模塊綜合評價(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．點M的直角坐標是(－1，eq\r(3))，則點M的極坐標為()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)解析：點M的極徑是2，點M在第二象限，故點M的極坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3))).答案：C2．過點P(4，3)，且斜率為eq\f(2,3)的直線的參數方程為()\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋\f(3,\r(13))t，,y＝3＋\f(2,\r(13))t))(t為參數)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\f(3,\r(13))t，,y＝4＋\f(2,\r(13))t))(t為參數)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋\f(2,\r(13))t，,y＝3＋\f(3,\r(13))t))(t為參數)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\f(2,\r(13))t，,y＝4＋\f(3,\r(13))t))(t為參數)解析：因為傾斜角α滿足tanα＝eq\f(2,3)，所以sinα＝eq\f(2,\r(13))，cosα＝eq\f(3,\r(13))，所以所求參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋\f(3,\r(13))t，,y＝3＋\f(2,\r(13))t))(t為參數)．答案：A3．曲線ρcosθ＋1＝0關于直線θ＝eq\f(π,4)對稱的曲線的方程是()A．ρsinθ＋1＝0 B．ρcosθ＋1＝0C．ρsinθ＝2 D．ρcosθ＝2解析：因為M(ρ，θ)關于直線θ＝eq\f(π,4)的對稱點是Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ，\f(π,2)－θ))，從而所求曲線方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋1＝0，即ρsinθ＋1＝0.答案：A4.如圖所示，在柱坐標系中，長方體的兩個頂點坐標為A1(4，0，5)，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(π,2)，5))，則此長方體外接球的體積為()\f(77\r(77)π,3) \f(77\r(77)π,6)\f(77\r(77)π,4) \f(77\r(77)π,12)解析：A1，C1的直角坐標分別為A1(4，0，5)，C1(0，6，5)，所以OA＝6，OC＝4，OO1＝5，所以長方體外接球的半徑R＝eq\f(1,2)eq\r(42＋62＋52)＝eq\f(1,2)eq\r(77).所以外接球體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\r(77)))eq\s\up12(3)＝eq\f(77\r(77),6)π.答案：B5．化極坐標方程ρ2cosθ－ρ＝0為直角坐標方程為()A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1解析：ρ(ρcosθ－1)＝0，ρ＝eq\r(x2＋y2)＝0或ρcosθ＝x＝1.答案：C6．極坐標方程分別是ρ＝2cosθ和ρ＝4sinθ的兩個圓的圓心距是()A．2\r(2)C．5\r(5)解析：ρ＝2cosθ是圓心為(1，0)，半徑為1的圓；ρ＝4sinθ是圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2))，半徑為2的圓，所以兩圓的圓心距是eq\r(5).答案：D7．下列點是曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝cosθ＋sinθ))(θ為參數)上的點的是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\r(3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\r(3)))解析：曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝cosθ＋sinθ))(θ為參數)的普通方程為y2＝1＋x，驗證各選項，知選B.答案：B8．已知在極坐標系中，點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3,4)π))，O(0，0)，則△ABO為()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰銳角三角形 D．等腰直角三角形解析：因為∠AOB＝eq\f(π,4)，|OA|＝eq\r(2)|OB|，所以△ABO為等腰直角三角形．答案：D9．極坐標方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tanθ，,y＝\f(2,cosθ)))(θ為參數)所表示的圖形分別是()A．直線、射線和圓 B．圓、射線和雙曲線C．兩直線和橢圓 D．圓和拋物線解析：因為(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圓，θ＝π(ρ≥0)表示一條射線，參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tanθ，,y＝\f(2,cosθ)))(θ為參數)化為普通方程為eq\f(y2,4)－x2＝1，表示雙曲線．答案：B10．已知直線l的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝at，,y＝a2t－1))(t為參數)，橢圓C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數)，且它們總有公共點．則a的取值范圍是()\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))∪(0，＋∞)B．(1，＋∞)\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，4))解析：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(at＝1＋cosθ，,a2t－1＝2sinθ，))則4(at－1)2＋(a2t－1)2＝4，即a2(a2＋4)t2－2a(a＋4)t＋1＝0Δ＝4a2(a＋4)2－4a2(a2＋4)＝16a2直線l與橢圓總有公共點的充要條件是Δ≥0，即a≥－eq\f(3,2).答案：C11．已知圓錐曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ是參數)和定點A(0，eq\r(3))，F1、F2是圓錐曲線的左、右焦點，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則直線AF2的極坐標方程為()A．ρcosθ＋eq\r(3)ρsinθ＝eq\r(3)B．ρcosθ－eq\r(3)ρsinθ＝eq\r(3)\r(3)ρcosθ＋ρsinθ＝eq\r(3)\r(3)ρcosθ－ρsinθ＝eq\r(3)解析：圓錐曲線為橢圓，c＝1，故F2的坐標為(1，0)，直線AF2的直角坐標方程是x＋eq\f(y,\r(3))＝1，即eq\r(3)x＋y＝eq\r(3)，化為極坐標方程就是eq\r(3)ρcosθ＋ρsinθ＝eq\r(3).答案：C12．點P(x，y)是曲線3x2＋4y2－6x－8y－5＝0上的點，則z＝x＋2y的最大值和最小值分別是()A．7，－1B．5，1C．7，1D．4，－1解析：將原方程配方得eq\f(（x－1）2,4)＋eq\f(（y－1）2,3)＝1，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosθ，,y＝1＋\r(3)sinθ))(θ為參數)，則x＋2y＝3＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，所以當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1時，(x＋2y)max＝7，當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝－1時，(x＋2y)min＝－1.答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．在極坐標系中，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))關于直線ρcosθ＝1的對稱點的極坐標為________．解析：結合圖形不難知道點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))關于直線ρcosθ＝1的對稱點的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))14．已知圓的漸開線的參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ＋3φsinφ，,y＝3sinφ－3φcosφ))(φ為參數)，當φ＝eq\f(π,4)時，對應的曲線上的點的坐標為________．解析：當φ＝eq\f(π,4)時，代入漸開線的參數方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cos\f(π,4)＋3·\f(π,4)·sin\f(π,4)，,y＝3sin\f(π,4)－3·\f(π,4)·cos\f(π,4)，))x＝eq\f(3\r(2),2)＋eq\f(3\r(2)π,8)，y＝eq\f(3\r(2),2)－eq\f(3\r(2)π,8)，所以當φ＝eq\f(π,4)時，對應的曲線上的點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2)π,8)，\f(3\r(2),2)－\f(3\r(2)π,8))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2)π,8)，\f(3\r(2),2)－\f(3\r(2)π,8)))15．極坐標系中，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,6)))到直線l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1的距離是________．解析：點P的直角坐標是(eq\r(3)，－1)，直線l的直角坐標方程是x－eq\r(3)y＋2＝0，故點P到直線l的距離為eq\f(|\r(3)＋\r(3)＋2|,2)＝eq\r(3)＋1.答案：eq\r(3)＋116．在直角坐標系Oxy中，橢圓C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ為參數，a>b>0)．在極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，若直線l與x軸、y軸的交點分別是橢圓C的右焦點、短軸端點，則a＝________.解析：橢圓C的普通方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直線l的直角坐標方程為x－eq\r(3)y－eq\r(3)＝0，令x＝0，則y＝－1，令y＝0，則x＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，b＝1，所以a2＝3＋1＝4，所以a＝2.答案：2三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知曲線C1的極坐標方程為ρ＝6cosθ，曲線C2的極坐標方程為θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，曲線C1，C2相交于A，B兩點．(1)把曲線C1，C2的極坐標方程轉化為直角坐標方程；(2)求弦AB的長度．解：(1)曲線C1：ρ＝6cosθ即ρ2＝6ρcosθ，所以x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.曲線C2：θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)表示直線，其直角坐標方程為y＝x.(2)因為圓心(3，0)到直線的距離d＝eq\f(3\r(2),2)，r＝3，所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝3eq\r(2).18．(本小題滿分12分)在極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝1＋cos2α))(α為參數)，求直線l與曲線C的交點P的直角坐標．解：因為直線l的極坐標方程為θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)，所以直線l的直角坐標方程為y＝eq\r(3)x，①因為曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝1＋cos2α))(α為參數)，所以曲線C的普通方程為y＝eq\f(1,2)x2(x∈[－2，2])，②聯立①②可解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)，,y＝6，))根據x的取值范圍應舍去eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)，,y＝6，))故P點的直角坐標為(0，0)．19．(本小題滿分12分)已知曲線C的極坐標方程是ρ＝2cosθ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)t＋m，,y＝\f(1,2)t))(t為參數)．(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；(2)當m＝2時，直線l與曲線C交于A、B兩點，求|AB|的值．解：(1)由ρ＝2cosθ，得：ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，所以曲線C的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)t＋m，,y＝\f(1,2)t))得x＝eq\r(3)y＋m，即x－eq\r(3)y－m＝0，所以直線l的普通方程為x－eq\r(3)y－m＝0.(2)設圓心到直線l的距離為d，由(1)可知直線l：x－eq\r(3)y－2＝0，曲線C：(x－1)2＋y2＝1，圓C的圓心坐標為(1，0)，半徑1，則圓心到直線l的距離為d＝eq\f(|1－\r(3)×0－2|,\r(1＋（\r(3)）2))＝eq\f(1,2).所以|AB|＝2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3).因此|AB|的值為eq\r(3).20．(本小題滿分12分)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－t，,y＝\r(3)t))(t為參數)，P、Q分別為直線l與x軸、y軸的交點，線段PQ的中點為M.(1)求直線l的普通方程；(2)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求點M的極坐標和直線OM的極坐標方程．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－t，,y＝\r(3)t))(t為參數)，消參得eq\r(3)x＋y－2eq\r(3)＝0，所以直線l的普通方程為eq\r(3)x＋y－2eq\r(3)＝0.(2)當y＝0時，x＝2，所以點P的直角坐標為(2，0)．當x＝0時，y＝2eq\r(3)，所以點Q的直角坐標為(0，2eq\r(3))．所以線段PQ的中點M的直角坐標為(1，eq\r(3))．因為eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，且點M在第一象限，所以點M的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，所以直線OM的極坐標方程為θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)．21．(本小題滿分12分)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，直線l的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝－1＋2\r(2)t))(t為參數)，直線l與圓C交于A，B兩點，P是圓C上不同于A，B的任意一點．(1)求圓心的極坐標；(2)求△PAB面積的最大值．解：(1)圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.所以圓心坐標為(1，－1)，圓心極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(7π,4))).(2)直線l的普通方程為2eq\r(2)x－y－1＝0，圓心到直線l的距離d＝eq\f(|2\r(2)＋1－1|,3)＝eq\f(2\r(2),3)，所以|AB|＝2eq\