廣東省佛山市富安初級中學2023年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn=An2+Bn，且a1=1，a2=3，則a2017=（）A．4031 B．4032 C．4033 D．4034參考答案：C【考點】等差數列的前n項和．【分析】數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn=An2+Bn，數列{an}是等差數列．再利用通項公式即可得出．【解答】解：∵數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn=An2+Bn，∴數列{an}是等差數列．∵a1=1，a2=3，則公差d=3﹣1=2．a2017=1+2×=4033．故選：C．2.設是公差為正數的等差數列，若=80，則=

（A）120

（B）105

（C）90

（D）75參考答案：B3.命題：對任意，的否定是(

)A．：對任意，

B．：不存在,

C．：存在,

D．：存在,

參考答案：C4.已知雙曲線的離心率為2，若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，若是上兩點且，則直線與軸的交點的縱坐標為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D5.已知f(x)是定義在R上的奇函數，當時，，若，則實數a的取值范圍是（

）A.(－∞,－2)∪(3,+∞) B.(－3,2)C.(－2,3) D.(－∞,－3)∪(2,+∞)參考答案：C【分析】畫出函數圖像得到函數單調遞增，利用函數的單調性得到，計算得到答案.【詳解】是奇函數，當時，設則，，故即，函數的圖像如圖所示：結合圖像可知是上的增函數由，得解得，故選：.【點睛】本題考查了函數的奇偶性和單調性，判斷函數的單調性是解題的關鍵.6.在等差數列{an}中，a9=，則數列{an}的前11項和S11等于（）A．24 B．48 C．66 D．132參考答案：D考點： 數列的求和．

專題： 計算題；等差數列與等比數列．分析： 根據數列{an}為等差數列，a9=，可求得a6，利用等差數列的性質即可求得數列{an}的前11項和S11．解答： 解：∵列{an}為等差數列，設其公差為d，∵a9=，∴a1+8d=（a1+11d）+6，∴a1+5d=12，即a6=12．∴數列{an}的前11項和S11=a1+a2+…+a11=（a1+a11）+（a2+a10）+…+（a5+a7）+a6=11a6=132．故選D．點評： 本題考查數列的求和，著重考查等差數列的通項公式，求得a6的值是關鍵，考查綜合應用等差數列的性質解決問題的能力，屬于中檔題．7.命題“若函數在上是減函數，則”的否命題是（

）A．若函數在上不是減函數，則B．若函數在上是減函數，則C．若，則函數在上是減函數D．若，則函數在上不是減函數參考答案：A略8.甲：函數，f（x）是R上的單調遞增函數；乙：?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），則甲是乙的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據函數單調性的定義和性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．【解答】解：根據函數單調性的定義可知，若f（x）是R上的單調遞增函數，則?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），成立，∴命題乙成立．若：?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），則不滿足函數單調性定義的任意性，∴命題甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要條件．故選：A．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據函數單調性的定義和性質是解決本題的關鍵．9.定義在R上的函數的圖象關于點（成中心對稱，對任意的實數都有且則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.設a≠0，函數f（x）=，若f[f（﹣）]=4，則f（a）等于（）A．8 B．4 C．2 D．1參考答案：A【分析】由已知得f（﹣）=4=2，從而f[f（﹣）]=f（2）=|4+2a|=4，由此能求出a，從而能求出結果．【解答】解：∵a≠0，函數f（x）=，f[f（﹣）]=4，∴f（﹣）=4=2，f[f（﹣）]=f（2）=|4+2a|=4，解得a=﹣4或a=0（舍），∴a=﹣4．f（a）=f（﹣4）=4log24=8．故選：A．【點評】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，點P是MD的中點．若||=2，||=1，且∠BAD=60°，則?=．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【分析】通過圖形，分別表示，然后進行向量數量積的運算即可．【解答】解：由題意不難求得，則===故答案為：．12.冪函數的圖象過點，則

．參考答案：213.若對一切，復數的模不超過2，則實數a的取范圍是

.參考答案：

解析：依題意，得

（）（對任意實數成立）

.故的取值范圍為14.如圖所示，AB和AC分別是圓O的切線，且OC=3，AB=4，

延長AO與圓O交于D點，則△ABD的面積是_______.參考答案：15.《九章算術》中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”大意為：有個圓柱形木頭，埋在墻壁中（如圖所示），不知道其大小，用鋸沿著面AB鋸掉裸露在外面的木頭，鋸口CD深1寸，鋸道AB長度為1尺，問這塊圓柱形木料的直徑是__________．（注：1尺＝10寸）參考答案：26寸設圓柱形木料的半徑是，則，得，所以圓柱形木料的直徑是26寸．16.已知向量||=1，||=2，若|﹣|=，則向量，的夾角為．參考答案：【考點】9R：平面向量數量積的運算．【分析】由題意先求出=1，再根據向量的夾角公式計算即可．【解答】解：向量||=1，||=2，|﹣|=，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=1+4﹣2=3，∴=1，∴cos＜，＞===，∵向量，的夾角的范圍為（0，π），∴向量，的夾角為，故答案為：．17.若復數（，i為虛數單位）是純虛數，則實數a=

．參考答案：6為純虛數，故

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=alnx+，a∈R．（1）若f（x）的最小值為0，求實數a的值；（2）證明：當a=2時，f（x）≤f′（x）在x∈[1，2]上恒成立，其中f′（x）表示f（x）的導函數．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（1）求出原函數的導函數，對a分類分析，可知當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數，f（x）的最小值不為0；當a＞0時，求出導函數的零點，可得原函數的單調性，求其最小值，由最小值為0進一步利用導數求得a值；（2）當a=2時，f（x）=2lnx+，f′（x）=．構造函數h（x）=，問題轉化為h（x）=≤0在x∈[1，2]上恒成立．利用導數可得存在x0∈（1，2），使h（x）在[1，x0）上為減函數，在（x0，2]上為增函數，再由h（1）=0，h（2）=2ln2﹣＜0，可知h（x）=≤0在x∈[1，2]上恒成立．即當a=2時，f（x）≤f′（x）在x∈[1，2]上恒成立．【解答】（1）解：∵f（x）=alnx+=alnx+，∴f′（x）=（x＞0）．當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數，f（x）的最小值不為0；當a＞0時，f′（x）==．當x∈（0，）時，f′（x）＜0；當x∈（，+∞）時，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上為減函數，在（，+∞）上為增函數，∴=，令g（a）=，則g′（a）=（a＞0）．當a∈（0，2）時，g′（a）＞0；當a∈（2，+∞）時，g′（a）＜0，∴g（a）在（0，2）上為增函數，在（2，+∞）上為減函數，則g（a）max=g（2）=0．∴f（x）的最小值為0，實數a的值為2；（2）證明：當a=2時，f（x）=2lnx+，f′（x）=．令h（x）=，若f（x）≤f′（x）在x∈[1，2]上恒成立，則h（x）=≤0在x∈[1，2]上恒成立．h′（x）=，令t（x）=x3+x2﹣x﹣3，t′（x）=3x2+2x﹣1＞0在[1，2]上恒成立，∴t（x）在[1，2]上為增函數，又t（1）?t（2）＜0，∴存在x0∈（1，2），使t（x0）=0，即存在x0∈（1，2），使h′（x0）=0，則當x∈[1，x0）時，h′（x0）＜0；當x∈（x0，2]時，h′（x0）＞0．即h（x）在[1，x0）上為減函數，在（x0，2]上為增函數，由h（1）=0，h（2）=2ln2﹣＜0，∴h（x）=≤0在x∈[1，2]上恒成立．即當a=2時，f（x）≤f′（x）在x∈[1，2]上恒成立．19.“城中觀海”是近年來國內很多大中型城市內澇所致的現象，究其原因，除天氣因素、城市規劃等原因外，城市垃圾雜物也是造成內澇的一個重要原因。暴雨會沖刷城市的垃圾雜物一起進入下水道，據統計，在不考慮其它因素的條件下，某段下水道的排水量V(單位：立方米／小時)是雜物垃圾密度x（單位：千克／立方米）的函數。當下水道的垃圾雜物密度達到2千克／立方米時，會造成堵塞，此時排水量為0；當垃圾雜物密度不超過0.2千克／立方米時，排水量是90立方米／小時；研究表明，時，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數。（Ⅰ）當時，求函數V(x)的表達式；（Ⅱ）當垃圾雜物密度x為多大時，垃圾雜物量（單位時間內通過某段下水道的垃圾雜物量，單位：千克／小時）可以達到最大，求出這個最大值。參考答案：略20.選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系xOy中，曲線（為參數，t＞0）.在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線.（1）若l與曲線C沒有公共點，求t的取值范圍；（2）若曲線C上存在點到l距離的最大值為，求t的值.參考答案：解：（1）因為直線的極坐標方程為，即，所以直線的直角坐標方程為；因為（參數，）所以曲線的普通方程為，由消去得，，所以，解得，故的取值范圍為. （2）由（1）知直線的直角坐標方程為，故曲線上的點到的距離，故的最大值為由題設得，解得.又因為，所以.

21.已知數列{an}是首項，公比的等比數列．設（n∈N*）．（Ⅰ）求證：數列{bn}為等差數列；（Ⅱ）設cn=an+b2n，求數列{cn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【分析】（Ⅰ）由已知求出等比數列的通項公式，代入可得數列{bn}的通項公式，由等差數列的定義證明數列{bn}為等差數列；（Ⅱ）把數列{an}、{bn}的通項公式代入cn=an+b2n，分組后再由等差數列與等比數列的前n項和求數列{cn}的前n項和Tn．【解答】（Ⅰ）證明：∵數列{an}是首項，公比的等比數列，∴，則=．∴bn+1﹣bn=﹣（2n﹣1）=2．則數列{bn}是以2為公差的等差數列；（Ⅱ）解：cn=an+b2n=．∴數列{cn}的前n項和Tn=c1+c2+…+cn=[]+4（1+2+…+n）﹣n===．22.如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，，，E為棱AP的中點，且AD⊥CE.（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）當直線PB與底面ABCD成30°角時，求二面角B-CE-P的余弦值.參考答案：解：(Ⅰ)取