第九章

機械振動和機械波機械振動：物體在某一位置附近所作的周期性往復運動。波動：振動狀態在空間或媒質中的傳播過程。簡稱為波。機械振動在彈性媒質中的傳播稱為彈性波。變化電場和變化磁場在空間的傳播稱為電磁波。振動:描述物體狀態的物理量在某一數值附近所作的周期性變化。

簡諧振動是最簡單、最基本的振動，是研究各種復雜振動的基礎。振動和波動是緊密聯系的兩種物質運動形式，振動的規律是研究波動的必備基礎。9.1簡諧振動物體運動時，如果離開平衡位置的位移（或角位移）按余弦函數（或正弦函數）的規律隨時間變化，這種運動就稱為簡諧振動。9.1.1簡諧振動的特征和運動方程彈簧振子：一個質量可忽略的彈簧和一個剛體所組成的振動系統。下面以水平彈簧振子為例討論。坐標原點O為平衡位置；取坐標軸x向右，所受彈性力為：負號表示彈性力F的方向與位移的方向相反，始終指向運動物體的平衡位置，故稱之為線性回復力。1、受力特征在線性回復力作用下物體沿x軸圍繞平衡位置O點作周期性往復運動。（2）平衡位置是物體受力為零的位置。（1）位移是相對平衡位置的。說明2、動力學方程特征由牛頓第二定律，有：則有：加速度與離開平衡位置的位移大小成正比，方向相反。令：簡諧振動的動力學微分方程注意：ω僅由系統本身決定，與振動情況無關。若某系統的運動規律滿足上述微分方程，且ω由系統性質決定，則該系統做簡諧振動。（該判斷方法具有一般性，不僅適用于機械振動）。3、運動學方程（振動方程）由：可解得：或：簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運動。A—振幅（離開平衡位置的最大距離）ω—角頻率（2π秒內振動次數或單位時間相位改變）—相位（描述運動狀態的量）—初相位利用上述判據判斷是否做簡諧振動的步驟：(1)確定研究對象，分析受力。(2)找出平衡位置（受合外力為零的點），寫出回復力（或回復力矩）的表達式。(3)寫出動力學方程（利用牛頓第二定律或剛體定軸轉動定律）。4、簡諧振動的判椐若位移x，滿足或或結論：如果質點所受的力可以表示為或質點的位移與時間的關系可以表示為或則質點做簡諧振動。5、簡諧振動的速度和加速度由：

1)v、a與x的ω相同。2)4)三者相位依次差π/2

。3)a與x方向相反，且成正比。說明對時間t求一階和二階導數，得9.1.2描述簡諧振動的特征量(1)振幅A(2)角頻率描述物體振動強弱的物理量描述振動狀態恢復的快慢。周期T

:振動物體作一次完全振動（即一次往復運動）所經歷的時間。單位：秒（s）頻率ν：周期的倒數，即單位時間內物體振動的次數。單位：赫茲（Hz）則稱為角頻率或圓頻率，單位為對于彈簧振子，固有周期固有頻率(3)初相位、相位和相位差—t=0時的相位，反映初始時刻振動物體的運動狀態。初相位—描述物體振動狀態的物理量相位相位差：同相

兩振動步調相反。①同相和反相兩振動步調相同。反相

txoA1A2x1x2同相x2xox1t反相A1A2兩個同頻率的簡諧振動：②超前和滯后x2比x1較早達到正最大。x1比x2較早達到正最大。(4)振幅和初相位的確定由：初始條件：寫為：聯立1)和2)式，得：b）僅由中之一不能決定，需由其中兩個方程可求出。

a）

尚需滿足1）和2）所決定的狀態。注意例題1、單擺：質量m，擺長l，試分析單擺的運動規律。解：單擺受力如圖所示。取逆時針方向為角位移θ的正方向，則重力沿擺球運動軌跡的切向分量為：負號表明該力的方向與角位移的方向相反。若θ很小，則有：即：擺球的切向運動方程為：因此，單擺在小角度下的擺動是簡諧振動。其中：單擺的周期：例題2、

一長為l的均勻細棒懸于其一端的光滑水平軸上，做成一復擺。此擺作微小擺動的周期為多少？解：均勻細棒可看作剛體，分析所受力矩：取逆時針為正方向。θ很小，則：即：由轉動定律：所以是簡諧振動，其周期為：例題3、一質點沿x軸作簡諧振動，其角頻率。在t=0時刻，其初始位移，初始速度。求此簡諧振動的表達式。解：質點的振動方程及速度表達式分別為則根據初始條件可得：將初始條件和角頻率代入振動方程有所以因此可以確定所以該質點作簡諧振動的表達式為例題4、一質點作簡諧振動，其振動曲線如圖所示。求此簡諧振動的表達式。x/m解：質點作簡諧振動，其振動方程及速度表達式分別為由振動曲線可知時，由圖可知，即可以確定則該簡諧振動的表達式為9.1.3簡諧振動的旋轉矢量表示法—振幅A作坐標軸Ox,自O點作一矢量

OM，用表示。

t時刻與x軸的夾角—

相位ωt+

以恒定角速度ω

繞O點作逆時針轉動—角頻率ω在t=0時與x軸的夾角—初相

矢量的端點M在x軸上的投影點P的坐標為：所以，P點的運動為簡諧振動。P點的速度和加速度分別代表著簡諧振動的速度和加速度。例題5、一作簡諧振動的物體，其振動曲線如圖所示。試寫出該振動的表達式。解：振動方程為由振動曲線可知，振幅為t=0時，且其初始速度作旋轉矢量圖，如右圖。可得其振動初相位為又t=1s時，由旋轉矢量圖可知：則振動方程為：例題6、一質點沿x軸作簡諧振動，振幅A=0.12

m，周期T=2

s，當t=0時，質點對平衡位置的位移x0

=0.06m，此時向x軸正向運動。求：(1)此振動的表達式。(2)從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時間。

利用旋轉矢量法求解，根據初始條件就可畫出振幅矢量的初始位置，從而得到：解

(1)取平衡位置為坐標原點。設振動方程為：(2)由旋轉矢量圖可知，從起始時刻到第一次質點通過原點，旋轉矢量轉過的角度為：

v0>0時，在3，4象限。v0

<0時，在1，2象限。

x0

>0

時，在1，4象限。x0<0

時，在2，3象限。討論：9.1.4簡諧振動的能量2、簡諧振動的勢能

1、簡諧振動的動能3、簡諧振動的總能量(以彈簧振子為例)振動能量曲線如右圖①Ep與Ek

振幅相同，變化規律相同，周期相同，相位相反。②系統總能量守恒，與振幅的平方成正比，動能與勢能相互轉換，系統與外界無能量交換（無阻尼自由振動系統）③E∝A2，這是一切振動形式的共同性質。說明9.2簡諧振動的合成9.2.1同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成：則合振動的運動方程：設質點同時參與兩個獨立的同振動方向，同頻率的簡諧振動有:令其中：

合成結果仍為簡諧運動合振動與分振動在同一方向，且有相同頻率。說明：用旋轉矢量法研究同方向、同頻率簡諧振動的合成：由旋轉矢量圖可以直接得到合振動的振幅及初相位。討論：(1)

(2)同相，合振幅最大反相，合振幅最小當A1

=A2時，質點靜止。(3)一般情況（相位差任意）相位差在同頻率簡諧振動合成中起決定性作用9.2.2同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成兩振動的相位差隨時間變化。

一般情況下，合振動不再是簡諧振動。合振動的運動方程為：設兩振動的振幅相同，都為A0，初相相同為。兩頻率都較大，而頻率差很小的情況。合振幅出現時大時小的現象—拍現象討論:x1x2ttxt當

都很大，且相差甚微時，可將視為振幅變化部分，合成振動是以為角頻率的周期振動。單位時間內振動加強或減弱的次數叫拍頻。拍現象的應用：

用音叉振動校準樂器測定超聲波測定無線電頻率調制高頻振蕩的振幅和頻率等9.2.3同頻率相互垂直的兩個簡諧振動的合成消去參數t，得軌跡方程。橢圓方程，形狀決定于分振動的振幅和相位差。運動方程：軌跡：1、兩個分振動同相。合運動是簡諧振動，角頻率與初相不變。運動方程：合運動是簡諧振動，角頻率與初相不變。軌跡：2、兩個分振動反相軌跡：y比x相位超前/2，橢圓軌道運動的方向是順時針，即右旋的。3、軌跡：y比x相位滯后/2，橢圓軌道運動的方向是逆時針，即左旋的。4、9.2.4不同頻率相互垂直的兩個簡諧振動的合成（1）若兩分振動的頻率差異很小，可近似看成同頻率的合成，不過相位差不是定值而是在緩慢地變化，故合振動是不穩定的，由直線→橢圓→直線，重復進行。xA1yo-A1A2-A2A2xA1yo-A2-A1A1yoA2x-A2-A1（2）若兩分振動的頻率差別較大，但有簡單的整數比，則合振動的軌跡是穩定的封閉曲線（李薩如圖形）。9.3阻尼振動、受迫振動和共振9.3.1阻尼振動1、阻尼的分類a、摩擦阻尼：機械能轉化為熱能。b、輻射阻尼：能量輻射出去，形成波（音叉、樂器等）。實驗表明當速度不太大時：為阻尼系數

。動力學方程：振幅隨時間而減小的振動叫做阻尼振動。2、阻尼振動的動力學方程：粘滯阻力：由系統本身的性質決定。

固有角頻率由阻尼系數決定。阻尼因子(1)時，阻尼較小（欠阻尼），此方程的解：式中：3、阻尼振動的動力學方程的解：欠阻尼特點：

振幅隨時間t

作指數衰減。近似為簡諧振動。阻尼振動周期比系統的固有周期長。臨界阻尼：物體不能往復運動的臨界情況。從周期運動變為非周期振動。(3)時，為臨界阻尼。應用：阻尼裝置可應用于機器減振或儀器指針調節。(2)時，阻尼較大（過阻尼）。無振動發生、非周期運動欠阻尼臨界阻尼過阻尼9.3.2受迫振動系統在周期性外力持續作用下所作的等幅振動。1、受迫振動的定義阻尼力:彈性力:2、受迫振動的運動微分方程策動力：在阻尼較小的情況下，微分方程的解為：阻尼振動，隨時間的推移而消失簡諧振動，穩定解。

經一段時間受迫振動變為以策動力的頻率為振動頻率的簡諧振動。其振幅為：初相位：9.3.3共振當策動力的角頻率為某一定值時,受迫振動的振幅達到最大值的現象稱為位移共振。共振的振幅共振的角頻率

位移共振時，振幅最大，系統形變最大。1、位移共振：2、速度共振：當策動力的角頻率為某一定值時,受迫振動的速度振幅達到最大值的現象稱為速度共振。共振的角頻率注意：位移共振與速度共振，條件不同。速度共振時，速率最大，系統動能最大。也稱能量共振。共振的速度振幅速度振幅隨阻尼的減小而增大,但共振頻率皆為3、共振的危害及應用：利：樂器利用之可提高音效、電磁共振選臺(收音機)、核磁共振。害：橋梁、建筑物等。1940年11月7日塔科瑪海峽大橋的共振斷塌。1940年7月1日通車，四個月后戲劇性地被微風摧毀9.4機械波的產生和傳播9.4.1機械波的產生3、橫波和縱波(1)橫波:傳播方向與振動方向垂直（如：繩上波）

任一波，例如水波、地表波，都能分解為橫波與縱波來進行研究。2、機械波產生的條件:

(1)要有振源(波源)；(2)要有傳播振動的彈性媒質。1、機械波:機械振動在彈性媒質中的傳播。(2)縱波:傳播方向與振動方向平行（如：聲波）橫波有波峰和波谷；只能在固體中傳播?？v波有疏部和密部；可在固體、液體和氣體中傳播。由彈性力結合的連續媒質注意：波動只是振動狀態在媒質中的傳播，不論橫波還是縱波，在傳播過程中，媒質中各質點并不隨波前進，只是在各自的平衡位置附近振動。(2)波前:某時刻在最前面的波面(3)波射線:沿波的傳播方向作的射線,簡稱波線在各向同性均勻介質中，波線與波面垂直.(1)波面:t時刻相位相同的點組成的空間曲面(波陣面)4、波的幾何描述——波面、波線、波前波面波線波線波面可用任意一條波線上的波動情況代表整個波的傳播情況。9.4.2描寫波動的物理量橫波:相鄰的兩個波峰（或波谷）之間的距離;

縱波:相鄰的兩個密部（或疏部）之間的距離。波長反映了波的空間周期性。1、波長:同一波線上相鄰的、相位差為2π的兩質元間的距離。

即一個完整波形的長度.（）2、周期：波前進一個波長的距離所需要的時間，或一個完整的波通過波線上某一點所需要的時間（T）周期反映了波的時間周期性。3、頻率：單位時間內波前進距離中所包含的完整波的數目。（

）4、波速：在波動過程中，某一振動狀態在單位時間內傳播的距離叫做波速，也稱相速。（u

）②液體、氣體中(僅有縱波)B——液體或氣體的容變彈性模量ρ——媒質的密度①固體中橫波:縱波:其中:G——切變彈性模量Y——楊氏彈性模量

——固體媒質的密度③柔繩和弦線中橫波其中:F—張力μ—質量線密度說明：3）波長由波源和媒質共同決定。同一頻率的波其波長將隨媒質的不同而不同。僅由波源決定，與媒質無關。1）2）波速的大小取決于媒質，與頻率無關。5、波程差對應的相位差波線上相距為的兩點間的相位差為由于波線上單位長度對應的相位差為，所以：9.5平面簡諧波在平面波的傳播過程中，若波源作簡諧振動，媒質中各質元均按余弦（或正弦）規律振動，則此平面波稱為平面簡諧波。9.5.1平面簡諧波的波函數1、平面簡諧波平面簡諧波是一種最簡單、最基本的波動過程。2、波函數波動過程中，各質元的位移y隨時間t和質元所在空間位置x變化的函數關系稱為波函數，又稱為波的表示式。x表示不同質元在x軸上的坐標。y表示離開平衡位置的位移。3、平面簡諧波波函數的建立在理想無吸收的均勻無限大媒質中，要建立平面簡諧波的波函數，只要得到波線上任意點的振動表達式即可。要寫出波線上任意點P的振動表達式，可從點P與點O之間的波程差或時間差兩個方面來考慮:（假設波沿x正方向傳播）（1）由波程差求波函數點P的相位落后于點O的相位，落后的相位為：設O點質元的振動方程為則P點的振動方程為：由于點P是任意一點，因此波動過程中任意一點的振動位移隨時間的變化規律為此即沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波函數。（2）由時間差求波函數點P的振動時間落后于原點O。振動從點O傳到點P所需的時間為P點在t時刻重復的是O點t-△t時刻的振動狀態：波函數的不同形式波函數若波沿x軸負方向傳播，則波函數的形式為：9.5.2波函數的物理意義1、x確定時（x=x0）為該處質點的振動方程，對應曲線為該處質點振動曲線。2、t確定時（t=t0）為該時刻各質點位移分布，對應曲線為該時刻波形圖。x確定時t確定時其中:注意:波形圖與振動曲線的區別3、t,x都變化時，表示不同時刻,不同平衡位置處各質元的位移情況，即所有質元位移隨時間變化的整體情況—行波。波形曲線(波形圖)波函數描述了波形(相位)的傳播，速度為u在△t時間內，整個波形以速度u向前推進了△x=u△t。例題1、一平面簡諧波沿x軸的正方向傳播，已知其波函數為(SI)求：(1)波的振幅、波長、周期和波速；(2)媒質中質元振動的最大速度；(3)畫出t1=0.0025s和t2=0.005s時的波形曲線。解:(1)將已知的波函數寫成標準形式將上式與比較，可得(2)媒質中質元的振動速度為其最大值為(3)t1=0.0025s時，波形表達式為t2=0.005s時，波形表達式為y/mt/s波形圖如下所示：例題2、一平面簡諧波以400m/s的波速沿x軸正方向傳播。已知坐標原點O處質元的振幅為0.01m，振動周期為0.01s，并且在t=0時刻，其正好經過平衡位置沿正方向運動。求：(1)波函數；(2)距原點2m處的質點的振動方程；(3)若以2m處為坐標原點，寫出波函數。解：(1)由題意，原點處質元在t=0時，初始位移y0=0，初始速度v0>0，根據旋轉矢量法得其初相位為因此O點的振動方程為所以其波函數為(2)將x=2m代入波函數，得到2m處質點的振動方程為解：(3)如果坐標原點設在2m處，則x軸正方向x處質點的振動相位落后了所以新坐標下的波函數為例題2、一平面簡諧波以400m/s的波速沿x軸正方向傳播。已知坐標原點O處質元的振幅為0.01m，振動周期為0.01s，并且在t=0時刻，其正好經過平衡位置沿正方向運動。求：(1)波函數；(2)距原點2m處的質點的振動方程；(3)若以2m處為坐標原點，寫出波函數。例題3、有一平面簡諧波沿x方向傳播，已知P點的振動規律為，在下列四種坐標選擇下，寫出波函數及距P點為b的A點的振動方程。解：四種情況下A點的振動都比P點落后，根據相位差可寫出它們對應的波函數：（此時A點為任意點，坐標為x）例題4、一平面簡諧波在t=0時的波形如圖(a)所示，在波線上x=1m處質元P的振動曲線如圖(b)所示。求該平面簡諧波的波函數。y/mx/m圖(a)y/mt/s圖(b)解:由圖(a)可得由圖(b)可得由圖(b)可知P點處質元在t=0時向下運動，因此波是沿x軸負方向傳播的。則對于O點處，t=0時：由旋轉矢量法可得O處質元的初相為所以波函數為例題5、一平面簡諧波在t=1s時的波形如圖所示。若已知波的振幅A、波速u和波長λ，求：(1)該簡諧波的波函數；(2)P點處質點的振動方程。yx對于x=0處的質點，在t=1s時：解：(1)由于波沿x軸負方向傳播，設波函數為由旋轉矢量法：所以波函數為:(2)將代入波函數，得P點處質點的振動方程為：9.5.3波動方程將平面簡諧波的波函數對時間t和對x分別求二階偏導數，有:平面波波動方程推廣:任何物理量滿足上式，則以波動形式傳播。9.5.4、波的能量波的傳播過程:(1)振動狀態的傳播(相位)(2)能量的傳播取AB段為研究對象ρ為弦的質量線密度(1)AB段的動能:1、行波的能量以弦上橫波為例,其波函數為:代入上式,得:利用了(2)AB段的勢能:彈性勢能應為張力T在線元伸長的過程中所作的功,即:(3)總機械能:(4)能量密度:(單位體積中的能量ρ為質量密度)(5)平均能量密度(對t求平均)(6)特點:相位,大小均相同(注意與振動能量相區別)極大能量極小

極小波形能量以速度u

傳播(由w

的公式可看出)2、波的能流密度：

（描述波的能量傳播的物理量）（1）能流：單位時間內垂直通過波傳播方向上某一面積的能量稱為通過該面積的能流。（2）平均能流：單位時間內垂直通過某一面積的平均能量。如右圖。dt時間內，通過面積S的平均能量就等于體積Sudt中的能量。所以，單位時間內通過面積S的平均能量，即平均能流為單位：W波的能流也稱為波的功率。（3）能流密度:單位時間內通過垂直波傳播方向單位面積的平均能流，稱為能流密度或波的強度。單位:W/m2

能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。波在媒質中傳播時，媒質總要吸收一部分能量。吸收的能量轉換為媒質的內能和熱。因此，波的振幅要減小、波的強度將減弱，這種現象稱為波的吸收。（4）波的吸收：α為吸收系數，取決于媒質和波的頻率9.6波的疊加原理波的干涉9.6.1波的疊加原理當幾列波在媒質中傳播時：不論是否相遇，各列波仍將保持其原有的頻率、波長、振動方向等特征繼續沿原來的傳播方向前進，不受其它波的影響。在幾列波相遇處，質元的振動是各列波單獨存在時對該質元所引起振動的合成。

——波的疊加原理——波傳播的獨立性原理能分辨不同的聲音正是這個原因；疊加原理的重要性在于可以將任一復雜的波分解為簡諧波的組合。9.6.2波的干涉1、干涉現象:

在一定條件下，兩波相遇，在媒質中某些位置的點振幅始終最大，另些位置振幅始終最小，而其它位置，振動的強弱介乎二者之間，保持不變，這種現象稱為波的干涉現象。2、產生干涉的條件：兩波源具有恒定的相位差。兩波源的振動方向相同。兩波源具有相同的頻率。滿足上述條件的稱為相干波。3、干涉加強、減弱條件：設有兩個頻率相同的波源S1和S

2

傳播到P點引起的振動為：在P點的振動為同方向同頻率振動的合成。由疊加原理，P點合振動為：其中：干涉加強的條件干涉減弱的條件當兩波源的初相位相同時，相干條件可寫為：干涉加強干涉減弱例題1、如圖所示，S1和S2是兩相干波源，相距1/4波長，S1比S2的相位超前。設兩列波在S1、S2連線方向上的強度相同且不隨距離變化，問S1、S2連線上在S1外側各點處的合成波的強度如何？又在S2外側各點處的強度如何？解：(1)

S1外側各點以任意點M表示，兩波在此相遇時的相位差為：所以在S1外側各點的合振幅A=0，波的強度也為零。(2)S2外側各點以任意點N表示，兩波在此相遇時的相位差為：所以在S2外側各點的合振幅A=2A0，合振動強度:為兩波源單獨存在時強度的4倍。解選S1處為坐標原點O，向右為x軸正方向,設點S1

的振動初相位為零,由已知條件可得波源S1和S2作簡諧振動的運動方程分別為:S1

發出的向右傳播的波的波函數為:S2

發出的向左傳播的波的波函數為:例題2、在同一媒質中相距為20m

的兩平面簡諧波源S1

和S2

作同方向，同頻率(=100Hz

)的諧振動，振幅均為A=0.05m，點S1

為波峰時，點S2

恰為波谷，波速u=200m/s

。求：兩波源連線上因干涉而靜止的各點位置。因干涉而靜止的點的條件為:化簡上式,得:所以在兩波源的連線上因干涉而靜止的點的位置分別為:將代入,可得:9.6.3駐波（駐波是干涉的特例）1、駐波:兩列振幅相同，而傳播方向相反的相干波，其合成波是駐波。設有兩列相干波，振幅相同，初相皆為零，分別沿x軸正、負方向傳播，選初相位均為零的表達式為：2、駐波的形成:其合成波稱為駐波，其表達式：整理可得：駐波方程各點作頻率相同、振幅不同的簡諧振動。振幅為隨x變化3、駐波的特征：（1）波節和波腹：波節：振幅為零的點稱為波節。波腹：振幅最大的點稱為波腹。兩相鄰波節間的距離/2。兩相鄰波腹間的距離/2。兩相鄰波節與波腹間的距離/4。的各點。即:波節的位置為：的各點。即:波腹的位置為：（應用）：可用之測量波腹間的距離，來確定波長。（2）相位：（3）波形：相位為相位為*在波節兩側點的振動相位相反。同時達到反向最大或同時達到反向最小。速度方向相反。

結論：*兩個波節之間的點其振動相位相同。同時達到最大或同時達到最小。速度方向相同。波形不傳播。能量不傳播——“駐”駐波表達式中不含項，所以駐波不是行波。分段振動當一列波從波疏媒質入射到波密媒質的界面時，反射波在反射點有π的相位突變，等效于波多走或少走半個波長的波程，這種現象稱為半波損失。彈性波：ρu

較大的媒質稱為波密媒質；

較小的媒質稱為波疏媒質。波疏媒質波密媒質形成的駐波在界面處是波腹。無半波損失無半波損失密疏波疏媒質波密媒質形成的駐波在界面處是波節。半波損失半波損失密疏9.6.4半波損失例、圖示為一向右傳播的簡諧波在t時刻的波形圖，BC為波密介質的反射面，P點反射，則反射波在t時刻的波形圖為:[B]例題3設入射波的波函數為，在x=0處發生反射，反射點為一自由端，求：（1）反射波的波函數；（2）合成波（駐波）的波函數，并由合成波的波函數說明哪些點是波腹，哪些點是波節？

解：（1）依題意，在x=0處反射，因此入射波在反射點的振動方程為反射方向上任意一點P比反射點落后相位，又由于無半波損失，因此反射波的波函數為（2）合成波的波函數為顯然，那些點，振幅最大(2A)，即波腹；的那些點，振幅最小(0)，是波節。例題4一列沿x軸正方向傳播的入射波的波函數為。該波在距坐標原點O為x0=5λ處被一垂直面反射，如圖，反射點為一波節。求：(1)反射波的波函數；(2)駐波的表達式；(3)原點O到x0間各個波節和波腹的坐標。解（1）從入射波的波函數可以確定在原點的振動方程為反射波在O點的振動相位比入射波在O點的振動相位要落后所以反射波在O點的振動方程為據此可寫出反射波的波函數反射波的波函數為：（2）駐波表達式為（3）因為原點O和x0=5λ處均為波節，鑒于相鄰波節的間距為λ/2，可知各波節點的坐標為又兩波節之間為一波腹，故波腹點的坐標為9.8多普勒效應一、多普勒效應如果波源或觀察者或兩者都相對于媒質運動，并且在二者連線方向上有相向或相反的運動分量時，則觀察者接收到的頻率將不同于波源發出的頻率，這種現象稱為多普勒效應。波源頻率：單位時間內波源振動的次數或單位時間內發出的“完整波”的數目。觀察者接收到的頻率：觀察者在單位時間內接收到的“完整波”的個數。波的頻率：單位時間內通過媒質中某點的“完整波”的數目。首先區別下面三種頻率:二、三種不同情況下頻率的變化表示波源相對于媒質的運動速度。表示觀察者相對于媒質的運動速度。表示媒質中的波速三