第第頁中考數學模擬題匯總《解答題》練習(中檔篇)（含答案解析）(共計60題)一．解一元二次方程-公式法（共1小題）1．（2022?武進區一模）（1）解不等式組：；（2）解方程：（x+1）（x﹣3）＝1．二．一次函數的應用（共5小題）2．為豐富學生的業余生活，學校準備購進甲、乙兩種暢銷圖書．經調查，甲種圖書的總費用y（元）與購進本數x之間的函數關系如圖所示，乙種圖書每本20元．（1）直接寫出當0≤x≤100和x＞100時，y與x的函數關系式；（2）現學校準備購買300本圖書，且兩種圖書均不少于80本，該如何購買，才能使總費用最少？最少的總費用為多少元？3．某個體服裝店從批發商處了解到甲、乙、丙三種運動套裝的部分價格如表：價格甲乙丙批發價（元/套）170零售價（元/套）250245290（1）已知服裝店第一次批發只購進乙20套，丙30套，共花費9000元，且乙每套的批發價比丙低50元，求乙、丙每套的批發價．（2）由于銷量好，第一次購進的運動套裝以零售價的價格全部售完，服裝店用第一次的全部銷售收入再批發購進甲、乙，丙三種運動套裝，且購進乙，丙套裝的數量相等，但乙的批發價每套比原來提高α%，丙的批發價每套比原來下降α%．①若服裝店第二次批發購進乙，丙兩種套裝分別花費3600元、3200元，求a的值．②在a的值不變的前提下，服裝店把第一次的銷售收入全用于第二次批發，若第二次以零售價的價格銷售完這三種運動套裝所得利潤為w元，當甲的數量不少于23套時，求w的最大值．4．甲、乙兩人從A地前往B地，先到終點的人在原地休息．已知甲先出發30s后，乙才出發．在運動過程中，甲、乙兩人離A地的距離分別為y1（單位：m）、y2（單位：m），都是甲出發時間x（單位：s）的函數，它們的圖象如圖①．設甲的速度為v1m/s，乙的速度為v2m/s．（1）v1：v2＝，a＝；（2）求y2與x之間的函數表達式；（3）在圖②中畫出甲、乙兩人之間的距離s（單位：m）與甲出發時間x（單位：s）之間的函數圖象．5．某游泳館推出了A、B兩種季度套餐，選擇這兩種套餐消費時，一個季度的費用y（元）與該季度游泳時長x（小時）之間的函數關系如圖所示．（1）分別求出這兩種套餐消費時，y與x之間的函數關系式；（2）請通過計算說明，一個季度的游泳時長少于多少時選擇A套餐更省錢；（3）小明估計了自己本季度的游泳時長后，選擇了B套餐，因為這樣可比選擇A種套餐游泳平均小時節省5元，求小明估計自己本季度的游泳時長．6．2022年3月以來，我國新冠疫情發生頻次明顯增加，感染人數快速增長，波及范圍不斷擴大．疫情防控形勢變得嚴峻復雜，全社會要有長期抗疫準備，堅信經過全人類共同努力，一定能夠戰勝疫情．為此某市應急管理主管部門積極儲備防疫物資，在一次采購方案中，準備租用A、B兩種型號貨車共20輛，把醫用物資380噸，生活物資324噸全部運到應急物資儲備中心．已知一輛A型貨車可同時裝醫用物資20噸，生活物資15噸；一輛B型貨車可同時裝醫用物資18噸，生活物資18噸，設租用A型貨車x輛．（1）若將這次采購物資一次性運到應急物資儲備中心，有哪幾種租車方案；（2）若A型貨車每輛需付燃油費2000元，B型貨車每輛需付燃油費1800元，設所付燃油總費用為y元，求y與x的函數關系式，并求出哪種租車方案燃油總費用最少，最少為多少元？三．反比例函數與一次函數的交點問題（共1小題）7．如圖，一次函數y＝kx+b與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于A（，4）、B（n，2）兩點．（1）求m、n的值；（2）求一次函數的解析式；（3）求△AOB的面積．四．反比例函數綜合題（共1小題）8．如圖，直線y＝2x+6與反比例函數y＝（k＞0）的圖象交于點A（m，8），與x軸交于點B，平行于x軸的直線y＝n（0＜n＜6）交反比例函數的圖象于點M，交AB于點N，連接BM．（1）求m的值和反比例函數的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出當x＞0時不等式2x+6﹣＞0的解集；（3）直線y＝n沿y軸方向平移，當n為何值時，△BMN的面積最大？最大值是多少？五．二次函數與不等式（組）（共1小題）9．已知二次函數y＝x2﹣2（p+1）x+q的圖象經過（1，0）、（0，﹣5）兩點．（1）求p、q的值；（2）點A（x1，y1）、B（x2，y2）是該函數圖象上兩點，若x1+x2＝2，求證y1+y2＞0．六．二次函數的應用（共2小題）10．北京冬奧會推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人們的喜愛，銷售火爆，某經銷商以60元/個的價格購進了一批“冰墩墩”擺件，打算采取線下和線上兩種方式銷售，調查發現線下每周銷量y個與售價x元/個（x＞60）滿足一次函數關系：售價x（元/個）…8090100…銷量y（個）…400300200…線下銷售，每個擺件的利潤不得高于進價的80%；線上售價為100元/個，供不應求．（1）求y與x的函數表達式；（2）若該經銷商共購進“冰墩墩”1000個，一周內全部售完．如何分配線下和線上的銷量，可使全部售完后獲得的利潤最大，最大利潤是多少？（不計其它成本）11．（2022?海陵區一模）2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市場對口罩的需求量仍然較大．某公司銷售一種進價為12元/袋的口罩，其銷售量y（萬袋）與銷售價格x（元/袋）的變化如表：價格x（元/袋）…14161820…銷售量y（萬袋）…5432…另外，銷售過程中的其他開支（不含進價）總計6萬元．（1）根據表中數據變化規律及學過的“一次函數、二次函數、反比例函數”知識，請判斷銷售量y（萬袋）與價格x（元/袋）滿足什么函數？并求出y與x之間的函數表達式；（2）設該公司銷售這種口罩的凈利潤為w（萬元），當銷售價格定為多少元時凈利潤最大，最大值是多少？七．二次函數綜合題（共3小題）12．閱讀下面的問題及其解決途徑．問題：將函數y＝2x﹣3的圖象向右平移2個單位長度，所得到的圖象對應的函數表達式是什么？結合閱讀內容，完成下面的問題．（1）填寫下面的空格．問題：將函數y＝的圖象向左平移1個單位長度，所得到的圖象對應的函數表達式是什么？（2）將函數y＝﹣2x2+3x+1的圖象沿y軸翻折，所得到的圖象對應的函數表達式為．（3）將函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的圖象先向左平移1個單位長度，再沿y軸翻折，最后繞原點旋轉180°，求所得到的圖象對應的函數表達式．13．已知二次函數y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m為常數）．（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；（2）二次函數的圖象與x軸交于點M，N，與y軸交于點P，若△MNP是等腰直角三角形，則m的值為；（3）點A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函數的圖象上，當y1?y2?y3＜0時，結合函數圖象，直接寫出m的取值范圍．14．已知拋物線y＝x2﹣x﹣6與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．（1）①點B的坐標為；直線AC的解析式為；②如圖1，若點D是直線AC下方拋物線上的一個動點（點D不與點A、C重合），求△DAC面積的最大值；（2）如圖2，若點M是線段AC上一動點（不與A、C重合），點N是線段AB上一點，設AN＝t，當t在何范圍取值時，點M總存在兩個不同的位置使∠BMN＝∠BAM；（3）如圖3，點G是x軸上方的拋物線上一點，若∠AGB+2∠BAG＝90°，請直接寫出點G的橫坐標為．八．三角形綜合題（共1小題）15．【問題背景】在一次數學興趣小組活動中，小軍對蘇科版數學九年級教材第42頁的第4題很感興趣．教材原題：如圖1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中點．點B、C、D、E是否在以點M為圓心的同一個圓上？為什么？小軍在完成此題解答后提出：如圖2，若BD、CE的交點為點O，則點A、D、O、E四點也在同一個圓上．（1）請對教材原題或小軍提出的問題進行解答．（選擇一個解答即可）【直接應用】當大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級通過畫圖歸納出的一個結論：三角形的三條高所在直線交于同一點，可通過上面的結論加以解決．（2）如圖3，△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，連接AO并延長交BC于點F．求證：AF為△ABC的邊BC上的高．【拓展延伸】在大家完成討論后，曾老師根據大家的研究提出一個問題：（3）在（2）的條件下連接DE、EF、FD（如圖4），設∠DEF＝α，則∠AOB的度數為．（用含α的式子表示）九．平行四邊形的判定（共1小題）16．已知：如圖，點B，E，F，C在同一條直線上，AB∥CD，且AB＝CD，BF＝CE．（1）求證：△ABE≌△DCF；（2）求證：四邊形AEDF是平行四邊形．十．平行四邊形的判定與性質（共1小題）17．在?ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，連接BF，DE，M，N分別是BF，DE的中點，連接EM，FN．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，則四邊形ABCD的面積為．十一．菱形的性質（共1小題）18．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E．（1）求證：四邊形ACDE是平行四邊形；（2）若AC＝12，BD＝9，求△ADE的周長．十二．菱形的判定（共1小題）19．如圖，在四邊形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）以下條件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一個替換（1）中的“AD∥BC”，也可以證明四邊形ABCD是菱形，那么可以選擇的條件是（填寫滿足要求的所有條件的序號）．十三．矩形的判定（共1小題）20．如圖，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．求證：（1）△ABF≌△DEC；（2）四邊形BCEF是矩形．十四．四邊形綜合題（共1小題）21．如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝5，∠B＝90°．點M在邊AD上，AM＝2，點N是邊BC上一動點．以MN為斜邊作Rt△MNP，若點P在四邊形ABCD的邊上，則稱點P是線段MN的“勾股點”．（1）如圖①，線段MN的中點O到BC的距離是．A．B．C．3D．2（2）如圖②，當AP＝2時，求BN的長度．（3）是否存在點N，使線段MN恰好有兩個“勾股點”？若存在，請直接寫出BN的長度或取值范圍；若不存在，請說明理由．十五．圓內接四邊形的性質（共1小題）22.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為E．（1）若∠BAC＝40°，則∠ADC＝°；∠DAC＝°（2）求證：∠BAC＝2∠DAC；（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．十六．三角形的外接圓與外心（共1小題）23．如圖①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圓⊙O上一點，連接CD，過點B作BE∥CD，交AD的延長線于點E，交⊙O于點F．（1）求證：四邊形DEFC是平行四邊形；（2）如圖②，若AB為⊙O直徑，AB＝7，BF＝1，求CD的長．十七．直線與圓的位置關系（共2小題）24．如圖，△ABD內接于⊙O，AB是直徑，E是上一點，且DE＝DA，連接AE交BD于F，在BD延長線上取點C，使得∠CAD＝∠EAD．（1）試判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若AE＝24，tanE＝，求⊙O的半徑長．25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，過點D作DE⊥AC交AC于點E．（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長．十八．切線的判定與性質（共5小題）26．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AB交AB于點E，交AC的延長線于點F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若EB＝1，且sin∠CFD＝，求DF的長．27．（2022?武進區一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點，∠BAC＝∠DAC，過點C作直線EF⊥AD，交AD的延長線于點E，連接BC．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的長．28．如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，直線l過點C，AD⊥l，交⊙O于點F，垂足為D，BE⊥l，垂足為E，且＝．（1）求證：l與⊙O相切；（2）當AD＝4cm，BE＝1.5cm時，⊙O的半徑為cm．29．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的直線交AB延長線于點D，給出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切線；③OB＝BD．（1）請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，剩下的一條作為結論．你選擇的條件是，結論是（只要填寫序號）．判斷結論是否正確，并說明理由；（2）在（1）的條件下，若CD＝3，求的長度．30．如圖，已知點A、B、C在⊙O上，點D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E點．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，∠BAC＝30°，求線段BE的長．十九．圓的綜合題（共1小題）31．如圖，以AB為直徑的半圓中，點O是圓心，點C是半圓上一動點（不與點A，B重合），點E是OC的中點，連接AE并延長到點D，滿足ED＝AE，連接CD、BD．（1）求證：四邊形OBDC是菱形；（2）連接BC，交AD于點F．①當∠ABC＝度時，CD是⊙O的切線；②若DF＝2，求EF的長．二十．作圖—復雜作圖（共3小題）32．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，DC＝4，AD＝2，AB＝BC，以AB為直徑的圓O交BC于點E．（1）求⊙O的半徑；（2）用無刻度的直尺在DC邊上作點M，使射線BM平分∠ABC，并求的值．33．如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規按下列要求分別作一個等腰三角形ABC（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．（1）△ABC的底邊長為a，底邊上的高為h；（2）△ABC的腰長為a，腰上的高為h．34．如圖，在?ABCD中，AB＜BC．（1）用尺規完成以下基本作圖：作∠BAD的平分線交BC于點E，在DA上截取DF，使DF＝CE（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，連接EF，證明四邊形ABEF是菱形．二十一．作圖—應用與設計作圖（共3小題）35．（1）如圖，△ABC的頂點均在邊長為1的正方形網格格點上，只用不帶刻度的直尺，在AC邊上找一點D，使得D到AB、BC兩邊距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出D到AB的距離為．（2）如圖，已知入是直線l外一點．用兩種不同的方法作⊙O，使⊙O過A點，且與直線l相切．（要求：用直尺和圓規作圖且保留作圖的痕跡）36．圖①是2022年北京冬季奧運會自由式滑雪大跳臺和單板滑雪大跳臺的比賽場館，別名“雪飛天”．我們畫出一個與它類似的示意圖②，其中出發區EF、起跳區CD都與地面AB平行．助滑坡DE與著陸坡AC的長度之和為80m．已知EF到AB的距離是CD到AB的距離的3倍，∠A＝30°，M為CD延長線上一點，∠EDM＝37°．求EF到AB的距離．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）37．如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長都等于1，點A、B在格點上，點C在網格線l上，先完成下面計算，再僅用無刻度的直尺完成下列作圖．（不要求寫出作圖步驟，但要保留作圖痕跡）（1）AB＝；（2）若AC+BC最小，請在圖中作出點C；（3）在（2）中，連接AC、BC，請借助已有網格圖，作出△ABC的中線AM．二十二．翻折變換（折疊問題）（共1小題）38．如圖，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD．（1）求證∠CAB＝∠DAB；（2）若將△ADB沿AB的垂直平分線翻折，則得到的三角形和△ACB可以拼成一個（寫出圖形的形狀）；（3）若將△ADB進行一次圖形變化，得到的三角形和△ACB拼成一個等腰三角形，請寫出圖形變化的過程．二十三．作圖-旋轉變換（共1小題）39．圖①、圖②均是6×6的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形邊長為1，點A、B、C、D均在格點上．在圖①、圖②中，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法．（1）在圖①中以線段AB為邊畫個中心對稱四邊形ABEF，使其面積為9；（2）在圖②中以線段CD為邊畫一個軸對稱三角形CDG，使其面積為7.5．二十四．相似三角形的判定與性質（共1小題）40．矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，連接BD，點P在線段BD上，連接AP過點P作PE⊥AP，交直線BC于點E，連接AE、PC．（1）若m＝6，n＝6，①當點E與點B重合時，求線段DP的長；②當EB＝EP時，求線段BP的長；（2）若m＝6，n＝8，△PEC面積的最大值為（直接寫出答案）．二十五．相似形綜合題（共1小題）41．閱讀理解：我們知道，四邊形具有不穩定性，容易變形．如圖1，一個矩形發生變形后成為一個平行四邊形，設這個平行四邊形相鄰兩個內角中較小的一個內角為α，我們把的值叫做這個平行四邊形的變形度．（1）若矩形發生變形后的平行四邊形有一個內角是120°，則這個平行四邊形的變形度是；（2）若矩形的面積為S1，其變形后的平行四邊形面積為S2，試猜想S1，S2，之間的數量關系，并說明理由；（3）如圖2，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，且AB2＝AE?AD，這個矩形發生變形后為?A1B1C1D1，E1為E的對應點，連接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面積為（m＞0），?A1B1C1D1的面積為（m＞0），求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大小．二十六．解直角三角形的應用（共5小題）42．圖①是一只消毒液噴霧瓶的實物圖，其示意圖如圖②，AB＝6cm，BC＝4cm，∠ABC＝85°，∠BCD＝120°．求點A到CD的距離．（精確到三位小數，參考數據：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145，≈1.732）43．如圖1是一種手機支架，圖2是其側面結構示意圖．托板AB固定在支撐板頂端的點C處，托板AB可繞點C轉動，支撐板CD可繞點D轉動．現量得CD＝10cm，AC＝12cm．（1）當支撐板CD與底座DE的夾角（∠CDE）為60°時，求點C到底座DE的距離；（結果保留根號）（2）小強在使用過程中發現，當∠CDE為60°且∠ACD為105°時，此支架使用起來最舒適，求此時點A到底座DE的距離．（結果精確到0.1，≈1.41，≈1.73）44．如圖①，某款線上教學設備由底座，支撐臂AB，連桿BC，懸臂CD和安裝在D處的攝像頭組成．如圖②是該款設備放置在水平桌面l上的示意圖．已知支撐臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，測量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求攝像頭到桌面l的距離DE的長（結果精確到0.1cm）．（參考數據：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）45．如圖1是一臺手機支架，圖2是其側面示意圖，AB，BC可分別繞點A，B轉動，測量知BC＝10cm，AB＝20cm．當AB，BC轉動到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時，求點C到AE的距離．（結果保留小數點后一位，參考數據：sin70°≈0.94，）46．當光線經過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等．請用這一結論解答下列問題．（1）如圖1，入射光線AB經過平面鏡OM與ON反射后的反射光線是CD，若CD∥AB，則∠MON的度數為．（2）如圖2是一種利用平面鏡反射，放大微小變化的裝置．手柄BP上的點C處安裝一平面鏡，BP與屏幕MN的交點為D，從A點發出的光束經平面鏡C反射后，在MN上形成一個光點E．已知當AB⊥BP，MN⊥BP時，AB＝25，BC＝16，DE＝50．①求BD的長．②將手柄BP在原有位置繞點B按逆時針方向旋轉一定角度α得到BP′（如圖3），點C的對應點為C′，BP′與MN的交點為D′，從A點發出的光束經平面鏡C′反射后，在MN上的光點為E′．若，則D′E′的長為多少？二十七．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共1小題）47．如圖，AB是一條筆直的長為500m的滑雪坡道，某運動員從坡頂A滑出，沿直線滑向坡底B，她的滑行距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）的部分對應值如下表．x01234…y04.51428.548…（1）用所學過的函數知識猜想y是x的什么函數，并求出y與x之間的函數表達式；（2）一架無人機在AB上空距地面292m的P處懸停，此時在A處測得無人機的仰角為53°．無人機和該運動員同時開始運動，無人機以6.3m/s的速度勻速水平飛行拍攝，離A處越來越遠．已知無人機（看成一個點）與AB（看成一條線段）所確定的平面始終垂直于地面，AB與地面MN的夾角為26°．求該運動員滑行多久時，她恰在無人機的正下方．（參考數據：tan53°≈，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．）二十八．頻數（率）分布直方圖（共2小題）48．某區組織學生參加黨史知識競賽，從中抽取了200名學生的成績（得分取正整數，滿分為100分）進行統計，根據成績分成如下5組：A.50.5﹣60.5，B.60.5～70.5，C．70.5～﹣80.5，D.80.5～90.5，E．90.5～100.5．并繪制成兩個統計圖．（1）求頻數分布直方圖中的a，b的值；（2）在扇形統計圖中，D組所對應扇形的圓心角為n°，求n的值；（3）求E組共有多少人？（4）該區共有1200名學生參加黨史知識競賽，如果設定獲得一等獎的分數不低于91分，那么請你通過計算估計全區獲得一等獎的人數是多少？49．某學校九年級共有320名學生．為了解該年級學生A，B兩門課程的學習情況，從中隨機抽取60名學生進行測試，獲得了他們的成績（百分制），并對數據（成績）進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．I．A課程成績的頻數分布直方圖如圖（數據分成6組：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；II．A課程成績在70≤x＜80這一組的是：707171717373.574747878.579797979.5Ⅲ．A，B兩門課程成績的平均數、中位數、眾數如下表：課程平均數中位數眾數A75.3m84.5B72.27083根據以上信息，回答下列問題：（1）m＝；（2）在此次測試中，某學生的A課程成績為75分，B課程成績為71分，這名學生成績排名更靠前的課程是（填“A”或“B”），理由是．（3）假設該年級學生都參加此次測試，估計A課程成績超過平均分75.3分的人數．二十九．條形統計圖（共2小題）50．某地區對學生業余愛好進行抽樣調查，被抽取的同學每人在下面五項：“游戲”，“動漫”，“籃球”，“舞蹈”“其它”中選一項最喜歡的活動，并將調查結果繪制成兩幅不完整的統計圖，請根據圖中的信息，解答下列問題：（1）這次抽樣調查中，一共抽查了名學生？（2）請補全條形統計圖；（3）根據調查結果，估計該地區5000名學生中有多少人最喜歡“舞蹈”．51．為積極響應“弘揚傳統文化”的號召，某學校倡導全校開展了以“暢游書海，閱動心智”為主題的讀書活動．學校政教處對本校七年級學生四月份“閱讀該主題相關書籍的讀書量”（下面簡稱：“讀書量”）進行了隨機抽樣調查，并對所有隨機抽取學生的“讀書量”（單位：本）進行了統計，如圖所示．根據以上信息，解答下列問題：（1）補全兩幅統計圖，本次所抽取學生四月份“讀書量”的眾數為本；（2）求本次所抽取學生四月份“讀書量”的平均數；（3）已知該校七年級有1200名學生，請你估計該校七年級學生中，四月份“讀書量”為5本的學生人數．三十．列表法與樹狀圖法（共8小題）52．湯姆斯杯世界男子羽毛球團體賽小組賽比賽規則：兩隊之間進行五局比賽，其中三局單打，兩局雙打，五局比賽必須全部打完，贏得三局及以上的隊獲勝．假如甲，乙兩隊每局獲勝的機會相同．（1）若甲隊在前兩局比賽中已取得2：0的領先，那么甲隊最終獲勝的概率是多少？（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法給出分析過程）（2）若甲隊在第一局比賽中已取得1：0的領先，那么甲隊最終獲勝的概率為．（請值接寫出答案）53．進出校園測量體溫是學校常態化疫情防控的重要舉措，學校有A、B兩個測溫通道，甲、乙、丙三個同學上學進校園，隨機選擇一個通道測量體溫（1）甲同學通過A通道進入校園的概率是；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙、丙三個同學經過同一個通道進校園的概率．54．如圖，高鐵車廂一排有5個座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被過道隔開．甲、乙兩人各買了一張同班次高鐵的車票，假設系統已將兩人分配到同一排，且在同一排分配各個座位的機會是均等的．（1）甲的座位靠窗的概率是；（2）求甲、乙兩人座位相鄰（座位C、D不算相鄰）的概率．55．農歷正月十五是我國的傳統節日—元宵節，這一天人們有吃湯圓的習俗．今年的元宵節，圓圓爸爸給圓圓準備了一碗湯圓，其中一個湯圓是花生餡的，一個湯圓是豆沙餡的，還有兩個湯圓是芝麻餡的，這四個湯圓除了餡不同以外，其他都一樣．（1）圓圓吃了其中兩個湯圓，求這兩個湯圓都是芝麻餡的概率；（2）圓圓吃了三個湯圓后，剩下的湯圓是芝麻餡的概率是．56．小明在學習完電學知識后，用四個開關A、B、C、D，一個電源和一個燈泡設計了一個如圖所示的電路圖．（1）在開關A閉合的情況下，任意閉合B、C、D中的一個開關，則燈泡發光的概率等于；（2）任意閉合其中兩個開關，請用樹狀圖或列表的方法求出燈泡發光的概率．57．一個不透明的袋子中裝有2個紅球，1個黃球，1個白球，這些球除顏色外無其他差別．（1）從袋子中隨機摸出1個球，不放回，再隨機摸出1個球．求兩次摸出的球都是紅球的概率．（2）從袋子中隨機摸出1個球，摸出的是紅球得6分，黃球得4分，白球得2分．甲同學從袋子中隨機摸出1個球，記下顏色后放回并搖勻，乙同學再隨機摸出1個球．則甲，乙兩位同學所得分數之和不低于10分的概率是．58．為做好新冠疫情大規模人群核酸檢測工作，確保在規定時間內保質保量完成劃定區域范圍內全員核酸檢測任務，檢測機構在某小區設立A、B、C三個檢測點進行核酸檢測，該小區業主可在A、B、C三個檢測點隨機進行檢測，張三和李四均按規定完成了核酸檢測．（1）張三在檢測點A做核酸檢測的概率為；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法求張三和李四在同一個檢測點做核酸檢測的概率．59．一個不透明的盒子中放有四張分別寫有數字1，2，3，4的紅色卡片和三張分別寫有數字1，2，3的藍色卡片，卡片除顏色和數字外完全相同．（1）從中任意抽取一張卡片，求該卡片上寫有數字1的概率；（2）將3張藍色卡片取出后放入另外一個不透明的盒子內，然后在兩個盒子內各任意抽取一張卡片，以紅色卡片上的數字作為十位數，藍色卡片上的數字作為個位數組成一個兩位數，求這個兩位數不大于32的概率．三十一．游戲公平性（共1小題）60．如圖，有四張正面標有數字﹣2，﹣1，0，1，背面顏色一樣的卡片，正面朝下放在桌面上，小紅從四張卡片中隨機抽取一張卡片記下數字，小明再從余下的三張卡片中隨機抽取一張卡片記下數字．設小紅抽到的數字為x，小明抽到的數字為y，點A的坐標為（x，y）．（1）請用列表法或畫樹狀圖的方法列出點A所有結果；（2）若點A在坐標軸上，則小紅勝；反之，則小明勝．請你用概率的相關知識解釋這個游戲是否公平？參考答案與試題解析一．解一元二次方程-公式法（共1小題）1．（1）解不等式組：；（2）解方程：（x+1）（x﹣3）＝1．【解答】解：（1）解不等式4（x﹣1）＞x+2，得：x＞2，解不等式＞x，得：x＜3.5，∴不等式組的解集為2＜x＜3.5；（2）將方程整理為一般式為x2﹣2x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，則x＝＝＝1，∴x1＝1+，x2＝1﹣．二．一次函數的應用（共5小題）2．為豐富學生的業余生活，學校準備購進甲、乙兩種暢銷圖書．經調查，甲種圖書的總費用y（元）與購進本數x之間的函數關系如圖所示，乙種圖書每本20元．（1）直接寫出當0≤x≤100和x＞100時，y與x的函數關系式；（2）現學校準備購買300本圖書，且兩種圖書均不少于80本，該如何購買，才能使總費用最少？最少的總費用為多少元？【解答】解：（1）當0≤x≤100時，設y＝kx，把（100，2500）代入得，k＝25，當x＞100時，設y＝kx+b，把（100，2500）和（150，3450）代入得，，解得，所以y與x的關系式為y＝；（2）設總費用為w元，由題意得，80≤x≤220，當80≤x≤100時，w＝25x+20（300﹣x）＝5x+6000，∵k＞5，w隨x的增大而增大，∴當x＝80時，w最少＝5×80+6000＝6400；當100＜x≤220時，w＝19x+600+20（300﹣x）＝﹣x+6600，∵k＜0，w隨x的增大而減小，∴當x＝220時，w最少＝﹣220+6600＝6380，∵6380＜6400，∴當x＝220時，總費用最少是6380元．此時乙種圖書是80本，答：應購買甲種圖書220本，乙種圖書80本，才能使總費用最少，最少是6380元．3．某個體服裝店從批發商處了解到甲、乙、丙三種運動套裝的部分價格如表：價格甲乙丙批發價（元/套）170150200零售價（元/套）250245290（1）已知服裝店第一次批發只購進乙20套，丙30套，共花費9000元，且乙每套的批發價比丙低50元，求乙、丙每套的批發價．（2）由于銷量好，第一次購進的運動套裝以零售價的價格全部售完，服裝店用第一次的全部銷售收入再批發購進甲、乙，丙三種運動套裝，且購進乙，丙套裝的數量相等，但乙的批發價每套比原來提高α%，丙的批發價每套比原來下降α%．①若服裝店第二次批發購進乙，丙兩種套裝分別花費3600元、3200元，求a的值．②在a的值不變的前提下，服裝店把第一次的銷售收入全用于第二次批發，若第二次以零售價的價格銷售完這三種運動套裝所得利潤為w元，當甲的數量不少于23套時，求w的最大值．【解答】解：（1）設乙每套的批發價為x元，則丙每套的批發價為（x+50）元，根據題意得：20x+30（x+50）＝9000，解得x＝150，∴x+50＝150+50＝200（元），答：乙每套的批發價為150元，則丙每套的批發價為200元；故答案為：150，200；（2）①由題意得：＝，解得a＝20，答：a的值為20；②第一次的銷售收入為20×245+30×290＝13600（元），設第二次購進甲種套裝m套，則購進乙、丙兩種套裝各＝（40﹣m）套，依題意得：w＝（250﹣170）m+[245﹣150×（1+20%）]（40﹣m）+[290﹣200×（1﹣20%）]（40﹣m）＝﹣m+7800，∵﹣＜0，∴w隨m的增大而減小，又∵m≥23，且（40﹣m）為正整數，∴m的最小值為24，∴當m＝24時，w取得最大值，最大值＝﹣×24+7800＝7380（元）．答：w的最大值為7380元．4．甲、乙兩人從A地前往B地，先到終點的人在原地休息．已知甲先出發30s后，乙才出發．在運動過程中，甲、乙兩人離A地的距離分別為y1（單位：m）、y2（單位：m），都是甲出發時間x（單位：s）的函數，它們的圖象如圖①．設甲的速度為v1m/s，乙的速度為v2m/s．（1）v1：v2＝5：6，a＝75；（2）求y2與x之間的函數表達式；（3）在圖②中畫出甲、乙兩人之間的距離s（單位：m）與甲出發時間x（單位：s）之間的函數圖象．【解答】解：（1）由圖可得，180v1＝（180﹣30）v2，解得v1：v2＝5：6，乙的速度為：1200÷（430﹣30）＝3（m/s），∴甲的速度為：3×＝2.5（m/s），∴a＝30×2.5＝75，故答案為：5：6，75；（2）設y2與x之間的函數表達式是y2＝kx+b，∵點（30，0）和點（430，1200）在該函數圖象上，∴，解得，即y2與x之間的函數表達式是y2＝3x﹣90；（3）由題意可得，當x＝30時，此時s＝75；當x＝180時，s＝0，當x＝430時，s＝（430﹣180）×（3﹣2.5）＝125，當x＝1200÷2.5＝480時，s＝0，由圖①和題意可知：當0≤x≤30時，s隨x的增大而增大，符合正比例函數；當30＜x≤180時，s隨x的增大而減小，符合一次函數；當180＜x≤430時，s隨x的增大而增大，符合一次函數；當430＜x≤480時，s隨x的增大而減小，符合一次函數；圖象如右圖所示．5．某游泳館推出了A、B兩種季度套餐，選擇這兩種套餐消費時，一個季度的費用y（元）與該季度游泳時長x（小時）之間的函數關系如圖所示．（1）分別求出這兩種套餐消費時，y與x之間的函數關系式；（2）請通過計算說明，一個季度的游泳時長少于多少時選擇A套餐更省錢；（3）小明估計了自己本季度的游泳時長后，選擇了B套餐，因為這樣可比選擇A種套餐游泳平均小時節省5元，求小明估計自己本季度的游泳時長．【解答】解：（1）設yA＝k1x，根據題意得6k1＝180，解得k1＝30，∴yA＝30x；設yB＝k2x+b，根據題意得：，解得，∴yB＝20x+100；（2）由題意，得30x＜20x+100，解得x＜10，答：當時長小于10時，選擇A套餐更省錢；（3）由題意，得30x﹣（20x+100）＝5x，解得x＝20，答：小明估計自己本季度的游泳時長為20小時．6．2022年3月以來，我國新冠疫情發生頻次明顯增加，感染人數快速增長，波及范圍不斷擴大．疫情防控形勢變得嚴峻復雜，全社會要有長期抗疫準備，堅信經過全人類共同努力，一定能夠戰勝疫情．為此某市應急管理主管部門積極儲備防疫物資，在一次采購方案中，準備租用A、B兩種型號貨車共20輛，把醫用物資380噸，生活物資324噸全部運到應急物資儲備中心．已知一輛A型貨車可同時裝醫用物資20噸，生活物資15噸；一輛B型貨車可同時裝醫用物資18噸，生活物資18噸，設租用A型貨車x輛．（1）若將這次采購物資一次性運到應急物資儲備中心，有哪幾種租車方案；（2）若A型貨車每輛需付燃油費2000元，B型貨車每輛需付燃油費1800元，設所付燃油總費用為y元，求y與x的函數關系式，并求出哪種租車方案燃油總費用最少，最少為多少元？【解答】解：（1）根據題意得：，解得：10≤x≤12，∵x為正整數，∴x可以取10、11、12，共三種方案，方案一：租用A型貨車10輛，B型貨車10輛，方案二：租用A型貨車11輛，B型貨車9輛，方案三：租用A型貨車12輛，B型貨車8輛．（2）所付燃油總費用為y＝2000x+1800（20﹣x）＝200x+36000，∵200＞0，∴y隨x增大而增大，∴當x＝10時，y最小，最小值為200×10+36000＝38000元，答：租用A型貨車10輛，B型貨車10輛，費用最少，最少費用為38000元．三．反比例函數與一次函數的交點問題（共1小題）7．如圖，一次函數y＝kx+b與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于A（，4）、B（n，2）兩點．（1）求m、n的值；（2）求一次函數的解析式；（3）求△AOB的面積．【解答】解：（1）將A點代入y＝得，m＝6．∴反比例函數解析式為：y＝，將B（n，2）代入y＝得，n＝3．（2）∵一次函數y＝kx+b經過A、B兩點，∴，解得：，∴一次函數的解析式為：．（3）設直線與x軸的交點為C，把y＝0代入，則﹣x+6＝0，解得x＝，∴C（，0），∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×4×﹣×2×＝．四．反比例函數綜合題（共1小題）8．如圖，直線y＝2x+6與反比例函數y＝（k＞0）的圖象交于點A（m，8），與x軸交于點B，平行于x軸的直線y＝n（0＜n＜6）交反比例函數的圖象于點M，交AB于點N，連接BM．（1）求m的值和反比例函數的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出當x＞0時不等式2x+6﹣＞0的解集；（3）直線y＝n沿y軸方向平移，當n為何值時，△BMN的面積最大？最大值是多少？【解答】解：（1）∵直線y＝2x+6經過點A（m，8），∴2×m+6＝8，解得m＝1，∴A（1，8），∴m＝2×1+6＝8，∴反比例函數的解析式為y＝．（2）不等式2x+6﹣＞0的解集為x＞1．（3）由題意，點M，N的坐標為M（，n），N（，n），∵0＜n＜6，∴＜0，∴﹣＞0∴S△BMN＝|MN|×|yM|＝×（﹣）×n＝﹣（n﹣3）2+，∴n＝3時，△BMN的面積最大，最大值為．五．二次函數與不等式（組）（共1小題）9．已知二次函數y＝x2﹣2（p+1）x+q的圖象經過（1，0）、（0，﹣5）兩點．（1）求p、q的值；（2）點A（x1，y1）、B（x2，y2）是該函數圖象上兩點，若x1+x2＝2，求證y1+y2＞0．【解答】解：（1）將（1，0）、（0，﹣5）代入y＝x2﹣2（p+1）x+q得，解得．（2）由（1）得y＝x2+4x﹣5，∵點A（x1，y1）、B（x2，y2）是該函數圖象上兩點，∴y1＝x+4x1﹣5，y2＝x+4x2﹣5，∴y1+y2＝x+x+4（x1+x2）﹣10，∵x1+x2＝2，∴x2＝2﹣x1，∴y1+y2＝x+（2﹣x1）2﹣2＝2x﹣4x1+2＝2（x1﹣1）2，∵點A，B是圖象上兩點，∴x1≠x2≠1，∴y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．六．二次函數的應用（共2小題）10．北京冬奧會推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人們的喜愛，銷售火爆，某經銷商以60元/個的價格購進了一批“冰墩墩”擺件，打算采取線下和線上兩種方式銷售，調查發現線下每周銷量y個與售價x元/個（x＞60）滿足一次函數關系：售價x（元/個）…8090100…銷量y（個）…400300200…線下銷售，每個擺件的利潤不得高于進價的80%；線上售價為100元/個，供不應求．（1）求y與x的函數表達式；（2）若該經銷商共購進“冰墩墩”1000個，一周內全部售完．如何分配線下和線上的銷量，可使全部售完后獲得的利潤最大，最大利潤是多少？（不計其它成本）【解答】解：（1）設y與x的函數表達式為y＝kx+b，則，解得：，∴y與x的函數表達式為y＝﹣10x+1200；（2）當線下銷量為（﹣10x+1200）個時，線上銷量為1000﹣（﹣10x+1200）＝（10x﹣200）個，設全部售完后獲得的利潤為w元，根據題意得：w＝（x﹣60）（﹣10x+1200）+（100﹣60）（10x﹣200）＝﹣10x2+2200x﹣80000＝﹣10（x﹣110）2+41000，∵線下銷售，每個擺件的利潤不得高于進價的80%，∴x﹣60≤60×80%，解得：x≤108，∵﹣10＜0，對稱軸為x＝110，∴當x＝108時，w有最大值，最大值為40960，此時線下銷售量為﹣10x+1200＝120（個），線上銷售量為1000﹣120＝880（個）．答：線下銷售120個，線上銷售880個時可使全部售完后獲得的利潤最大，最大利潤是40960元．11．2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市場對口罩的需求量仍然較大．某公司銷售一種進價為12元/袋的口罩，其銷售量y（萬袋）與銷售價格x（元/袋）的變化如表：價格x（元/袋）…14161820…銷售量y（萬袋）…5432…另外，銷售過程中的其他開支（不含進價）總計6萬元．（1）根據表中數據變化規律及學過的“一次函數、二次函數、反比例函數”知識，請判斷銷售量y（萬袋）與價格x（元/袋）滿足什么函數？并求出y與x之間的函數表達式；（2）設該公司銷售這種口罩的凈利潤為w（萬元），當銷售價格定為多少元時凈利潤最大，最大值是多少？【解答】解：（1）根據表格中數據可得出：y與x是一次函數關系，設解析式為：y＝ax+b，則，解得：a＝﹣，b＝12，故函數解析式為：y＝﹣x+12．（2）根據題意得出：w＝（x﹣12）y﹣6，＝（x﹣12）（﹣x+12）﹣6＝﹣x2+18x﹣150＝﹣（x2﹣36x）﹣150＝﹣（x﹣18）2﹣150+162＝﹣（x﹣18）2+12，故銷售價格定為18元/袋時凈得利潤最大，最大值是12萬元．七．二次函數綜合題（共3小題）12．閱讀下面的問題及其解決途徑．問題：將函數y＝2x﹣3的圖象向右平移2個單位長度，所得到的圖象對應的函數表達式是什么？結合閱讀內容，完成下面的問題．（1）填寫下面的空格．問題：將函數y＝的圖象向左平移1個單位長度，所得到的圖象對應的函數表達式是什么？（2）將函數y＝﹣2x2+3x+1的圖象沿y軸翻折，所得到的圖象對應的函數表達式為y＝﹣2x2﹣3x+1．（3）將函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的圖象先向左平移1個單位長度，再沿y軸翻折，最后繞原點旋轉180°，求所得到的圖象對應的函數表達式．【解答】解：（1）將P（x，y）向右平移1個單位后，P′坐標為（x+1，y），平移后的圖象對應的函數表達式為y＝，故答案為：x+1，y；．（2）設函數y＝﹣2x2+3x+1的圖象的任意點P坐標為（x，y），將P關于y軸翻折后得到P′（﹣x，y），∴平移后的圖象對應的函數表達式為y＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．故答案為：y＝﹣2x2﹣3x+1．（3）方法一設變換后新的函數圖像上任意點P的坐標為（x，y）．將點P（x，y）繞原點旋轉180°，得點P'（﹣x，﹣y）．將點P'（﹣x，﹣y）沿y軸翻折，得點P''（x，﹣y）．將點P''（x，﹣y）向右平移1個單位長度，得點P'''（x+1，﹣y）．因為點P'''在函數y＝ax2+bx+c的圖像上，所以﹣y＝a（x+1）2+b（x+1）+c．即所得到的圖像對應的函數表達式是y＝﹣ax2﹣（2a+b）x﹣a﹣b﹣c．方法二原函數可化為y＝a（x+）2+．將函數y＝a（x+）2+的圖像向左平移1個單位長度，得函數y＝a（x++1）2+的圖像．將函數y＝a（x++1）2+的圖像沿y軸翻折，得函數y＝a（x﹣﹣1）2+的圖像．將函數y＝a（x﹣﹣1）2+的圖像繞原點旋轉180°，得函數y＝﹣a（x++1）2﹣的圖像．∴所得到的圖像對應的函數表達式是y＝﹣a（x++1）2﹣．13．已知二次函數y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m為常數）．（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；（2）二次函數的圖象與x軸交于點M，N，與y軸交于點P，若△MNP是等腰直角三角形，則m的值為﹣1；（3）點A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函數的圖象上，當y1?y2?y3＜0時，結合函數圖象，直接寫出m的取值范圍．【解答】（1）證明：令y＝0，則（x﹣m）（x﹣m﹣2）＝0．∴x1＝m，x2＝m+2．∵m≠m+2，∴該方程有兩個不相等的實數根．∴不論m為何值，該函數圖像與x軸有兩個不同的公共點．（2）由（1）知M（m+2，0），N（m+2，0），令x＝0，得y＝m2+2m，∴P（0，m2+2m）．由題意得，△MNP是等腰直角三角形，∴m2+2m＝﹣1，解得m＝﹣1．故答案為：﹣1；（3）法一：根據題意可知，需要分三種情況：①當有1個點在x軸下方時，有m＜1＜m+2＜2＜3或1＜2＜m＜3＜m+3，解得﹣1＜m＜0或2＜m＜3；②當有3個點在x軸下方時，∵m+2﹣m＝2＜3，∴此種情況不存在；綜上可知，m的取值范圍為：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．法二：由題意可知，y1＝（1﹣m）（1﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m+1），y2＝（2﹣m）（2﹣m﹣2）＝m（m﹣2），y3＝（3﹣m）（3﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m﹣3），∵y1?y2?y3＜0，∴（m﹣1）（m+1）?m?（m﹣2）?（m﹣1）（m﹣3）＜0，即m（m+1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣1）2＜0，∵（m﹣1）2≥0，∴m，（m+1），（m﹣2），（m﹣3）的負數有奇數個，且m+1＞m＞m﹣2＞m﹣3，當負數有1個時，m﹣3＜0且m﹣2＞0，∴2＜m＜3；當負數有3個時，m+1＞0且m＜0，∴﹣1＜m＜0，∴m的取值范圍為：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．14．已知拋物線y＝x2﹣x﹣6與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．（1）①點B的坐標為（3，0）；直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣6；②如圖1，若點D是直線AC下方拋物線上的一個動點（點D不與點A、C重合），求△DAC面積的最大值；（2）如圖2，若點M是線段AC上一動點（不與A、C重合），點N是線段AB上一點，設AN＝t，當t在何范圍取值時，點M總存在兩個不同的位置使∠BMN＝∠BAM；（3）如圖3，點G是x軸上方的拋物線上一點，若∠AGB+2∠BAG＝90°，請直接寫出點G的橫坐標為．【解答】解：（1）①點B的坐標為（3，0），直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣6；②當x＝﹣1時，△DAC面積的最大值＝1．（2）如圖2，過點M作MT⊥x軸于T，∵直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣6，點M是線段AC上一個動點，∴設M（m，﹣3m﹣6），且﹣2＜m＜0，則T（m，0），∴OT＝﹣m，MT＝3m+6，BT＝3﹣m，∵∠BMN＝∠BAM，∠MBN＝∠ABM，∴△BMN∽△BAM，∴，∴BM2＝BA?BN，Rt△BMT中，BM2＝MT2+BT2＝（3m+6）2+（3﹣m）2＝10m2+30m+45，∵AN＝t，AB＝5，∴10m2+30m+45＝5（5﹣t），∴10m2+30m+20+5t＝0，∵點M總存在兩個不同的位置使∠BMN＝∠BAM，∴此方程有兩個不相等的實數根，∴Δ＝302﹣4×10?（20+5t）＞0，解得：t＜，∴t滿足的條件為：0＜t＜．（3）點E橫坐標為．如圖3，設G（n，n2﹣n﹣6），過點G作GH⊥x軸于H，連接GB，作∠AGB的平分線交x軸于E，過點E作EF⊥x軸交AG于F，則∠AGE＝∠BGE＝∠AGB，∵∠AGB+2∠BAG＝90°，∴∠AGB+∠BAG＝45°，∴∠AGE+∠BAG＝45°，∴∠GEH＝45°，∵∠EHG＝90°，∴△EHG是等腰直角三角形，∴∠EGH＝45°，GH＝EH＝n2﹣n﹣6，∵BH＝n﹣3，∴BE＝EH﹣BH＝n2﹣n﹣6﹣（n﹣3）＝n2﹣2n﹣3，∵EF⊥x軸，HG⊥x軸，∴EF∥HG，∴∠FEG＝∠EGH＝45°，∴∠FEG＝∠BEG，∴△GFE≌△GBE（ASA），∴EF＝EB＝n2﹣2n﹣3，AH＝n+2，∴AE＝AB﹣EB＝5﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+2n+8，∵EF∥GH，∴△AEF∽△AHG，∴，∴EF?AH＝AE?HG，∴（n2﹣2n﹣3）（n+2）＝（﹣n2+2n+8）（n2﹣n﹣6），∵G是x軸上方的拋物線上一點，∠BAG為銳角，∴點G在第一象限的拋物線上，∴n＞3，∴n2﹣n﹣7＝0，解得：，∵n＝3，不符合題意，舍去，∴點E橫坐標為．八．三角形綜合題（共1小題）15．【問題背景】在一次數學興趣小組活動中，小軍對蘇科版數學九年級教材第42頁的第4題很感興趣．教材原題：如圖1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中點．點B、C、D、E是否在以點M為圓心的同一個圓上？為什么？小軍在完成此題解答后提出：如圖2，若BD、CE的交點為點O，則點A、D、O、E四點也在同一個圓上．（1）請對教材原題或小軍提出的問題進行解答．（選擇一個解答即可）【直接應用】當大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級通過畫圖歸納出的一個結論：三角形的三條高所在直線交于同一點，可通過上面的結論加以解決．（2）如圖3，△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，連接AO并延長交BC于點F．求證：AF為△ABC的邊BC上的高．【拓展延伸】在大家完成討論后，曾老師根據大家的研究提出一個問題：（3）在（2）的條件下連接DE、EF、FD（如圖4），設∠DEF＝α，則∠AOB的度數為90°+．（用含α的式子表示）【解答】解：（1）選擇教材原題，點B、C、D、E是否在以點M為圓心的同一個圓上．如圖，連接ME、MD，∵BD、CE是△ABC的高，M是BC的中點，∴ME＝MB＝MC＝MD，∴點B、C、D、E是否在以點M為圓心的同一個圓上．（2）如圖，連接DE，由點B、C、D、E四點共圓得∠BDE＝∠ECB，由點A、D、O、E四點共圓得∠BDE＝∠BAF，∴∠ECB＝∠BAF，∵∠BEC＝90°，∴∠ECB+∠ABF＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠BFA＝90°，∴AF為△ABC的邊BC上的高．（3）如圖，∵∠BEO＝∠BFO＝90°，∴點B、F、O、E在以點N為圓心的同一個圓上，∴∠FBO＝∠FEO，∵由（1）證得點B、C、D、E在同一個圓上，∴∠FBO＝∠CED，∴∠FEO＝∠CED，同理可證：∠EFO＝∠AFD，∠EDO＝∠FDO，∴點O是△DEF的內心．∴∠AOB＝90°+．九．平行四邊形的判定（共1小題）16．已知：如圖，點B，E，F，C在同一條直線上，AB∥CD，且AB＝CD，BF＝CE．（1）求證：△ABE≌△DCF；（2）求證：四邊形AEDF是平行四邊形．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵BF＝CE，∴BF﹣EF＝CE﹣EF，即BE＝CF，在△ABE與△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）；（2）證明：∵△ABE≌△DCF，∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC，∴∠AEF＝∠DFE，∴AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形．一十．平行四邊形的判定與性質（共1小題）17．在?ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，連接BF，DE，M，N分別是BF，DE的中點，連接EM，FN．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，則四邊形ABCD的面積為96．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC．∵E，F分別是AB，CD的中點，∴BE＝AB，DF＝DC，∴BE＝DF，∵BE∥DF∴四邊形BFDE是平行四邊形；（2）解：連接EF，∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴DE＝BF，∵M，N分別是BF，DE的中點，∴EN＝DN＝BM＝FM＝BF，∵EM＝EN＝5，∴EM＝BF，∴∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10，∵AB＝12，∴BE＝6，∴EF＝＝8，∴四邊形ABCD的面積為AB?EF＝12×8＝96，故答案為：96．十一．菱形的性質（共1小題）18．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E．（1）求證：四邊形ACDE是平行四邊形；（2）若AC＝12，BD＝9，求△ADE的周長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∵DE⊥BD，∴DE∥AC，∴四邊形ACDE是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝9，∴AO＝AC＝6，DO＝BD＝，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴CD＝AD＝＝＝，由（1）得：四邊形ACDE是平行四邊形，∴AE＝CD＝，DE＝AC＝12，∴△ADE的周長＝AD+AE+DE＝++12＝27．十二．菱形的判定（共1小題）19．如圖，在四邊形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）以下條件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一個替換（1）中的“AD∥BC”，也可以證明四邊形ABCD是菱形，那么可以選擇的條件是①②（填寫滿足要求的所有條件的序號）．【解答】（1）證明：∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD．∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°．∴∠C+∠B＝180°．∴AB∥CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．（2）解：∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD．∵①∠BAD＝∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD．連接BD，∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，又∵②AB＝CD，∴AB＝AD＝BC＝CD，∴四邊形ABCD是菱形，故答案為：①②．十三．矩形的判定（共1小題）20．如圖，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．求證：（1）△ABF≌△DEC；（2）四邊形BCEF是矩形．【解答】證明：（1）∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，在△ABF與△DEC中，，∴△ABF≌△DEC（SAS）；（2）∵△ABF≌△DEC，∴EC＝BF，∠ECD＝∠BFA，∴∠ECF＝∠BFC，∴EC∥BF，∴四邊形BCEF是平行四邊形，∵∠CEF＝90°，∴四邊形BCEF是矩形．十四．四邊形綜合題（共1小題）21．如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝5，∠B＝90°．點M在邊AD上，AM＝2，點N是邊BC上一動點．以MN為斜邊作Rt△MNP，若點P在四邊形ABCD的邊上，則稱點P是線段MN的“勾股點”．（1）如圖①，線段MN的中點O到BC的距離是C．A．B．C．3D．2（2）如圖②，當AP＝2時，求BN的長度．（3）是否存在點N，使線段MN恰好有兩個“勾股點”？若存在，請直接寫出BN的長度或取值范圍；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1，過點M作MQ⊥AB交BA的延長線于點Q，過點O作OE⊥BC，垂足為E，過點M作MF⊥BC于點F，連接AC，∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D＝∠B＝90°，∵AD＝5，DC＝5，∴AC＝＝＝10，∴∠DAC＝∠BAC＝∠QAM＝60°，∠DCA＝∠BCA＝∠QMA＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∠DCA＝∠BCA＝30°，∴QA＝1，QM＝，∵MQ⊥AB，OE⊥BC，∠B＝90°，∴四邊形MQBF是矩形，∴MF＝QB＝AB+QA＝5+1＝6，∵MF⊥CB，OE⊥BC，∴OE∥MF，∴，∵OM＝ON，∴NE＝EF，∴OE＝MF＝3，故選：C；（2）過點M作MQ⊥AB交BA的延長線于點Q，∵點P是線段MN的“勾股點”，∴∠MPN＝90°，∴∠QPM＝∠BNP，又∵∠Q＝∠B＝90°，∴△QPM∽△BNP，∴，∴，∴BN＝3；（3）①如圖，以MN為直徑的圓經過點A時，此時線段MN恰好有兩個“勾股點”，∵∠NAM＝∠D＝90°，∴AN∥CD，∴∠C＝∠BNM＝60°，∴BN＝＝＝，如圖，當BN＝時，線段MN有一個“勾股點”，∴當0＜BN＜且BN≠時，線段MN恰好有兩個“勾股點”；②如圖，當以MN為直徑的圓經過點C和D時，此時線段MN恰好有兩個“勾股點”，∴BN＝BC＝5．綜上所述，當0＜BN＜且BN≠或BN＝5時，線段MN恰好有兩個“勾股點”．十五．圓內接四邊形的性質（共1小題）22．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為E．（1）若∠BAC＝40°，則∠ADC＝110°；∠DAC＝20°（2）求證：∠BAC＝2∠DAC；（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°；∵AC⊥BD，∴∠CBD＝90°﹣∠ACB＝20°，∴∠DAC＝∠DBC＝20°；故答案為：110，20；（2）證明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；（3）解：過A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，∴∠CAG＝∠CAH，過C作CG⊥AD交AD的延長線于G，∴∠G＝∠AHC＝90°，∵AC＝AC，∴△AGC≌△AHC（AAS），∴AG＝AH，CG＝CH，∵∠CDG＝∠ABC，∴△CDG∽△ABH，∴＝＝，∴，設BH＝k，AH＝2k，∴AB＝＝k＝10，∴k＝2，∴BC＝2k＝4．十六．三角形的外接圓與外心（共1小題）23．如圖①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圓⊙O上一點，連接CD，過點B作BE∥CD，交AD的延長線于點E，交⊙O于點F．（1）求證：四邊形DEFC是平行四邊形；（2）如圖②，若AB為⊙O直徑，AB＝7，BF＝1，求CD的長．【解答】（1）證明：∵BE∥CD，∴∠ADC＝∠E，∵AC＝BC，∴＝，∴∠ADC＝∠BFC，∴∠BFC＝∠E，∴ED∥FC，∴四邊形DEFC是平行四邊形；（2）解：如圖②，連接AF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠AFB＝∠AFE＝90°，∵AB＝7，BF＝1，∴AF＝＝＝4，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠BFC＝∠BAC＝45°，∵DE∥CF，∴∠E＝∠BFC＝45°，∴△AFE是等腰直角三角形，∴EF＝AF＝4，∵四邊形DEFC是平行四邊形，∴CD＝EF＝4．十七．直線與圓的位置關系（共2小題）24．如圖，△ABD內接于⊙O，AB是直徑，E是上一點，且DE＝DA，連接AE交BD于F，在BD延長線上取點C，使得∠CAD＝∠EAD．（1）試判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若AE＝24，tanE＝，求⊙O的半徑長．【解答】解：（1）直線AC與⊙O相切，理由：∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，∵AD＝DE，∴∠E＝∠EAD，∵∠E＝∠B，∠CAD＝∠EAD，∴∠CAD＝∠B，∴∠B+∠C＝90°∴∠BAC＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴直線AC與⊙O相切；（2）過D作DH⊥AE于H，∵DE＝DA，∴AH＝EH＝AE＝12，∵tanE＝tan∠EAD＝＝，∴DH＝9∴AD＝＝＝15，∵∠B＝∠E，∴tanB＝＝，∴BD＝20，∴AB＝＝25，∴⊙O的半徑長為．25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，過點D作DE⊥AC交AC于點E．（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長．【解答】解：（1）直線DE與⊙O的位置關系是相切，理由是：連接AD，OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝BO，∴DO∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴直線DE與⊙O的位置關系是相切；（2）∵⊙O的半徑為5，∴AC＝AB＝10，∵BC＝16，BD＝CD，∴CD＝8，在Rt△ACD中，AD＝＝＝6，∵S△ADC＝AC?DE＝AD?CD，∴DE＝＝＝．十八．切線的判定與性質（共5小題）26．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AB交AB于點E，交AC的延長線于點F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若EB＝1，且sin∠CFD＝，求DF的長．【解答】（1）證明：連接OD，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ODC＝∠B，∴AB∥OD，∴∠BED＝∠EDO＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ODF中，sin∠CFD＝，∴設OD＝3a，OF＝5a，∴AF＝OA+OF＝8a，在Rt△AEF中，sin∠CFD＝，∴AE＝AF＝a，∵AB＝AC＝2OD＝6a，∴AB﹣AE＝BE，∴，∴a＝，∴AE＝4，AF＝，OD＝，∴EF＝，∵AB∥OD，∴△ODF∽△AEF，∴，即解得DF＝．27．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點，∠BAC＝∠DAC，過點C作直線EF⊥AD，交AD的延長線于點E，連接BC．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的長．【解答】（1）證明：連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵∠AEC＝90°，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴EF是⊙O的切線；（2）解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠CAO＝30°，BC＝2，∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，∴OB＝AB＝2，∴的長＝＝π．28．如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，直線l過點C，AD⊥l，交⊙O于點F，垂足為D，BE⊥l，垂足為E，且＝．（1）求證：l與⊙O相切；（2）當AD＝4cm，BE＝1.5cm時，⊙O的半徑為cm．【解答】（1）證明：連接OC．BF，∵＝，OC是⊙O的半徑，∴OC⊥BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，即AF⊥BF，∵AD⊥l，∴BF∥DE，∴OC⊥DE，∵OC是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線，即直線l是⊙O的切線；（2）∵OC⊥DE，AD⊥DE，BE⊥DE，∴OC∥AD∥BE，∵OA＝OB，∴DC＝EC，∴OC是梯形ABED的中位線，∴OC＝（AD+BE）＝（4+1.5）＝，故答案為：．29．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的直線交AB延長線于點D，給出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切線；③OB＝BD．（1）請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，剩下的一條作為結論．你選擇的條件是①②，結論是③（只要填寫序號）．判斷結論是否正確，并說明理由；（2）在（1）的條件下，若CD＝3，求的長度．【解答】解：（1）選擇的條件是①②，結論是③，理由：連接OC，∵∠A＝30°，∴∠COB＝60°，∵CD是⊙O的切線；∴∠OCD＝90°，∴∠D＝30°，∴OC＝OD，∵OB＝OC＝OD，∴OB＝BD，故答案為：①②，③；（2）在Rt△OCD中，∵CD＝3，∠COD＝60°，∴OC＝CD＝3，∴的長度為＝π．30．如圖，已知點A、B、C在⊙O上，點D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E點．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，∠BAC＝30°，求線段BE的長．【解答】（1）證明：連接CO并延長交⊙O于F點，連接BF，∴∠A＝∠F，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠F，∵CF為⊙O直徑，∴∠CBF＝90°，∴∠F+∠BCO＝90°，∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵CF是⊙O的直徑，∴CD是EO的切線；（2）解：連接BO，OC交BE于點G，∵BE∥CD，∴∠OGB＝∠OCD＝90°，∵OB＝OE，∴BE＝2BG，∵同對，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，在Rt△BOG中，BO＝5，∴，∴．十九．圓的綜合題（共1小題）31．如圖，以AB為直徑的半圓中，點O是圓心，點C是半圓上一動點（不與點A，B重合），點E是OC的中點，連接AE并延長到點D，滿足ED＝AE，連接CD、BD．（1）求證：四邊形OBDC是菱形；（2）連接BC，交AD于點F．①當∠ABC＝45度時，CD是⊙O的切線；②若DF＝2，求EF的長．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵點E是OC的中點，∴EC＝EO，∵ED＝AE，∴四邊形AODC是平行四邊形，∴CD∥AB，CD＝OA，∵OB＝OA，∴CD＝OB，∴四邊形OBDC是平行四邊形，∵OC＝OB，∴平行四邊形OBDC是菱形；（2）解：①∠ABC＝45°時，CD是⊙O的切線，理由：∵四邊形OBDC是菱形，∴∠OBD＝∠OCD＝2∠ABC，∵∠ABC＝45°，∴∠OBD＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC為半圓的半徑，∴CD是⊙O的切線，故答案為：45；②∵CD∥OB，∴△CDF∽△BAF，∴＝，由（1）知，CD＝OA＝OB，∴CD＝AB，∴＝，∵AE＝DE＝EF+DF，FD＝2，∴AF＝AE+EF＝2EF+2，＝，∴EF＝1．二十．作圖—復雜作圖（共3小題）32．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，DC＝4，AD＝2，AB＝BC，以AB為直徑的圓O交BC于點E．（1）求⊙O的半徑；（2）用無刻度的直尺在DC邊上作點M，使射線BM平分∠ABC，并求的值．【解答】解：（1）連接AE．∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∵∠ADC＝∠DCE＝∠AEC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴AE＝CD＝4，AD＝CE＝2，設AB＝BC＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+EB2，∴x2＝42+（x﹣2）2，∴x＝5，∴⊙O的半徑為.（2）連接AC，