高二（上）期末數學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。）1．（5分）傾斜角為45°，在y軸上的截距是﹣2的直線方程為（）A．x﹣y+2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y﹣2＝0 D．x+y+2＝02．（5分）已知向量，，則等于（）A． B． C． D．3．（5分）在等差數列{an}中，a8＝15，則a1+a7+a9+a15＝（）A．15 B．30 C．45 D．604．（5分）已知拋物線E：y2＝4x，焦點為F，若過F的直線l交拋物線于A、B兩點，A、B到拋物線準線的距離分別為3、7，則AB長為（）A．3 B．4 C．7 D．105．（5分）在等比數列{an}中，，則{an}的公比q為（）A．﹣2 B． C． D．26．（5分）過點P（4，6）且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為（）A． B． C． D．7．（5分）一條光線從點（﹣2，﹣3）射出，經y軸反射后與圓（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或 B．或 C．或 D．或8．（5分）已知F1，F2是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且|PF1|＞|PF2|，線段PF1的垂直平分線過F2，若橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則的最小值為（）A．8 B．6 C．4 D．2二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）（多選）9．（5分）下列說法中正確的是（）A．若直線的斜率存在，則必有一個傾斜角與之對應 B．每一條直線都有且僅有一個傾斜角與之對應 C．與坐標軸垂直的直線的傾斜角為0°或90° D．若直線的傾斜角為α，則直線的斜率為tanα（多選）10．（5分）已知Sn為等差數列{an}的前n項和，且a1＝﹣7，S3＝﹣15，則下列結論正確的是（）A．an＝2n﹣9 B．{an}為遞減數列 C．a6是a4和a9的等比中項 D．Sn的最小值為﹣16（多選）11．（5分）如圖，四邊形ABCD為正方形，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD為正三角形，CD＝2，M為BC的中點，則下列命題中正確的是（）A．BC⊥PD B．AM∥平面PCD C．直線AM與PCD成角的余弦值為 D．二面角C﹣PD﹣M大小為（多選）12．（5分）泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交會的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交會，卻在轉瞬間無處尋覓．已知點M（0，2），直線l：y＝﹣3，若某直線上存在點P，使得點P到點M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結論正確的是（）A．點P的軌跡曲線是一條線段 B．點P的軌跡與直線l0：y＝﹣1是沒有交會的軌跡（即兩個軌跡沒有交點） C．y＝2x﹣3是“最遠距離直線” D．不是“最遠距離直線”三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a3＝3，a9＝11，則S11＝．14．（5分）已知點P是拋物線y2＝2x上的動點，點P到準線的距離為d，且點P在y軸上的射影是M，點A（，4），則|PA|+|PM|的最小值是．15．（5分）數列{an}的前n項和為Sn＝n2﹣2n+3，則an＝．16．（5分）已知F1、F2是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，當的值最小時，△PF1F2的面積為．四、解答題（本大題共6小題，滿分70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB＝2，E為PC中點．（1）求證：PA∥平面BDE；（2）求平面BDE與平面PAB的夾角余弦值．18．（12分）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，S9＝81，a7＝13，求：（1）Sn；（2）若S3、S17﹣S16、Sk成等比數列，求k．19．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F（2，0），直線l：y＝k（x﹣2）與拋物線C相交于不同的兩點A、B．（1）求拋物線C的方程；（2）若|AB|＝9，求k的值．20．（12分）已知直線l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交點為P．（1）若直線l經過點P且與直線l3：4x﹣3y﹣5＝0平行，求直線l的方程；（2）若直線m經過點P且與x軸，y軸分別交于A，B兩點，P為線段AB的中點，求△OAB的面積（其中O為坐標原點）．21．（12分）數列{an}是單調遞增的等比數列，a2＝4，a1+a2+a3＝14，數列{bn}滿足b1＝，且bn+1＝．（1）證明：數列是等差數列，并求{an}，{bn}的通項公式；（2）設數列的前n項和為Tn，求Tn．22．（12分）已知橢圓的離心率為，且其左頂點到右焦點的距離為5．（1）求橢圓的方程；（2）設點M、N在橢圓上，以線段MN為直徑的圓過原點O，試問：是否存在定點P，使得P到直線MN的距離為定值？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

高二（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。）1．（5分）傾斜角為45°，在y軸上的截距是﹣2的直線方程為（）A．x﹣y+2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y﹣2＝0 D．x+y+2＝0【分析】由題意利用斜截式求直線的方程．【解答】解：傾斜角為45°的直線的斜率為1，在y軸上的截距是﹣2，故它的直線方程為y＝x﹣2，即x﹣y﹣2＝0，故選：B．【點評】本題主要考查用斜截式求直線的方程，屬于基礎題．2．（5分）已知向量，，則等于（）A． B． C． D．【分析】利用空間向量的坐標運算求出+，再利用求模公式求解即可．【解答】解：∵，，∴+＝（3，5，4），則＝＝5，故選：C．【點評】本題考查空間向量的坐標運算，求模公式的應用，屬于基礎題．3．（5分）在等差數列{an}中，a8＝15，則a1+a7+a9+a15＝（）A．15 B．30 C．45 D．60【分析】由等差數列{an}的性質可得：a1+a15＝a7+a9＝2a8．即可得出．【解答】解：由等差數列{an}的性質可得：a1+a15＝a7+a9＝2a8．∵a8＝15，∴a1+a7+a9+a15＝4a8＝4×15＝60．故選：D．【點評】本題考查了等差數列的性質，屬于基礎題．4．（5分）已知拋物線E：y2＝4x，焦點為F，若過F的直線l交拋物線于A、B兩點，A、B到拋物線準線的距離分別為3、7，則AB長為（）A．3 B．4 C．7 D．10【分析】利用拋物線的定義，轉化求解AB的距離即可．【解答】解：拋物線E：y2＝4x，焦點為F（1，0），過F的直線l交拋物線于A、B兩點，A、B到拋物線準線的距離分別為3、7，則AB＝3+7＝10．故選：D．【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，是基本知識的考查．5．（5分）在等比數列{an}中，，則{an}的公比q為（）A．﹣2 B． C． D．2【分析】由已知結合等比數列的通項公式及性質即可求解公比q．【解答】解：因為等比數列{an}中，，所以＝0，即＝a3＝，a6＝1，則q3＝＝8，所以q＝2．故選：D．【點評】本題主要考查了等比數列的性質及通項公式，屬于基礎題．6．（5分）過點P（4，6）且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為（）A． B． C． D．【分析】與雙曲線有相同的漸近線的方程可設為雙曲線＝λ，λ≠0，再把點P的坐標代入即可．【解答】解：由題意可設要求的雙曲線方程為：＝λ，λ≠0，把點P（4，6）代入可得16﹣18＝λ，解得λ＝﹣2．∴雙曲線方程為：．故選：B．【點評】本題考查雙曲線方程的求法，雙曲線的簡單性質的應用，與雙曲線有相同的漸近線的方程可設為雙曲線＝λ，λ≠0，是解題的關鍵．7．（5分）一條光線從點（﹣2，﹣3）射出，經y軸反射后與圓（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或 B．或 C．或 D．或【分析】點A（﹣2，﹣3）關于y軸的對稱點為A′（2，﹣3），可設反射光線所在直線的方程為：y+3＝k（x﹣2），利用直線與圓相切的性質即可得出．【解答】解：點A（﹣2，﹣3）關于y軸的對稱點為A′（2，﹣3），故可設反射光線所在直線的方程為：y+3＝k（x﹣2），化為kx﹣y﹣2k﹣3＝0．∵反射光線與圓（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，∴圓心（﹣3，2）到直線的距離d＝＝1，化為24k2+50k+24＝0，∴k＝﹣，或k＝﹣．故選：D．【點評】本題考查了反射光線的性質、直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式、點斜式、對稱點，考查了計算能力，屬于中檔題．8．（5分）已知F1，F2是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且|PF1|＞|PF2|，線段PF1的垂直平分線過F2，若橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則的最小值為（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】由于線段PF1的垂直平分線過F2，所以有|F1F2|＝|PF2|，再根據雙曲線和橢圓的定義，求出2c的表達式，然后利用基本不等式來求得最小值．【解答】解：設橢圓對應的參數為a1，b1，c，雙曲線對應的參數為a2，b2，c，由于線段PF1的垂直平分線過F2，所以有|F1F2|＝|PF2|＝2c．根據雙曲線和橢圓的定義，兩式相減得到4c＝2（a1﹣a2），即a1﹣a2＝2c，a2＞0，c＞0，所以，當且僅當即c＝2a2等號成立，即最小值為6．故選：B．【點評】本題考查雙曲線的定義和幾何性質，考查橢圓的定義和幾何性質，化歸轉化思想，基本不等式的應用，屬中檔題．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）（多選）9．（5分）下列說法中正確的是（）A．若直線的斜率存在，則必有一個傾斜角與之對應 B．每一條直線都有且僅有一個傾斜角與之對應 C．與坐標軸垂直的直線的傾斜角為0°或90° D．若直線的傾斜角為α，則直線的斜率為tanα【分析】直接利用直線的傾斜角和斜率的關系判斷A、B、C、D的結論．【解答】解：對于A：若直線的斜率存在，則必有一個傾斜角與之對應，故A正確；對于B：每一條直線都有且僅有一個傾斜角與之對應，故B正確；對于C：與坐標軸垂直的直線的傾斜角為0°或90°，故C正確；對于D：若直線的傾斜角為α（α≠90°），則直線的斜率為tanα，故D錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查的知識要點：直線的傾斜角和斜率的關系，主要考查學生對基礎知識的理解，屬于基礎題．（多選）10．（5分）已知Sn為等差數列{an}的前n項和，且a1＝﹣7，S3＝﹣15，則下列結論正確的是（）A．an＝2n﹣9 B．{an}為遞減數列 C．a6是a4和a9的等比中項 D．Sn的最小值為﹣16【分析】由等差數列的前n項和公式可求得公差d，從而可得數列{an}的通項公式，再逐個選項判斷即可．【解答】解：設等差數列{an}的公差為d，因為a1＝﹣7，S3＝﹣15，所以3a1+d＝﹣15，解得d＝2，所以an＝a1+（n﹣1）d＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9，故A正確，因為d＝2＞0，所以{an}為遞增數列，故B錯誤；a6＝12﹣9＝3，a4＝8﹣9＝﹣1，a9＝18﹣9＝9，a62＝9，a4a9＝﹣9，故a6不是a4和a9的等比中項，故C錯誤；由an＝2n﹣9，得當n≤4時，an＜0，當n≥5時，an＞0，所以Sn的最小值為S4＝4a1+d＝4×（﹣7）+12＝﹣16，故D正確．故選：AD．【點評】本題主要考查等差數列的通項公式，等差數列的前n項和公式，考查運算求解能力，屬于中檔題．（多選）11．（5分）圖，四邊形ABCD為正方形，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD為正三角形，CD＝2，M為BC的中點，則下列命題中正確的是（）A．BC⊥PD B．AM∥平面PCD C．直線AM與PCD成角的余弦值為 D．二面角C﹣PD﹣M大小為【分析】根據三垂線定理，線面平行的概念，線面角的概念，三垂線定理作二面角，即可分別求解．【解答】解：對A選項，∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PD在底面ABCD內的射影為CD，又四邊形ABCD為正方形，∴BC⊥CD，∴根據三垂線定理可知BC⊥PD，∴A選項正確；對B選項，∵四邊形ABCD為正方形，又M為BC的中點，∴AM與DC為相交直線，∴AM與平面PCD相交，∴B選項錯誤；對C選項，∵平面PCD⊥平面ABCD，∴AM在平面PCD內的射影為CD，又CD∥AB，∴直線AM與平面PCD成角為∠BAM，又易知cos∠BAM＝＝＝，∴C選項錯誤；對D選項，∵平面PCD⊥平面ABCD，又BC⊥DC，且平面PCD∩平面ABCD＝DC，∴BC⊥平面PCD，取PD的中點H，又△PCD為正三角形，∴CH⊥PD，根據三垂線定理可得：二面角C﹣PD﹣M的平面角為∠MHC，又易知CH＝，CM＝1，∴tan∠MHC＝＝＝，∴∠MHC＝，∴二面角C﹣PD﹣M大小為，∴D選項正確．故選：AD．【點評】本題考查三垂線定理證明線線垂直，線面平行的概念，線面角的求解，二面角的求解，三垂線定理作二面角，屬中檔題．（多選）12．（5分）泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交會的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交會，卻在轉瞬間無處尋覓．已知點M（0，2），直線l：y＝﹣3，若某直線上存在點P，使得點P到點M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結論正確的是（）A．點P的軌跡曲線是一條線段 B．點P的軌跡與直線l0：y＝﹣1是沒有交會的軌跡（即兩個軌跡沒有交點） C．y＝2x﹣3是“最遠距離直線” D．不是“最遠距離直線”【分析】根據已知條件，確定出P點軌跡是拋物線，再確定此拋物線與BCD中的直線有無公共點，即可求解．【解答】解：∵平面上點P到點M的距離比到直線l的距離小1，∴點P到點M的距離比它到直線y＝﹣2的距離相等，∴點P的軌跡是以M為焦點，直線y＝﹣2為準線的拋物線，軌跡方程為x2＝8y，故A錯誤，拋物線x2＝8y與直線y＝﹣1無交點，故B正確，聯立，化簡整理可得，x2﹣16x+24＝0，Δ＝162﹣4×24＝160＞0，故方程組有實數解，因此拋物線與直線y＝2x﹣3有交點，故直線y＝2x﹣3是“最遠距離直線”，故C正確，聯立，化簡整理可得，x2﹣4x+8＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×8＝﹣16＜0，方程組無實數解，故y＝不是“最遠距離直線”，故D正確．故選：BCD．【點評】本題主要考查軌跡方程的求解，掌握拋物線的定義是解本題的關鍵，屬于中檔題．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a3＝3，a9＝11，則S11＝77．【分析】根據題意，分析可得S11＝＝＝11a6，進而結合等差數列的前n項和性質計算可得答案．【解答】解：根據題意，等差數列{an}中，S11＝＝＝11a6，又由a3+a9＝2a6＝14，則a6＝7，故S11＝11a6＝77；故答案為：77．【點評】本題考查等差數列前n項和的計算，涉及等差數列的性質，屬于基礎題．14．（5分）已知點P是拋物線y2＝2x上的動點，點P到準線的距離為d，且點P在y軸上的射影是M，點A（，4），則|PA|+|PM|的最小值是．【分析】由題意利用拋物線的定義可得，當A、P、M共線時，|PA|+|PM|取得最小值，由此求得答案．【解答】解：拋物線焦點F（，0），準線x＝﹣，延長PM交準線于N，由拋物線定義|PF|＝|PN|，∵|PA|+|PM|+|MN|＝|PA|+|PN|＝|PA|+|PF|≥|AF|＝5，而|MN|＝，∴PA|+|PM|≥5﹣＝，當且僅當A，P，F三點共線時，取“＝”號，此時，P位于拋物線上，∴|PA|+|PM|的最小值為，故答案為．【點評】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．15．（5分）數列{an}的前n項和為Sn＝n2﹣2n+3，則an＝．【分析】根據題意，由數列的前n項和與通項的關系，分析可得答案．【解答】解：根據題意，數列{an}的前n項和為Sn＝n2﹣2n+3，當n＝1時，a1＝S1＝1﹣2+3＝2，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣2n+3﹣（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣3＝2n﹣3，故an＝；故答案為：．【點評】本題考查由數列的前n項和求通項的方法，注意數列的表示方法，屬于基礎題．16．（5分）已知F1、F2是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，當的值最小時，△PF1F2的面積為2．【分析】根據橢圓定義得出|PF1|+|PF2|＝6，進而對進行化簡，結合基本不等式得出的最小值，并求出|PF1|，|PF2|的值，進而求出面積．【解答】解：由橢圓定義可知，|PF1|+|PF2|＝2a＝6，所以，，當且僅當，即|PF1|＝2，|PF2|＝4時取′′＝''．又，所以．所以，由勾股定理可知：PF1⊥F1F2，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查橢圓的定義的應用，基本不等式求最值的方法等知識，屬于中等題．四、解答題（本大題共6小題，滿分70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（10分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB＝2，E為PC中點．（1）求證：PA∥平面BDE；（2）求平面BDE與平面PAB的夾角余弦值．【分析】（1）連接AC交BD于點O，連接EO，利用線面平行的判定定理，即可證明結論；（2）由題意可建立以點D為坐標原點，以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系D﹣xyz，利用向量法，即可得出答案．【解答】解：（1）證明：連接AC交BD于點O，連接EO，如圖所示：在正方形ABCD中，O是AC中點，∵E為PC中點，∴在△APC中，PA∥EO，又PA?平面BDE，EO?平面BDE，∴PA∥平面BDE；（2）由題意可建立以點D為坐標原點，以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系D﹣xyz，如圖所示：PD＝AB＝2，則D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），A（2，0，0），∴，設平面BDE的法向量為，則，即，取z＝1，則y＝﹣1，x＝1，∴平面BDE的法向量為，設平面PAB的法向量為＝（x，y，z），＝（2，0，﹣2），＝（0，2，0），則，即，取x＝1，則y＝0，z＝1，∴平面PAB的法向量為＝（1，0，1），設平面BDE與平面PAB的夾角為α，∴cosα＝|cos＜＞|＝＝＝，故平面BDE與平面PAB的夾角余弦值為．【點評】本題考查空間直線與平面平行和二面角，考查轉化思想和數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．18．（12分）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，S9＝81，a7＝13，求：（1）Sn；（2）若S3、S17﹣S16、Sk成等比數列，求k．【分析】（1）由已知結合等差數列的通項公式及求和公式可求首項及公差，然后結合等差數列的求和公式可求；（2）應用子結合等比數列的性質即可求解．【解答】解：（1）等差數列{an}中，S9＝81，a7＝13，所以，解得，d＝2，a1＝1，所以Sn＝n+＝n2；（2）若S3、S17﹣S16、Sk成等比數列，則S3?Sk＝（S17﹣S16）2＝，所以9k2＝332，所以k＝11．【點評】本題主要考查了等差數列的通項公式及求和公式，等比數列的性質的應用，屬于基礎題．19．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F（2，0），直線l：y＝k（x﹣2）與拋物線C相交于不同的兩點A、B．（1）求拋物線C的方程；（2）若|AB|＝9，求k的值．【分析】（1）由拋物線焦點坐標即可解出p的值，進而確定拋物線的方程；（2）聯立直線與拋物線方程，利用弦長公式即可解出．【解答】解：（1）由拋物線的焦點（2，0），∴＝2，∴p＝4，所以拋物線方程為：y2＝8x；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），由直線l過拋物線的焦點，所以|AB|＝x1+x2+4＝9，∴x1+x2＝5，聯立方程，∴k2x2﹣（8+4k2）x+4k2＝0，∴x1+x2＝＝5，∴k＝±2．【點評】本題考查了拋物線與直線相交，相交弦長，學生的數學運算能力，屬于基礎題．20．（12分）已知直線l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交點為P．（1）若直線l經過點P且與直線l3：4x﹣3y﹣5＝0平行，求直線l的方程；（2）若直線m經過點P且與x軸，y軸分別交于A，B兩點，P為線段AB的中點，求△OAB的面積（其中O為坐標原點）．【分析】（1）先求出交點P的坐標和直線的斜率，再用點斜式求直線的方程．（2）先求出A、B兩點的坐標，再利用三角形的面積公式，求得△OAB的面積．【解答】解：（1）由，求得，可得直線l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交點為P（﹣3，﹣5）．由于直線l3的斜率為，故過點P且與直線l3：4x﹣3y﹣5＝0平行的直線l的方程為y+5＝（x+3），即4x﹣3y﹣3＝0．（2）由題意可得，直線m的斜率存在且不為零，設直線m的斜率為k，則直線m的方程為y+5＝k（x+3）．由于直線m與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且P（﹣3，﹣5）為線段AB的中點，故A（﹣3，0），B（0，3k﹣5），且＝﹣3，且＝﹣5，求得k＝＝﹣，故A（﹣6，0）、B（0，﹣10）．故△OAB的面積為?OA?OB＝×6×10＝30．【點評】本題主要考查求