廣東省云浮市普寧興文中學高二數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.為考察喜歡黑色的人是否易患抑郁癥,對91名大學生進行調查,得到如下列聯表:

患抑郁癥未患抑郁癥合計喜歡黑色153247不喜歡黑色143044合

計296291

則(

)認為喜歡黑色與患抑郁癥有關系.

A.有把握

B.有把握

C.有把握

D.不能參考答案：D略2.等腰三角形腰長是底邊長的倍，則頂角的余弦值是

（

）A. B. C. D.參考答案：A3.已知冪函數f(x)的圖象經過點(4,2)，則冪函數f(x)具有的性質是（

）A．在其定義域上為增函數

B．在其定義域上為減函數C．奇函數

D．定義域為R參考答案：A設冪函數，冪函數圖象過點(4,2)，，，由的性質知，是非奇非偶函數，值域為，在定義域內無最大值，在定義域內單調遞增，故選A.

4.已知數列{an}是等比數列，且a1=，a4=﹣1，則{an}的公比q為（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．參考答案：C【考點】等比數列．【分析】由已知的題意利用等比數列的通項公式建立關于公比的方程即可．【解答】由，故選C．5.（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i參考答案：B【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則即可得出．【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．故選：B．6.過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（x1,y1）B（x2,y2）兩點，如果=6，那么＝

（

）

（A）6

（B）8

（C）9

（D）10參考答案：B7.已知是雙曲線的左、右焦點，點在上，，則=（

）A．2

B.4

C.6

D.8參考答案：B略8.已知函數，正實數、、滿足，若實數是函數的一個零點，那么下列四個判斷：①；②；③；④．其中可能成立的個數為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B9.已知函數，則（

）A.f(x)的圖象關于直線對稱 B.f(x)的最大值為2C.f(x)的最小值為－1 D.f(x)的圖象關于點對稱參考答案：A【分析】利用三角函數恒等變換的公式，化簡求得函數的解析式，再根據三角函數的圖象與性質，逐項判定，即可求解．【詳解】由題意，函數，當時，，所以函數的對稱軸，故A正確；由，所以函數的最大值為，最小值為，所以B、C不正確；又由時，，所以不是函數的對稱中心，故D不正確，故選A．【點睛】本題主要考查了三角恒等變換的公式的應用，以及函數的圖象與性質的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．10.執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）A．﹣3 B．﹣ C．2 D．參考答案：C【考點】循環結構．【分析】執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的i，s的值，當i=4時，不滿足條件i＜4，退出循環，輸出s的值為2．【解答】解：執行程序框圖，可得i=0，s=2滿足條件i＜4，i=1，s=滿足條件i＜4，i=2，s=﹣滿足條件i＜4，i=3，s=﹣3滿足條件i＜4，i=4，s=2不滿足條件i＜4，退出循環，輸出s的值為2．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別是1，2，3，則此球的表面積為____________參考答案：略12.某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需運往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次．派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運送一次可得利潤350元，該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數，可得的最大利潤為．參考答案：4900元【考點】5C：根據實際問題選擇函數類型；5A：函數最值的應用．【分析】我們設派x輛甲卡車，y輛乙卡車，利潤為z，構造出x，y滿足的約束條件，及目標函數，畫出滿足條件的平面區域，利用角點法即可得到答案．【解答】解：設派用甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，獲得的利潤為z元，z=450x+350y由題意，x、y滿足關系式作出相應的平面區域如圖陰影部分所示z=450x+350y=50（9x+7y）由得交點（7，5）∴當x=7，y=5時，450x+350y有最大值4900即該公司派用甲型卡車7輛，乙型卡車5輛，獲得的利潤最大，最大為4900元故答案為：4900元13.拋物線頂點為，焦點為，是拋物線上的動點，則的最大值為

．參考答案：；解析：設拋物線方程為，則頂點及焦點坐標為，若設點坐標為，則，故．（當或時取等號）14.已知直線l過點P（3，6）且與x，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O是坐標原點，則當|OA|+|OB|取得最小值時的直線方程是

（用一般式表示）參考答案：x+y﹣6﹣3=0【考點】直線的一般式方程．【分析】由題意可得：直線的斜率k＜0，設直線方程為：kx﹣y+6﹣3k=0，可得B（0，6﹣3k），A（3﹣，0），即可得到|OA|+|OB|，進而利用基本不等式求出最值，并且得到k的取值得到直線的方程．【解答】解：由題意可得：設直線的斜率為k，因為直線l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，所以得到k＜0．則直線l的方程為：y﹣6=k（x﹣3），整理可得：kx﹣y+6﹣3k=0，令x=0，得y=6﹣3k，所以B（0，6﹣3k）；令y=0，得到x=3﹣，所以A（3﹣，0），所以|OA|+|OB|=6﹣3k+3﹣=9+（﹣3k）+（﹣），因為k＜0，則|OA|+|OB|=9+（﹣3k）+（﹣）≥9+6，當且僅當﹣3k=﹣，即k=﹣時“=”成立，所以直線l的方程為：x+y﹣6﹣3=0，故答案為：x+y﹣6﹣3=0．15.已知z=2x﹣y，式中變量x，y滿足約束條件，則z的最大值為

．參考答案：5【考點】簡單線性規劃．【分析】先根據約束條件畫出可行域，設z=2x﹣y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x﹣y過可行域內的點A時，從而得到z=2x﹣y的最大值即可．【解答】解：依題意，畫出可行域（如圖示），則對于目標函數y=2x﹣z，當直線經過A（2，﹣1）時，z取到最大值，Zmax=5．故答案為：5．16.給出定義：若(其中為整數)，則叫做離實數x最近的整數，記作，即.在此基礎上給出下列關于函數的四個命題：①函數的定義域是R，值域是[0，]；②函數的圖像關于直線對稱；③函數是周期函數，最小正周期是1；④函數在上是增函數.

則其中真命題是__

．（請填寫序號）參考答案：①②③.17.用數學歸納法證明且，第一步要證的不等式是_________．參考答案：試題分析：式子的左邊應是分母從1，依次增加1，直到，所以答案為。考點：本題主要考查數學歸納法的概念及方法步驟。點評：簡單題，理解式子的結構特點，計算要細心。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分15分）已知直三棱柱中，△為等腰直角三角形，∠＝90°，且＝，、、分別為、、的中點．(I)求證：∥平面；(II)求證：⊥平面；(III)求二面角的余弦值．參考答案：解：方法1：如圖建立空間直角坐標系O—xyz，令AB＝AA1＝4，則A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4），D（2，0，2），

…………（2分）（I）（，4，0），面ABC的法向量為（0，0，4），∵，平面ABC，∴DE∥平面ABC．

…………（5分）（II）…………（8分）∴∵

…………（10分）（III）平面AEF的法向量為，設平面B1AE的法向量為

即

…………（12分）令x＝2，則∴∴二面角B1—AE—F的余弦值為

…………（15分）

19.已知三角形ABC的頂點坐標為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點。（1）求AB邊所在的直線方程；（2）求中線AM的長。參考答案：（1）由兩點式寫方程得，即

6x-y+11=0或

直線AB的斜率為

直線AB的方程為

即

6x-y+11=0（2）設M的坐標為（），則由中點坐標公式得

故M（1，1）略20.(本題12分)某班同學利用春節進行社會實踐，對歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：(1）補全頻率分布直方圖并求、、的值；(2）從年齡段在的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取人參加戶外低碳體驗活動，其中選取人作為領隊，求選取的名領隊中恰有1人年齡在歲的概率.參考答案：解：（1）第二組的頻率為，所以高為．頻率直方圖如下：

……………2分第一組的人數為，頻率為，（3分）所以．（4分）由題可知，第二組的頻率為0．3，所以第二組的人數為，所以．（6分）第四組的頻率為，所以第四組的人數為，所以．……………

8分(2）因為歲年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比值為，所以采用分層抽樣法抽取6人，歲中有4人，歲中有2人.…………10分

設歲中的4人為、、、，歲中的2人為、，則選取2人作為領隊的有、、、、、、、、、、、、、、，共15種；其中恰有1人年齡在歲的有、、、、、、、，共8種.

……………

13分所以選取的2名領隊中恰有1人年齡在歲的概率為.

……………14分（不列舉，直接算答案不扣分，其它酌情給分）略21.某公司為招聘新員工設計了一個面試方案：應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成.規定：至少正確完成其中2道題的便可通過.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.（1）分別求甲、乙兩人正確完成面試題數的分布列及數學期望；（2）請分析比較甲、乙兩人誰面試通過的可能性大？參考答案：（1)詳見解析；（2)甲獲得面試通過的可能性大試題分析：（1）確定甲、乙兩人正確完成面試題數的取值，求出相應的概率，即可得到分布列，并計算其數學期望；（2）確定Dξ＜Dη，即可比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性大．試題解析：（1）設甲正確完成面試的題數為，則的取值分別為1，2，3；；；應聘者甲正確完成題數的分布列為123

設乙正確完成面試題數為，則取值分別為0，1，2，3，應聘者乙正確完成題數的分布列為：0123

.（或∵∴）

（2）因為，

所以綜上所述，從做對題數的數學期望考查，兩人水平相當；

從做對題數的方差考查，甲較穩定；

從至少完成2道題的概率考查，甲獲得面試通過的可能性大22.（本小題滿分14分）根據我國發布的《環境空氣質量指數技術規定》（試行），共分為六級：為優，為良，為輕度污染，為中度污染，均為重度污染，及以上為嚴重污染．某市2013年11月份天的的頻率分布直方圖如圖所示：⑴該市11月份環境空氣質量優或良的共有多少天？