六、課時教學設計第一課時函數的圖象（一）教學內容：函數的圖象教學目標：了解函數y=Asin(ωx+φ)的現實背景，經歷勻速圓周運動的數學建模過程，進一體會三角函數與現實世界的密切聯系，發展數學建模素養.參數φ，ω，A對函數y=Asin(ωx+φ)圖象的影響，，發展數學抽象、邏輯推理與直觀想象的素養。（三）教學重點及難點：1.重點：用函數模型來刻畫一般的勻速圓周運動的建模過程；2.難點：將實際問題抽象為數學問題的過程，理解參數φ，ω，A在圓周運動中的實際意義。（四）教學過程：筒車是中國古代發明的一種灌溉工具，它省時、省力，環保、經濟，現代農村至今還在大量使用．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖示描繪了人們利用筒車輪的圓周運動進行灌溉的工作原理（用信息技術呈現筒車運動的實際情境）．問題1：假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都作勻速圓周運動．如果將這個筒車抽象成一個圓，水筒抽象成一個質點，你能用一個合適的函數模型來刻畫盛水筒距離水面的相對高度與時間的關系嗎？師生活動：教師利用多媒體展示筒車運動的真實情境，學生進行觀察、思考、交流，鼓勵學生自主探究.當學生遇到困難時，教師可以提出問題2，采用追問的方式進行引導，讓學生在抽象簡化的基礎上再進行思考分析；若學生能自主地從數學的角度進行分析，則鼓勵他們進行展示交流.預設：因筒車上盛水筒的運動具有周期性，可以考慮利用三角函數模型刻畫它的運動規律.設計意圖：通過筒車模型引入，體現數學地實際價值，使學生感受發現問題、提出問題的過程，并嘗試分析問題和解決問題.問題2：筒車運動模型中，盛水筒的運動周而復始，具有周期性，可以考慮用三角函數模型去刻畫它的運動規律，如果將筒車抽象為圓，盛水筒抽象為圓上的點P（圖），經過時t后，盛水筒距離水面的高度H與哪些量有關？它們之間有怎樣的關系呢？師生活動：教師進行適時引導，并借助信息技術用幾何形式動態呈現點P的運動狀態；然后由學生經過討論，分析出問題中與變量t和H相關的量—筒車轉輪的中心O到水面的距離h，筒車的半徑r，筒車轉動的角速度ω，盛水筒的初始位置P0及其對應的初始角φ；再引導學生尋求變量t與H之間的等量關系.學生建立適當的直角坐標系，并通過自主探究獲得函數關系，教師將結果統一引導到函數H＝rsin(ωt＋φ)＋h.如圖，相關的量有：水車半徑r，水車中心距水面的高度h；水車轉動的角速度ω；初始位置所對應的角φ；水車轉動的時間t；盛水筒距離水面的相對高度H；若以O為原點，以與水平面平行的直線為x軸,建立直角坐標系.設t=0時，盛水筒位于P0，以Ox為始邊，OP為終邊的角為φ，經過ts后運動到點P(x,y).于是，以Ox為始邊，OP為終邊的角為ωt+φ，并且有y=rsin(ωt+φ)①,所盛水筒距離水面的高度H與時間t的關系是H＝函數②就是要建立的數學模型，只要將它的性質研究清楚了.由于h為常量，我們可以只研究函數①的性質設計意圖：結合筒車模型，建立三角函數的數學模型，表示其上質點的勻速圓周運動，引出本節的核心內容；讓學生經歷數學建模的全過程，引導學生學會用數學的眼光看現實世界，用數學語言描述世界.問題3：摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色。某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30min.(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式；(2)求游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度。師生活動:引導學生思考摩天輪上的座艙運動可以近似地看作是質點在圓周上做勻速旋轉。在旋轉過程中，游客距離地面的高度H呈現周而復始的變化，因此可以考慮用三角函數來刻畫。解:如圖，設座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系.(1)設t=0min時，游客甲位于點P(O，-55)，以OP為終邊的角為-π2;根據摩天輪轉一周大約需要30min，可知座艙轉動的角速度約為π15(2)當t=5時,H=55所以，游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度約為37.5m，設計意圖：培養學建模思想，應用模型，學生在思考、探索和交流的過程中獲得了對知識點較為全面的體驗和理解，加強了團隊合作意識．（五）課堂小結：函數的建立思想方法：建模思想，類比思想（六）目標檢測：在問題3中，若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位:m)關于t的函數解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1).解：甲、乙兩人的位置分別用點A，B表示，則∠AOB=π24.經過tmin后甲距離地面的高度為H1=55sinπ15t-π2+65點B相對于點A始終落后π24.rad，此時乙距離地面