彈性波的相互作用1第一頁，共七十三頁，2022年，8月28日碰撞面上應力和速度相等,質點速度相同(連續條件),應力相同(作用力與反作用力互等條件)(1)和(2)解出撞擊后桿中質點的速度和應力:第三章彈性波的相互作用2第二頁，共七十三頁，2022年，8月28日討論:1)若兩桿波阻抗相同,

若波阻抗相同,且則第三章彈性波的相互作用3第三頁，共七十三頁，2022年，8月28日2)若相當于剛性桿對彈性桿的撞擊.則第三章彈性波的相互作用相當于桿L2撞擊剛壁.4第四頁，共七十三頁，2022年，8月28日3.2兩彈性波的相互作用研究對象:靜止的自然狀態的彈性桿,左右兩端突加載荷v2和v1.

分析:從桿的左端產生右行拉伸波;桿的右端產生左行拉伸波.第三章彈性波的相互作用5第五頁，共七十三頁，2022年，8月28日一次波：左行波過后,即跨過特征線LA,使桿處于狀態,1區:

右行波過后,跨過特征線OA,桿處于狀態,2區:第三章彈性波的相互作用6第六頁，共七十三頁，2022年，8月28日兩波相遇:右端桿速度,左端桿速度,兩波相遇相當于兩彈性桿共軸撞擊的情況.有時也稱為內撞擊.二次波:從一次波相遇處,分別向桿的兩端傳播內反射波,右行二次波AB和AD.AD左行波經過后,狀態從

AB右行波經過后,狀態從第三章彈性波的相互作用7第七頁，共七十三頁，2022年，8月28日在界面處有應力相等,速度相等.疊加原理:彈性波相互作用時,其結果可由兩作用波分別單獨傳播時的結果疊加(代數和).彈性波的控制方程是線性的,因此,疊加原理必定成立.兩彈性波相互作用后桿中質點速度和應力為第三章彈性波的相互作用8第八頁，共七十三頁，2022年，8月28日3.3彈性波在固定端和自由端的反射反射波:反射擾動.桿中傳播的應力波到達桿的另一端時,將發生波的反射.與邊界條件有關.彈性波入射波與反射波的總效果可按疊加原理確定.1)固定端的反射第三章彈性波的相互作用問題:一初始自然狀態的細長桿,在t=0時刻右端受強沖擊突加載荷作用,桿的左端固定,討論該桿中波的傳播問題.9第九頁，共七十三頁，2022年，8月28日左行入射波后1區狀態:時刻,入射波達到固定端,在固定端反射后3區狀態:由于固定端邊條件,使得反射波后質點運動速度為零,即,得結論:在固定端截面上,入射波與反射波相遇界面處質點速度為零,應力加倍.第三章彈性波的相互作用310第十頁，共七十三頁，2022年，8月28日法向入射彈性波在固定端反射時,可把端面想象為一面鏡子,反射波恰好是入射波的正像.兩波相互作用后,質點速度為零為應力加倍.若在中令則得:入射波反射波11第十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日2)自由端的反射問題:一初始自然狀態的細長桿,在t=0時刻右端受強沖擊突加載荷作用,桿的左端為自由端,討論該桿中波的傳播問題.分析:左行拉伸入射波陣面后,1區狀態:在時入射波到達桿左端自由面,反射波過后2區的狀態:結論:在自由端邊界上,入射和反射波相遇界面處,應力為零而質點速度加倍.12第十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日2)自由端的反射令則滿足自由端反射的應力邊條件,對于法向入射波在自由端反射時,可把端面想像成一面鏡子,反射波恰好是入射波的倒像.第三章彈性波的相互作用入射波發射波13第十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日3.4有限長桿的共軸撞擊前面討論的是無限長桿中應力波的傳播,不考慮波在端面處的反射問題.本節討論有限長桿中應力波的傳播.例:桿B2長為L2,速度,桿B1長為L1,,且L2<L1.兩桿無初應力和應變.討論短桿撞擊長桿的問題.分析:在短桿中傳播的彈性波首先在自由端反射,當時,該右行反射波回到撞擊接觸面.此后情況與兩桿波阻抗比值相關.第三章彈性波的相互作用B2B114第十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日(1)從短桿自由面反射的右行卸載波將如同在同一桿中傳播一樣無反射地通過撞擊接觸面.兩桿的波速可以不同.第三章彈性波的相互作用15第十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日0區:2區:3區:4區:第三章彈性波的相互作用16第十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日當時,B2桿中左行加載波到達自由面,反射的卸載波在B2桿中傳播,使桿中的狀態卸載到時,該卸載波達到兩桿接觸面,使碰撞面處的應力和速度卸載到,碰撞結束.卸載波繼續在長桿B1中傳播.5區狀態:第三章彈性波的相互作用17第十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日應力脈沖的寬度為:若，，即B1桿中所傳播的矩形應力脈沖長度是B2桿長度的兩倍，此時若改變B2桿的長度就可以獲得不同脈沖長度的應力脈沖.第三章彈性波的相互作用卸載波后,B1長桿中狀態為應力為零,質點速度為零.由上述分析可知,在長桿中一由加載強間斷波陣面和卸載強間斷波陣面組成的一應力脈沖.18第十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日若滿足,則兩桿撞擊產生的一次彈性波將同時到達兩桿的自由端,反射后的卸載波又同時回到接觸面處.撞擊結束時間:桿B2的狀態:桿B1的狀態:第三章彈性波的相互作用19第十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日(2)軟桿-硬桿3區：

4區：

或直接可寫出解值20第二十頁，共七十三頁，2022年，8月28日5區狀態:第三章彈性波的相互作用21第二十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日第三章彈性波的相互作用短桿中的左行入射波在自由端反射后,應力降為零,質點速度變為負值.反射波后質點速度擾動幅值與入射波的質點速度擾動幅值關系

時,短桿狀態:長桿接觸面處:短桿以v4速度回彈而脫離接觸,撞擊到此結束.長桿中有一應力脈沖,其長度22第二十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日第三章彈性波的相互作用若滿足,則兩桿撞擊產生的一次彈性波將同時到達兩桿的自由端,反射后的卸載波又同時回到接觸面處.時,短桿將整體以速度v4彈回,而長桿以速度2v3飛出.23第二十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日(3)

硬桿-軟桿

3區狀態:4區狀態:第三章彈性波的相互作用24第二十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日短桿中的左行一次入射波在自由端反射后,應力降為零,質點速度也降低,但仍為正值.

短桿的狀態:長桿接觸面處:二次撞擊:5,7;長桿自由端反射的卸載波回到撞擊接觸面之前,撞擊將繼續而不會結束,但撞擊產生的入射波幅值在降低.第三章彈性波的相互作用25第二十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日5區狀態:6區狀態:26第二十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日若滿足,則兩桿撞擊產生的一次彈性波將同時到達兩桿的自由端,反射后的卸載波又同時回到接觸面處.撞擊結束時間:短桿狀態:整體以速度v4運動長桿:整體以更大的速度2v3飛出.短桿的部分動量和動能轉移給長桿.第三章彈性波的相互作用27第二十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日

若,相當于剛體對彈性桿的撞擊.若不計長桿中另一端反射波的作用,則根據撞擊接觸面處質點速度相等和應力相等的條件,對彈性桿和剛體分別有可得式中,初始撞擊速度,代表t時刻桿中彈性波通過的桿的質量.上式表面,質點速度剖面為一強間斷前沿及隨后的呈指數衰減的波尾.第三章彈性波的相互作用28第二十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日例:三個完全相同的彈性桿.初始B1,B2桿靜止,B3速度v0<0.第三章彈性波的相互作用分析三桿的中的狀態及脫離時間.29第二十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日2區：

3區：4區：第三章彈性波的相互作用30第三十頁，共七十三頁，2022年，8月28日1)B3桿從時刻開始桿中質點速度和應力由右端逐漸變為0，到時刻桿中整體處于自然靜止狀態。2)B2桿從時刻開始桿中質點速度和應力由右端逐漸變為0，到時刻桿中整體處于自然靜止狀態，且在時刻B3桿和B2桿的碰撞結束但仍保持接觸。31第三十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日3)B1桿從時刻開始從左端開始桿中應力變為0，而質點速度逐漸變為v0，到時刻B1桿中各處的質點速度均變為v0，且在這個時刻B1桿與B2桿的碰撞結束且脫離，B1桿以B3桿的初始碰撞速度v0向左飛離。B3桿的動能通過B2桿全部傳遞給B1桿。32第三十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日例:相同材料的彈性桿的共軸撞擊如圖示,分析桿中應力波的傳播,并求撞擊結束時間及結束后各桿的狀態.第三章彈性波的相互作用B1B2B333第三十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日撞擊結束時間,撞擊結束后,B2,B3桿應力為零,質點速度為零;B1桿內應力為零,整體速度為向右運動.34第三十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日第三章彈性波的相互作用3.5兩彈性波在不同界面上的反射和透射彈性波從一種介質傳播到另一種聲阻抗不同的介質時,在界面上會發生波的反射和透射.兩種介質在界面處保持接觸(能承受壓力也能承受拉力且不分離),界面兩側質擾動引起的質點的速度和應力相等:(1)(2)介質1介質235第三十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日代入(1)(3)入射波透射波反射波:(2)(3)聯立可解出聲阻抗系數反射系數透射系數第三章彈性波的相互作用36第三十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日可求解出所對應各區的解如下：1區：v1，2區：0介質1介質237第三十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日波陣面上滿足守恒條件:同樣可解出:38第三十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日第三章彈性波的相互作用分析討論:即(a),反射波與入射波同號,即反射加載;(b)同時,透射擾動強于入射擾動.即應力波由”軟”材料傳入到”硬”材料中的情況.

1)介質1介質239第三十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日(c)40第四十頁，共七十三頁，2022年，8月28日例:已知（或），當(ρ0C0)2→∞時，界面處的應力和質點速度為多少？解:圖中的2區或者相當于彈性波在剛壁(固定端)的反射.41第四十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日

2),則,反射的應力擾動和入射擾動異號,反射卸載;透射擾動從應力幅值上弱于入射擾動.應力波從“硬”材料傳入到“軟”材料,軟墊可起緩沖作用。第三章彈性波的相互作用IRT42第四十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日

若,則,可得即43第四十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日或:入射波和反射波作用后,質點速度和應力分別為:

質點應力為零,速度為入射擾動引起的速度的2倍;相當于彈性波在自由面的反射.例:已知（或），當(ρ0C0)2→0時，界面處的應力和質點速度為多少？解:2區，44第四十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日3)波阻抗相同彈性波在兩種介質的界面不發生發射,稱為阻抗匹配.一些實驗測量中需要波阻抗匹配的問題.第三章彈性波的相互作用45第四十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日例:防護問題

當應力波從材料A透射進入材料B時,則透射應力與入射應力之間、透射質點速度與入射質點速度之間,分別有如下關系：

爆炸強沖擊波是破壞結構的重要手段之一。曾有人提出利用泡沫塑料等軟材料來防護爆炸波對結構的破壞作用,然而實踐結果卻事與愿違。例如:為防止炮彈發射時產生的爆炸波致傷,曾讓炮手穿上泡沫塑料背心,但實際致傷程度反而更加嚴重;在實施切割爆炸時,為防止沖擊波對臨近的特種裝置產生沖擊破壞作用,曾嘗試將泡沫材料覆蓋在鋼制特種裝置上,結果鋼制特種裝置上測到的沖擊波幅值反而意外地升高了。第三章彈性波的相互作用46第四十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日人,空氣,防護材料的波阻抗分別為:若不穿防護背心時,空氣中傳播的沖擊波直接傷害人體時的透射波強度為穿防護背心時第三章彈性波的相互作用47第四十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日

為使防護背心能削弱空氣中沖擊波對人體的危害作用,兩種情況下的透射因數的比值應小于1,即或由已知條件可得:即防護層的波阻抗應比人體的波阻抗大,才能起到防護作用.第三章彈性波的相互作用48第四十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日沖擊波在,空氣,人，防護材料中的透射.第三章彈性波的相互作用49第四十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日3.6彈性波在變截面桿中的反射和透射界面兩側總的作用力相等,速度相等.第三章彈性波的相互作用50第五十頁，共七十三頁，2022年，8月28日聲阻抗系數反射系數透射系數聯立求解得:討論:1)同種材料的階梯狀桿中,引入,透射波和入射波總是同號;若即時,反射加載.透射波弱于入射波.若即時,反射卸載.透射波強于入射波.第三章彈性波的相互作用51第五十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日第三章彈性波的相互作用例.如圖示錐形桿，A段為等截面半無限長，B-F段長度均為l，A-F段直徑比為6:5:4:3:2:1，面積比為36:25:16:9:4:1，設單位強度的壓縮脈沖由錐底A段向錐頂右行傳播，T=l/C0，求t≤7T錐形桿各變截面處應力增量的分布，并畫出t=3T，5T，7T時刻的[σ]-X圖。52第五十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日[分析]：設AI為入射波和反射波所對應桿的截面積，AT為透射波對應桿的截面積。（1）當壓縮波從A段向右傳播時，每通過一個變截面處（此時大截面→小截面，AT＞AI），透射波為增強的右傳壓縮波（因為），同時反射回左傳的拉伸波（因為）。

53第五十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日（2）反射的左行拉伸波在變截面處（小截面→大截面，AI＜AT）產生左行透射波，為減弱的左傳拉伸波，同時反射右傳拉伸波（因為，）。第三章彈性波的相互作用54第五十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日1）和2）疊加的效果為：a）隨著壓縮脈沖向錐頂（右）傳播，脈沖頭部壓縮區應力幅值逐漸增大；b）桿中拉伸區逐漸增長，幅值逐漸增大；c）當桿中靠近錐頂某處的拉應力達到材料的抗拉極限，錐頂部分將會產生斷裂并飛離。第三章彈性波的相互作用55第五十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日反射系數透射系數初始入射波強度第三章彈性波的相互作用56第五十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日1)第三章彈性波的相互作用57第五十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日2)第三章彈性波的相互作用58第五十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日3)第三章彈性波的相互作用59第五十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日4)5)6)在自由面反射后,壓縮波變成拉伸波.第三章彈性波的相互作用60第六十頁，共七十三頁，2022年，8月28日7)第三章彈性波的相互作用61第六十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日62第六十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日3.7Hopkinson壓桿技術

1914年,B.Hokinson提出了測定和研究炸藥或子彈射擊桿端時的壓力-時間,采用的裝置被稱為Hokinson壓桿(Pressurebar).炸藥:提供瞬時壓力;測時器(飛片):當壓力脈沖在測時器自由面反射為拉伸脈沖時,入射壓力脈沖與反射拉伸脈沖相疊加后在出現凈拉應力,測時器將飛離.彈道擺:測量測時器的動量.第三章彈性波的相互作用63第六十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日測時器長度等于或大于壓力脈沖長度的一半,壓力脈沖的動量將全部陷入測時器中,當測時器飛離時,桿將保持靜止.桿能保持靜止的最小長度,可求的壓力脈沖的長度或壓力脈沖的持續時間.限制條件:壓力脈沖的峰值不得超過材料的屈服極限,脈沖長度遠大于壓桿直徑.第三章彈性波的相互作用64第六十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日3.8應力波反射卸載引起的斷裂

層裂:壓力脈沖在桿或板的自由表面反射成拉伸脈沖時,將可能在鄰近自由面的某處造成相當高的拉應力,一旦滿足某動態斷裂準則,就會在該處引起材料的破裂.這種由壓力脈沖在自由面反射造成的背面動態斷裂稱為層裂或崩落.第三章彈性波的相互作用65第六十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日1)矩形脈沖第三章彈性波的相互作用66第六十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日a)矩形脈沖接近自由表面;b)入射脈沖的1/4被反射,在離自由表面長度內入射壓應力與反射拉應力疊加后的凈應力為零;c)入射脈沖的1/2被反射,疊加凈應力為零,但離自由表面長度內的質點速度則為入射壓力波質點速度的兩倍.隨后將出現拉應力;d)入射脈沖的3/4