河南省洛陽市偃師首陽山鎮第一初級中學2021年高三數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.曲線在點處的切線與軸及直線所圍成的三角形的面積為()A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.設，滿足約束條件，則目標函數的最小值為A.－6 B.－4 C.2

D.－2參考答案：B3.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B4.已知四棱錐P﹣ABCD的三視圖如圖所示，則此四棱錐外接球的半徑為（）A． B． C． D．2參考答案：B【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】幾何體為四棱錐，根據三視圖判斷四棱錐的一個側面與底面垂直，判斷各面的形狀及三視圖的數據對應的幾何量，可得答案．【解答】解：因為三視圖復原的幾何體是四棱錐，頂點在底面的射影是底面矩形的長邊的中點，底面邊長分別為4，2，滿足側面PAD⊥底面ABCD，△PAD為等腰直角三角形，且高為2，可知外接球圓心為底面對角線的交點，可求得球半徑為=．故選：B．5.設等差數列的前項和為

、是方程的兩個根，則（

）A． B． C． D．參考答案：D考點：等差數列試題解析：由題知：所以在等差數列中，故答案為：D6.若復數是純虛數，則實數的值為（

）.

.

.或

.參考答案：B7.x，y滿足線性約束條件，若z=y+ax取得最大值的最優解不唯一，則a（）A．﹣2或1 B．﹣2或﹣ C．﹣或﹣1 D．﹣或1參考答案：A【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，得到直線y=2ax+z斜率的變化，從而求出a的取值．【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分ABC）．由z=y+ax得y=﹣ax+z，即直線的截距最大，z也最大．若a=0，此時y=z，此時，目標函數只在A處取得最大值，不滿足條件，若﹣a＞0，即a＜0，目標函數y=﹣ax+z的斜率k=﹣a＞0，要使z=y+ax取得最大值的最優解不唯一，則直線y=﹣ax+z與直線2x﹣y+2=0平行，此時a=﹣2，若﹣a＜0，即a＞0，目標函數y=﹣ax+z的斜率k=﹣a＜0，要使z=y+ax取得最大值的最優解不唯一，則直線y=﹣ax+z與直線x+y﹣2=0，平行，此時﹣a=﹣1，解得a=1，綜上a=1或a=﹣2，故選：A．【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．注意要對a進行分類討論．8.已知實數x,y滿足，則的最大值是（

）A．-1

B．

C．0

D．1參考答案：D9.△ABC中，“”是“”的（）條件．A．充要條件 B．必要不充分C．充分不必要 D．既不充分也不必要參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：在三角形中若，則＜A＜π，則，“”是“”的充要條件，故選：A．10.在平面區域內隨機取一點，則所取的點恰好落在圓內的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在某班舉行的成人典禮上，甲、乙、丙三名同學中的一人獲得了禮物.甲說：“禮物不在我這”；乙說：“禮物在我這”；丙說：“禮物不在乙處”.如果三人中只有一人說的是真的，請問

(填“甲”、“乙”或“丙”)獲得了禮物.參考答案：甲12.過拋物線y2＝4x的焦點F作斜率為的直線交拋物線于A、B兩點，若，則λ＝

．

參考答案：4

13.如圖，向量，，，是以為圓心、為半徑的圓弧上的動點，若，則的最大值是______.參考答案：【分析】將兩邊平方，利用數量積的運算化簡可得，用基本不等式即可求得最大值．【詳解】因，，，所以,因為為圓上，所以，，，，，，，故答案為1．【點睛】本題考查了平面向量數量積的運算、基本不等式的應用，屬基礎題．數量積的運算主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.14.已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若BA，則實數a的所有可能取值的集合為_____.參考答案：{－1，0，1}15.函數在區間上是減函數,則的最大值為________．參考答案：略16.，已知的平分線與交于點，則的外接圓面積是

．參考答案：17.已知定義域為R的函數滿足，且，

則=

；參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(Ⅰ)當時,求函數的單調增區間；(Ⅱ)求函數在區間上的最小值；(III)在(Ⅰ)的條件下，設,證明：.參考數據：.參考答案：略19.在極坐標系中，已知兩點O(0,0)，B(,)．（1）求以OB為直徑的圓C的極坐標方程，然后化成直角坐標方程；（2）以極點O為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為（t為參數）．若直線l與圓C相交于M，N兩點，圓C的圓心為C，求△MNC的面積．參考答案：（1）設為圓上任意一點，則，，在中，，即．…..3分∴，∴圓的直角坐標方程為．…….5分（2）作于，到直線的距離，在中，，∴的面積為．……10分20.（本小題滿分12分）如圖4，正三棱柱中，是中點．（1）求證：平面⊥平面；（2）若，求二面角的大小．參考答案：（Ⅰ）證明：如圖3，∵是正三棱柱，∴

∴.圖3

∵△ABC是正三角形，E是AC中點，∴∴.又∵，∴平面.

……………（6分）（Ⅱ）解：如圖4，作，于G，連CG.∵平面，∴，∴FG是CG在平面上的射影.圖4

∴根據三垂線定理得，，∴∠CGF是二面角的平面角，設，∵，則.在中，.在中，,在中，∵,∴.∴二面角的大小是45°.………（12分）

略21.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分別是BA、BC的中點，G是AA1上一點，且AC1⊥EG.（1）確定點G的位置；（2）求直線AC1與平面EFG所成角θ的大小.

參考答案：解法一：（1）以C為原點，分別以CB、CA、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），………………3分設G（0，2，h），則∴－1×0+1×（－2）+2h=0.

∴h=1，即G是AA1的中點.

…………6分（2）設是平面EFG的法向量，則所以平面EFG的一個法向量m=（1，0，1）…………10分∵∴，即AC1與平面EFG所成角為

………………15分解法二：（1）取AC的中點D，連結DE、DG，則ED//BC…………1分∵BC⊥AC，∴ED⊥AC.又CC1⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC1⊥ED.∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1.……3分又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG.…………4分連結A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C//DG.∵D是AC的中點，∴G是AA-1的中點.…………6分（2）取CC1的中點M，連結GM、FM，則EF//GM，

∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM，交FM的延長線于H，∵AC⊥平面BB1C1C，C1H平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC//GM，∴GM⊥C1H.∵GM∩FM=M，∴C1H⊥平面EFG，設AC1與MG相交于N點，所以∠C1NH為直線AC1與平面EFG所成角θ.……12分因為……15分略22.（13分）已知點分別是射線，上的動點，為坐標原點，且的面積為定值2．（I）求線段中點的軌跡的方程；（II）過點作直線，與曲線交于不同的兩點，與射線分別交于點，若點恰為線段的兩個三等分點，求此時直線的方程．參考答案：解析：（I）由題可設，，，其中.則

1分∵的面積為定值2，∴.

2分，消去，得：．

4分由于，∴，所以點的軌跡方程為（）．5分（II）依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為．由消去得：，

6分設點、、、的橫坐標分別是、、、，∴由得

8分解之得：．∴.