含有第十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日2.若真分式的分母中含有k重一次因式(s－a)k，則進行部分分式分解后必含有3.若真分式的分母中含有在實數范圍內不可分解的二次因式s2+ps+q(p2－4q<0)，則進行部分分式分解后必含有第十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日舉例：求下列函數的拉氏反變換1、2、3、4、已知1）利用終值定理，求t→∞時的f(t)值。2）通過求F(s)的拉氏反變換，求t→∞時的f(t)值。第十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日第十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日終值：終值：第十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日第二章自動控制系統的數學模型本章的主干內容：傳遞函數動態結構圖動態結構圖的變換以及閉環傳遞函數的求取第十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日1.數學模型——描述系統變量之間關系的數學表達式2.建模的基本方法(1)機理建模法(解析法)——本課研究的方法(2)實驗辯識法3.控制系統數學模型的主要形式(1)微分方程(2)傳遞函數(3)動態結構圖(4)頻率特性概述第十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日第一節控制系統的微分方程

一、建立系統微分方程的一般步驟

1）確定系統的輸入和輸出變量；2）建立初始微分方程組。即根據各環節所遵循的基本物理規律，分別列寫出相應的微分方程，并構成微分方程組。3）消去中間變量，將式子標準化。將與輸入量有關的項寫在方程式等號的右邊，與輸出量有關的項寫在等號的左邊。第十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日例1、RC回路RC1i1(t)ur(t)uc(t)解：①確定輸入、輸出輸入量為電壓ur，輸出量為電壓uc②建立初始方程組，③消除中間變量i(t)，使式子標準化故RC回路的數學模型為一階常系數線性微分方程。二、常見環節和系統微分方程的建立第二十頁，共八十九頁，2022年，8月28日例2、RLC回路解：設回路電流為i(t)，則回路方程消去中間變量上式為二階常系數線性微分方程。，得：第二十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日解:阻尼器的阻尼力:例3、圖為機械位移系統整理得:故機械位移系統的數學模型是一個二階常系數線性微分方程。彈簧彈性力:第二十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日例4、直流電動機解：直流電動機各物理量間的基本關系式如下：電樞電路：電磁轉矩：動力學方程：反電動勢：消去中間變量得微分方程：此式為一個二階常系數線性微分方程。第二十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日例5、液位系統解:已知:qi0，qo0，h0分別為箱體的流量，流出量，和平衡時液面高度qi，qo，h分別為平衡時的增量設箱體的橫截面面積為A，則→液位閥門液位系統原理圖h0為定值，且qi0＝qo0，有第二十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日已知qo(t)的流量公式：若以qi(t)為輸入量，h(t)為輸出量，消去中間變量qo(t)，得系統的微分方程為：這時一個非線性微分方程。系統為非線性系統。第二十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日三、線性微分方程的求解求解基本思路和方法：線性微分方程（時域t）拉氏變換代數方程（復數域s）代數方程的解（復數域s）拉氏反變換微分方程的解（時域t）第二十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日第二十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日第三節傳遞函數、傳遞函數的概念及求取1、定義：傳遞函數G(s)：在零初始條件下，線性定常系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉式變換之比。設輸入量用R(s)表示，輸出量用C(s)表示，傳遞函數的表達式為：第二十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日例5，如圖RCL回路，試列寫網絡傳遞函數Uc(s)/Ur(s)傳遞函數：求解方法：在零初始條件下，形式上只要將微分算符換成相應的輸入與輸出的時間函數r(t)、c(t)改成象函數R(s)和C(s)，便可求出系統相應的傳遞函數。第二十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日一般，n階系統可用n階線性微分方程描述：其中，c(t)為輸出量，r(t)為輸入量；第三十頁，共八十九頁，2022年，8月28日設初始條件為零，對微分方程的一般表達式進行拉氏變換，得：故，傳遞函數的一般表達式為：其中：s=z1,z2,…zm為零點

s=s1,s2,…sn為極點第三十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日傳遞函數的性質：1）傳遞函數只適用于線性定常系統；2）傳遞函數只取決于系統的結構和參數，而與系統的輸入無關。表示系統的固有特性，是一種在復數域描述系統的數學模型。3）傳遞函數是在零初始條件下定義的，故不能反非零初始條件為零的系統的運動過程。4）傳遞函數是復變量s的有理式，分子和分母的各項系數均為實數。分母中s的最高次n是系統的階次。其中n≥m第三十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日

二、典型環節的傳遞函數及其動態響應

K1、比例環節（放大環節）(ProportionalElement)微分方程：拉氏變換：傳遞函數:系統框圖：特點：輸出量與輸入量成正比，動態與靜態關系都一樣，不失真、不延遲，又稱為“無慣性環節”或“放大環節”，只有一個參數放大系數K。K為放大倍數第三十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日運算放大器線性電位器傳動齒輪實例：圖a：由運算放大器構成的比例環節，其中，圖b：為線性電位器，其中，圖c：為傳遞齒輪，其中，，i為傳動比第三十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日2、慣性環節（IneritialElement)

微分方程：其中T為時間常數；K為比例系數。拉氏變換：傳遞函數：當時，查表，拉氏反變換，單位階躍信號作用的響應：第三十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日特點：由圖知，當輸入量發生突變時，輸出量不能突變，只能按指數規律逐漸變化，故該環節具有慣性。響應曲線如圖：第三十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日實例：a圖為運算放大器構成的慣性環節，其微分方程為：傳遞函數：

b圖為電阻、電感電路，其微分方程為：傳遞函數：慣性調節器第三十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日當時，3、積分環節(IntegratingElement)1）微分方程：2）拉氏變換：其中，T為時間常數3）傳遞函數：故單位階躍響應為：積分環節特點：輸出量與輸入量對時間的積分成正比。有滯后作用，輸出積累一定時間后，輸出將保持不變。一般改變系統的穩態性能。第三十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日右圖為運算放大器構成的積分環節，輸入與輸出量之間的關系：傳遞函數為：第三十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日4、微分環節1）理想微分環節微分方程：

傳遞函數：

故單位階躍響應為：

從響應曲線上可看出，理想微分環節的輸出與輸入量的變化速度成正比。在階躍輸入作用下的輸出響應為一理想脈沖（實際上無法實現）。第四十頁，共八十九頁，2022年，8月28日實例：近似理想微分環節的實例如圖：a圖，微分方程：傳遞函數：b圖，微分方程：傳遞函數：第四十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日輸出響應為：結論由于微分環節的輸出只能反映輸入信號的變化率，而不能反映輸入量本身的大小，故在許多場合無法單獨使用。常采用比例微分環節。圖b稱為實用微分環節。其單位階躍響應的拉氏變換為：第四十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日2）比例微分環節傳遞函數：單位階躍響應為：響應曲線如圖所示：結論：當比例微分環節的輸入量為恒值時，其輸出量與輸入量成正比；當輸入信號為變量時，輸出量中既有與輸入量成正比的量，也有反映輸入信號變換趨勢的信息。第四十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日實例：如圖為比例調節器，微分方程：其中，運算放大器構成的比例微分環節其傳函為：第四十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日5、振蕩環節(OscillatingElement)1）微分方程：2）傳遞函數

ωn=1/為振蕩環節的無阻尼自然振蕩頻率*特點：包含兩個獨立的儲能元件，當輸入量發生變化時，兩個儲能元件的能量進行交換，使輸出帶有振蕩的性質。第四十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日3）動態響應（以輸入量為單位階躍信號為例）當為振蕩環節時，單位階躍響應為：式中第四十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日減幅振蕩階躍響應曲線如圖所示：r(t)c(t)第四十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日與進行比較，得：實例：RLC串聯回路，傳遞函數如下：*第四十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日6、時滯環節（延遲環節或純滯后環節

Pure

Time

DelayElement）1）微分方程：2）傳遞函數：若將按泰勒(Tayor)級數展開得：由于τ很小，所以可只取前兩項，傳遞函數可化為：上式表明，在延遲時間很小的情況下，延遲環節可用一個小慣性環節來代替。第四十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日第四節動態結構圖一、建立動態結構圖的一般方法二、動態結構圖的等效變換與化簡第五十頁，共八十九頁，2022年，8月28日概述本章重點是系統動態結構圖的基本概念、組成、建立以及梅遜公式。動態結構圖的變換是古典控制理論的一個基本工具。動態結構圖（方框圖）：是系統數學模型的另一種形式，它可表示控制系統各變量之間的數學關系及信號的傳遞過程；也可通過等效變換原則，求出系統的傳遞函數。第五十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日一、建立動態結構圖的一般方法1、舉例，如圖RC電路，畫出系統的動態結構圖解：列出電路的初始微分方程組用方框圖表示各變量之間的關系如圖：再根據信號流向將框圖按順序連接，得系統結構圖第五十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日2、動態結構圖組成由上例可知，動態結構圖由信號線、綜合點（比較點）、方框和引出點組成。其中，信號線上的箭頭表示信號傳遞的方向；比較點表示兩個信號的代數和；方框中表明的是傳遞函數；引出點表示將同一個信號分別引出。第五十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日3、繪制動態結構圖的一般步驟如下：1）確定各元件或環節的傳遞函數；2）繪出各環節的動態方框圖，方框中標出其傳遞函數，并以箭頭和字母表明其輸入量和輸出量；3）根據信號在系統中的流向，依次將各方框圖連接起來。第五十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日例2、求圖2-26電路的動態結構圖·+。。-。+。-Ci1i2R2R1ucur解：第五十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日系統動態結構圖如圖所示：第五十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日例3、繪出圖示雙RC網絡的結構圖uiuouC2C1ic1i1R1R2i2圖2-29RC串聯電路解：第五十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日Ui(s)I1(s)U(s)

-(a)I2(s)IC1(s)I1(s)-(b)IC1(s)U(s)(c)第五十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日I2(s)Uo(s)(e)U(s)I2(s)Uo(s)(d)

-Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)

-

-(f)第五十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日二、動態結構圖的等效變換與化簡1、動態結構圖的等效變換

等效變換：就是被變換部分的輸入量和輸出量之間的數學關系，在變換前后輸入量和輸出量保持不變。1）串聯變換當系統中有兩個或兩個以上環節串聯時，其等效傳遞函數為各環節傳遞函數的乘積，即：第六十頁，共八十九頁，2022年，8月28日2）并聯變換當系統中有兩個(或兩個以上)環節并聯時，其等效傳遞函數為各環節傳遞函數的代數和。即：推導過程？第六十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日3)反饋變換：變換框圖如下圖所示：由a圖可知說明：公式中，“＋”對應負反饋、“-”對應正反饋；反饋環節H(s)=1,稱為單位負反饋。第六十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日4)比較點和引出點的移動規則在一些復雜系統中，回路之間常存在交叉連接。為消除交叉連接，需要移動比較點和引出點的位置。①比較點之間或引出點之間的位置交換

相鄰比較點之間的位置交換或合并如圖a，引出點之間的位置交換如圖b：注意：一般不能將比較點與引出點的位置進行交換。a)b)第六十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日②比較點相對方框的移動根據等效變換的原則，變換后應在被移動支路中串入適當的傳遞函數。圖a前移；圖b后移。如下圖所示：變換前后是否相等？第六十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日③引出點相對方框的移動根據等效變換的原則，變換后應在被移動支路中串入適當的傳遞函數。圖a為引出點前移；圖b后移。如下圖所示：變換前后是否相等？第六十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日總結1、由引出點和比較點的移動規則可知：引出點前移和比較點相對方框后移，在引出線上添加G(s)；引出點后移和比較點前移，在引出線上增添1/G(s)。引出量和輸出量都保持不變。2、結構圖簡化的關鍵是解除環路與環路的交叉，應設法使它們分開，或形成大環套小環的形式3、解除交叉聯接的有效方法是移動相加點或分支點。一般，結構圖上相鄰的分支點可以互相交換，相鄰的綜合點也可交換。但是，當引出點與比較點相鄰時，它們的位置就不能作簡單的交換。第六十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日例1，化簡如圖的結構圖，求解：化簡方法一，先通過移動引出點和綜合點，消除交叉連接，使動態結構圖變成獨立的回路，然后再進行串聯、并聯和反饋環節的等效變換，最后求得系統的傳遞函數。第六十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日等效變換后的結構圖：故，系統的傳遞函數為：第六十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日例2，化簡RC網絡動態結構圖，求第六十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日例3、化簡下圖多回環系統解：＋－－＋ⅠⅡⅢ＋－－＋ⅠⅡⅢ第七十頁，共八十九頁，2022年，8月28日系統傳函：＋－Ⅰ第七十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日例4、用結構圖的等效變換求取系統的傳遞函數－－＋－－＋①第七十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日－－＋－②③第七十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日④⑤第七十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日試求如下系統的傳遞函數隨堂練習第七十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日2、梅遜公式

利用梅遜公式，不用等效變換，可直接求出有交叉回環復雜系統的傳遞函數。公式：說明如下：1）△為特征式：其中，：各回路傳遞函數之和。回路傳遞函數是指回路內前向通道和反饋通道傳遞函數的乘積。：兩兩互不接觸的回路的傳遞函數乘積之和。：所有三個互不接觸回路的傳遞函數乘積之和。第七十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日2）為第k條前向通道的傳遞函數。為相應的余子式,是將△中與第k條前向通道相接觸的回路所在項去掉之后的剩余部分。(把與第k條前向通路接觸的回路去除，剩余回路所構成的子特征式)例1、求如下系統框圖的傳遞函數。第七十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日解：1）系統有5個回路，各回路的傳遞函數為：2）系統沒有兩個或多個互不相接觸回路，第七十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日3）系統有兩條前向通道，分別與5個回路都有接觸，故將以上各式代入梅遜公式，故系統的傳遞函數為：第七十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日例2、求如圖系統的傳遞函數有1條前向通道，所以：解：該動態