廣東省揭陽市東園中學2021年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）已知集合M={x｜x=a+（a2﹣1）i}（a∈R，i是虛數單位），若M?R，則a=（）A．1B．﹣1C．±1D．0參考答案：C【考點】：復數的基本概念．【專題】：數系的擴充和復數．【分析】：利用復數的基本概念，推出復數是實數，復數的虛部為0，求解即可．解：集合M={x｜x=a+（a2﹣1）i}（a∈R，i是虛數單位），若M?R，可知復數是實數：a2﹣1=0，解得a=±1．故選：C．【點評】：本題考查復數的基本概念，考查計算能力．2.已知數列{an}滿足a1=1,且,且n∈N*）,則數列{an}的通項公式為（

） A． B． C．an=n+2 D．an=（n+2）·3n參考答案：3.設過點且斜率為1的直線與圓相切,則的值為A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.若拋物線的準線方程為，則拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．參考答案：D由題得拋物線的標準方程為．5.已知實數x，y滿足，則的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D作出不等式組不等式的平面區(qū)域如圖所示，表示的幾何意義為區(qū)域內的點到點的斜率加上2．因為、，所以，所以由圖知或，所以或，即或，故選D．6.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中幾何體的三視圖中，正視圖是一個正三角形，側視圖和俯視圖均為三角形，我們得出這個幾何體的外接球的球心O在高線PD上，且是等邊三角形PAC的中心，得到球的半徑，代入球的表面積公式，即可得到答案．【解答】解：由已知中知幾何體的正視圖是一個正三角形，側視圖和俯視圖均為三角形，可得該幾何體是有一個側面PAC垂直于底面，高為，底面是一個等腰直角三角形的三棱錐，如圖．則這個幾何體的外接球的球心O在高線PD上，且是等邊三角形PAC的中心，這個幾何體的外接球的半徑R=PD=．則這個幾何體的外接球的表面積為S=4πR2=4π×（）2=故選：A．【點評】本題考查的知識點是由三視圖求面積、體積，其中根據三視圖判斷出幾何體的形狀，分析出幾何體的幾何特征是解答本題的關鍵．7.將函數的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍，則所得的圖象的解析式為

A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.設集合，，則A∩B=(

)．A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.[1,3] D.[0,3]參考答案：A【分析】對集合用列舉法進行表示，對集合用不等式描述集合元素特征，然后根據集合交集的運算法則，求出.【詳解】因為，，所以，故本題選A.【點睛】本題考查了集合交集的運算、集合的表示方法.本題易錯的地方是認為自然數集不包括零.解決集合問題的關鍵是對集合元素屬性特征的認識.9.一個幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．5參考答案：A【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知，幾何體為一個三棱柱剪去一個三角錐，再根據公式求解即可．【解答】解：由三視圖可知，幾何體為一個三棱柱剪去一個三角錐，三棱柱的體積V1為=2剪去的三棱錐體積V2為：=所以幾何體的體積為：2﹣=，故選：A．10.在三棱錐S—ABC中，AB⊥BC,AB=BC=,SA=SC=2,，二面角S—AC—B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，則該球的表面積是（

）A．

B．

C．24

D．6參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數x,y滿足若取得最小值的最優(yōu)解有無數多個,則m的值為參考答案：1本題考查線性規(guī)劃.,,取得最小值,則直線的截距最小,最優(yōu)解有無數個,即與邊界重合,故.12.已知角構成公差為的等差數列.若，則

參考答案：13.已知中，AB=，BC=1，tanC=，則AC等于______.參考答案：2由，所以。根據正弦定理可得，即，所以，因為，所以，所以，即，所以三角形為直角三角形，所以。14.若的二項展開式中的常數項為m，則m=

▲

．參考答案：792015.將函數f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的圖象向左平移個單位后的圖形關于原點對稱，則函數f（x）在[0，]上的最小值為

．參考答案：﹣

【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的圖象的對稱性，求得φ的值，可得函數的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，求得函數f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：將函數f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的圖象向左平移個單位后，得到y(tǒng)=sin（2x++φ）的圖象，再根據所得圖象關于原點對稱，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故當2x﹣=﹣時，f（x）取得最小值為﹣，故答案為：﹣．16.在如右圖所示的數表中，第i行第j列的數記為ai，j，且滿足a1，j＝2j－1，ai，1＝i，ai＋1，j＋1＝ai，j＋ai＋1，j（i，j∈N*）；又記第3行的數3，5，8，13，22，39，…．則第3行第n個數為

．參考答案：17.已知過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，為橢圓的左焦點，且，則橢圓的離心率為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知數列的各項均為正數，其前項和為，且滿足，N.（1）求的值；（2）求數列的通項公式；（3）是否存在正整數,使,,成等比數列?若存在,求的值；若不存在,請說明理由.參考答案：（1）；（2）；（3）不存在正整數，使，，成等比數列．試題分析：（1）令即可求出的值；（2）先利用（）轉化為等差數列，再利用等差數列的通項公式即可求出數列的通項公式；（3）假設存在正整數,使,,成等比數列，由,,成等比數列得：，化簡，解出的值，與為正整數矛盾，故不存在正整數,使,,成等比數列．試題解析：（1）解：∵，∴.

…………1分（2）解法1：由，得，…………2分故.

…………3分∵，∴.∴.

…………4分∴數列是首項為，公差為的等差數列.∴.

…………5分∴.

…………6分當時，，

…………8分又適合上式，∴.

…………9分解法2：由，得，

…………2分當時，，…………3分∴.

…………４分∴.

∴.

…………５分∵，∴.

…………６分∴數列從第2項開始是以為首項，公差為的等差數列．……………７分∴．…………８分∵適合上式，∴.

…………9分解法3：由已知及（1）得，，猜想.

…………2分下面用數學歸納法證明.①當，時，由已知，，猜想成立.………3分②假設時，猜想成立，即，

…………4分由已知，得，

故.

∴.

…………5分∴.∴.

…………6分∵，∴.

…………7分∴.

…………8分故當時，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即.

…………9分（3）解：由(2)知,.假設存在正整數,使,,成等比數列,則.

…………10分即.

…………11分∵為正整數，∴.∴.∴.化簡得.

…………12分∵,∴.解得,與為正整數矛盾.……13分∴不存在正整數,使,,成等比數列.…………14分考點：1、等差數列的通項公式；2、等比數列的性質；3、等差數列的前項和.19.（本題14分）一個袋中裝有大小相同的黑球、白球和紅球。已知袋中共有10個球．從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是．求：

（Ⅰ）從中任意摸出2個球，得到的都是黑球的概率；（Ⅱ）袋中白球的個數．參考答案：【解析】

本題主要考查排列組合、概率等基礎知識，同時考查邏輯思維能力和數學應用能力．滿分14分．（Ⅰ）解：由題意知，袋中黑球的個數為．記“從袋中任意摸出兩個球，得到的都是黑球”為事件A，則．（Ⅱ）解：記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件B，設袋中白球的個數為，則，得到．20.（本小題滿分12分）

已知橢圓E的兩焦點分別為（-1,0），(1，0)，且點在橢圓E上．

(I)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)過點P（-2，0）的直線交橢圓E于兩個不同的點A，B，且，點C（不同于點B）是點B關于x軸的對稱點，求△AOC面積的取值范圍，參考答案：21.（12分）設O為坐標原點，動點M在橢圓C:上，過M作x軸的垂線，垂足