2022-2023學年廣東省江門市臺山市第一中學高二上學期期中數學試題一、單選題1．經過點，且斜率為的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據點斜式方程求解即可.【詳解】解：經過點，且斜率為的直線方程是，整理得.故選：A2．已知空間向量，，，若，則（

）A．2 B． C．14 D．【答案】C【分析】，得到，解得答案.【詳解】，則，即，解得，，，.故選：C3．已知橢圓的離心率為，直線過橢圓的左頂點，則橢圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】直線過橢圓的左頂點,則橢圓的左頂點為,所以橢圓中，由離心率為，則，可求出橢圓的，從而可得橢圓的方程.【詳解】直線與軸的交點為,直線過橢圓的左頂點，即橢圓的左頂點為.所以橢圓中，由橢圓的離心率為，則.則，所以橢圓的方程為：.故答案為：D【點睛】本題考橢圓的簡單幾何性質，根據離心率求，屬于基礎題.4．在中，為邊上的中線，為的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據平面向量基本定理，結合平面向量線性運算的性質進行求解即可.【詳解】因為為邊上的中線，所以，因為為的中點，所以可得，故選：A5．設，，則以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知圓心為，半徑為，再求方程即可.【詳解】解：由題知線段中點為，，所以，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，其方程為故選：B6．設雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，是雙曲線上一點，且．若的面積為，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形面積公式可求，結合余弦定理得，由離心率可求出，同理結合代入余弦定理可求，進而得解.【詳解】由題可知，，求得，對由余弦定理可得，即，即，因為，解得，又，即，解得，，所以的周長為.故選：A7．如圖所示，在平行六面體中，，，，，，則的長為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】由向量得：，展開化簡，再利用向量的數量積，便可得出答案.【詳解】解：，，∵，，，，.，即的長為.

故選：B.8．過直線上一點作圓的切線，切點為．則四邊形的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由切線性質可得，由勾股定理表示出，進而得解.【詳解】如圖，由切線性質可知，，所以，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，點到直線距離，，要使最小，需使，故.故選：C二、多選題9．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若為上一點，且，則（

）A．的虛軸長為2 B．的值可能為5C．的離心率為3 D．的值可能為9【答案】BCD【分析】由雙曲線標準式確定，可判斷A，C是否正確，由雙曲線第一定義可判斷B，D正確性.【詳解】由的標準式可確定：，故C正確，A錯誤；由雙曲線第一定義可知，，解得或9，，，所以BD正確.故選：BCD10．如圖，為正方體，下面結論正確的是（

）A．平面B．與平面所成的角的正弦值為C．平面D．異面直線與所成的角為【答案】ACD【分析】以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系，利用向量法即可逐個證明.【詳解】以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系，為正方體，設邊長為1，則，，，，，，，，對A，，，又∵平面，∵平面，∴平面，A對；對B，，，，由得為平面的法向量，，故與平面所成的角的正弦值為，B錯；對C，由B得，同理可證為平面的法向量，故平面，C對；對D，，，∴異面直線與所成的角的余弦值為，故所成角為，D對.故選：ACD11．設橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于，兩點，則（

）A．為定值 B．的周長的取值范圍是C．當時，為直角三角形 D．當時，的面積為【答案】AB【分析】對選項進行逐一判斷.由橢圓的定義判斷A；由為定值以及的范圍判斷B；求出坐標，由數量積公式得出，得出為鈍角三角形判斷C；求出坐標，由面積公式得出的面積判斷D.【詳解】解：設橢圓的左焦點為，連接，由橢圓的對稱性得，所以為定值，A正確；的周長為，因為為定值6，所以的范圍是，所以的周長的范圍是，B正確；將與橢圓方程聯立，可解得，，又因為，所以，，即為鈍角，所以為鈍角三角形，C錯誤；將與橢圓方程聯立，解得，所以，D錯誤.故選：AB【點睛】12．在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面，，，交于點，是棱上的動點，則（

）A．存在點，使平面B．三棱錐體積的最大值為C．點到平面的距離與點到平面的距離之和為定值2D．存在點，使直線與所成的角為【答案】ACD【分析】根據題意，以為坐標原點，所在直線分別為軸，利用向量法判斷CD，根據底面積不變，高最大時，錐體體積最大，判斷B選項.根據線面平行的判定定理判斷A.【詳解】解：根據題意，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖，則,由是棱上的動點，設，,其中為到平面的距離，因為底面為正方形，故,又底面底面所以,又,平面，所以底面,所以當與D重合時，三棱錐體積的最大且為，故B錯誤；當為中點時，是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；點到平面的距離，點到平面的距離,所以，故C正確.,,若存在點，使直線與所成的角為則，化簡得，解得，所以，當時，滿足直線與所成角為，故D正確；故選：ACD三、填空題13．若，，則___________．【答案】【分析】由向量坐標的線性運算及模運算計算即可.【詳解】，故.故答案為：14．已知正方形的中心為直線，的交點，正方形一邊所在的直線方程為，則它鄰邊所在的直線方程為___________．【答案】【分析】先求出中心坐標為，再根據鄰邊所在直線與垂直設方程為，進而結合點到這兩條直線距離相等且為即可求解.【詳解】解：，解得，∴中心坐標為，點M到直線的距離設與垂直兩線分別為，則點到這兩條直線距離相等且為，設方程為∴，解得或，∴它鄰邊所在的直線方程為．故答案為：15．已知圓，直線，圓上恰有三個點到直線的距離等于1，則___________．【答案】4【分析】由圓心到直線距離可確定，進而得解.【詳解】圓的圓心為，由題可知圓心到直線距離，則.故答案為：416．正方體的棱長為2，若動點在線段上運動，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】建立空間直角坐標系，設，即可求出，再根據的范圍，求出的取值范圍．【詳解】解：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系．則，，，，．，，．點在線段上運動，，且．，，∵，∴，即，故答案為：．四、解答題17．已知的三個頂點分別為，，．(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）計算，的中點為，邊的垂直平分線的斜率，得到直線方程.（2）計算，到直線的距離為，得到面積.【詳解】（1），故邊的垂直平分線的斜率，的中點為，故垂直平分線為，即.（2），所在的方程為，即，到直線的距離為，.18．求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程：(1)以直線為漸近線，焦點是，的雙曲線；(2)離心率為，短軸長為6的橢圓．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題意設雙曲線方程為(，)，根據焦點坐標和雙曲線的漸近線方程求出，即可；（2）分橢圓的焦點在軸時和軸時討論求解即可.【詳解】（1）解：由題意設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，雙曲線的漸近線方程為，可得，又，解得，，所以雙曲線的方程為.（2）解：當焦點在軸時，設橢圓方程為，由題可得，解得，，所以橢圓方程為；當焦點在軸時，設橢圓方程為，由題可得，解得，，所以橢圓方程為；所以，所求橢圓方程為或.19．如圖，在正方體中，為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）要證平面，可證，結合正方體性質即可求證；（2）以方向為軸正方向，方向為軸正方向，方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，求出和平面的法向量，由向量的夾角公式求出與平面所成角的正弦值，結合同角三角函數即可求解.【詳解】（1）連接，因為幾何體為正方體，所以，四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以，平面，平面，所以平面；（2）以方向為軸正方向，方向為軸正方向，方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，不妨設正方體邊長為1，則，，，設平面的法向量為，則，即，設，則，，設直線與平面所成角為，則，即，所以，故直線與平面所成角的余弦值為.20．已知圓的方程為．(1)求過點且與圓相切的直線的方程；(2)直線過點，且與圓交于兩點，當是等腰直角三角形時，求直線的方程．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）斜率不存在時顯然相切，斜率存在時，設出直線的點斜式方程，由圓心到直線距離等于半徑求出，進而得解；（2）設出直線的點斜式方程，由幾何關系得圓心到直線距離為，進而得解.【詳解】（1）當直線斜率不存在時，顯然與相切；當直線斜率存在時，可設，由幾何關系可得，解得，故，即，故過點且與圓相切的直線的方程為或；（2）設，可設中點為，因為是等腰直角三角形，所以，即圓心到直線距離，解得或7，故直線或，即或.21．如圖，邊長為1的正方形所在平面與正方形所在平面互相垂直，動點、分別在正方形對角線和上移動，且．(1)求證與平面平行；(2)當時，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）采用建系法，表示出坐標，要證與平面平行，即證平面的法向量；（2）分別求出平面和平面的法向量，由向量夾角的余弦公式即可求解.【詳解】（1）因為平面平面，平面平面，，所以平面，，所以平面，顯然三垂直，以方向為軸正方向，方向為軸正方向，方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，，因為，所以，，設，，，由，得，，，由得，，可設平面的法向量為，，所以與平面平行；（2）當時，，，，，，設平面的法向量為，則，即，可設，故，設平面的法向量為，則，即，令，則，故，設二面角的平面角為，則，故二面角的余弦值為.22．已知橢圓的離心率為，且經過點．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，