3.兩條平行直線間的距離【課時目標】1．會應用點到直線的距離公式求點到直線的距離．2．掌握兩條平行直線間的距離公式并會應用．3．能綜合應用平行與垂直的關系解決有關距離問題．點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間____________的長圖示公式(或求法)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝________________兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝__________________一、選擇題1．點(2,3)到直線y＝1的距離為()A．1B．－1C．02．原點到直線3x＋4y－26＝0的距離是()A．eq\f(26\r(7),7)B．eq\f(26,5)C．eq\f(24,5)D．eq\f(27,5)3．點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，O是原點，則|OP|的最小值是()A．eq\r(10)B．2eq\r(2)C．eq\r(6)D．24．P、Q分別為3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋6＝0上任一點，則|PQ|的最小值為()A．eq\f(9,5)B．eq\f(18,5)C．3D．65．過點P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距離相等的直線的方程是()A．y＝1B．2x＋y－1＝0C．y＝1或2x＋y－1＝0D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝06．兩平行直線l1，l2分別過點P(－1,3)，Q(2，－1)，它們分別繞P、Q旋轉，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是()A．(0，＋∞)B．[0,5]C．(0,5]D．[0，eq\r(17)]二、填空題7．過點A(2,1)的所有直線中，距離原點最遠的直線方程為______________．8．若直線3x＋4y＋12＝0和6x＋8y－11＝0間的距離為一圓的直徑，則此圓的面積為________．9．已知直線3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是________．三、解答題10．已知直線l經過點P(－2,5)，且斜率為－eq\f(3,4)．(1)求直線l的方程；(2)若直線m與l平行，且點P到直線m的距離為3，求直線m的方程．11．△ABC的三個頂點是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2,3)．(1)求BC邊的高所在直線方程；(2)求△ABC的面積S．能力提升12．如圖，已知直線l1：x＋y－1＝0，現將直線l1向上平移到直線l2的位置，若l2、l1和坐標軸圍成的梯形面積為4，求l2的方程．13．已知正方形的中心為直線2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交點，正方形一邊所在的直線方程為x＋3y－5＝0，求正方形其他三邊的方程．1．在使用點到直線的距離公式時，應注意以下兩點：(1)若方程不是一般式，需先化為一般式．(2)當點P在直線上時，公式仍成立，點P到直線的距離為0．2．在使用兩平行線間的距離公式時，要先把直線方程化為一般式，且兩直線方程中x，y的系數要化為分別相等的數．3．注意數形結合思想的運用，將抽象的代數問題幾何化，要能見“數”想“形”，以“形”助“數”．3．3．3點到直線的距離3．3．4兩條平行直線間的距離答案知識梳理公垂線段eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))作業設計1．D[畫圖可得；也可用點到直線的距離公式．]2．B3．B[|OP|最小值即為O到直線x＋y－4＝0的距離，∴d＝eq\f(|－4|,\r(2))＝2eq\r(2)．]4．C[|PQ|的最小值即為兩平行線間的距離，d＝eq\f(|3＋12|,5)＝3．]5．C[①所求直線平行于AB，∵kAB＝－2，∴其方程為y＝－2x＋1，即2x＋y－1＝0．②所求直線過線段AB的中點M(4,1)，∴所求直線方程為y＝1．]6．C[當這兩條直線l1，l2與直線PQ垂直時，d達到最大值，此時d＝eq\r(2＋12＋－1－32)＝5．∴0<d≤5．]7．2x＋y－5＝0解析如圖所示，只有當直線l與OA垂直時，原點到l的距離最大，此時kOA＝eq\f(1,2)，∴kl＝－2，∴方程為y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0．8．eq\f(49,16)π9．eq\f(7\r(13),26)解析直線3x＋2y－3＝0變為6x＋4y－6＝0，∴m＝4．由兩條平行線間的距離公式得d＝eq\f(|－6－1|,\r(62＋42))＝eq\f(7\r(13),26)．10．解(1)由點斜式方程得，y－5＝－eq\f(3,4)(x＋2)，∴3x＋4y－14＝0．(2)設m的方程為3x＋4y＋c＝0，則由平行線間的距離公式得，eq\f(|c＋14|,5)＝3，c＝1或－29．∴3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0．11．解(1)設BC邊的高所在直線為l，由題知kBC＝eq\f(3－－1,2－－2)＝1，則kl＝eq\f(－1,kBC)＝－1，又點A(－1,4)在直線l上，所以直線l的方程為y－4＝－1×(x＋1)，即x＋y－3＝0．(2)BC所在直線方程為：y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，點A(－1,4)到BC的距離d＝eq\f(|－1－4＋1|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2)，又|BC|＝eq\r(－2－22＋－1－32)＝4eq\r(2)則S△ABC＝eq\f(1,2)·|BC|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2eq\r(2)＝8．12．解設l2的方程為y＝－x＋b(b>1)，則圖中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．∴|AD|＝eq\r(2)，|BC|＝eq\r(2)b．梯形的高h就是A點到直線l2的距離，故h＝eq\f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq\f(|b－1|,\r(2))＝eq\f(b－1,\r(2))(b>1)，由梯形面積公式得eq\f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq\f(b－1,\r(2))＝4，∴b2＝9，b＝±3．但b>1，∴b＝3．從而得到直線l2的方程是x＋y－3＝0．13．解設與直線l：x＋3y－5＝0平行的邊的直線方程為l1：x＋3y＋c＝0．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0,x＋y＋1＝0))得正方形的中心坐標P(－1,0)，由點P到兩直線l，l1的距離相等，則eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq\f(|－1＋c|,\r(12＋32))，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0．又∵正方形另兩邊所在直線與l垂直，∴設另兩邊方程為3x－y＋a＝