第一節一維晶格的振動3.1.1一維單原子鏈的振動3.1.2一維雙原子鏈(復式格子)的振動本節主要內容:3.1一維晶格的振動3.1.1一維單原子鏈的振動1.振動方程及其解(1)模型：一維無限長的單原子鏈，原子間距(晶格常量)為a，原子質量為m。第n個原子第n-2個原子第n-1個原子第n+1個原子第n+2個原子a

Xn-2Xn-1

XnXn+1

Xn+2用xn和xk分別表示序號為n和k的原子在t時刻偏離平衡位置的位移，用xnk=xn-xk表示在t時刻第n個和第k個原子的相對位移。第n個原子第n-2個原子第n-1個原子第n+1個原子第n+2個原子a

Xn-2Xn-1

XnXn+1

Xn+2(2)振動方程和解平衡時，第k個原子與第n個原子相距

為兩個原子間的互作用勢能，平衡時為，振動很微弱時，勢能展開式中忽略掉（r）二次方以上的高次項，只保留到(r)2項---簡諧近似。(忽略掉作用力中非線性項的近似---簡諧近似。)得:彈性恢復力系數原子的振動方程:只考慮最近鄰原子間的相互作用，且恢復力系數相等：給出試探解：原子都以同一頻率，同一振幅A振動,相鄰原子間的位相差為aq。晶格中各個原子間的振動相互間都存在著固定的位相關系,即原子的振動形成了波，這種波稱為格波。色散關系(晶格振動譜)將試探解代入振動方程得振動頻率:推導略給出試探解:且故取簡約布里淵區且3.玻恩---卡門周期性邊界條件及波矢q的取值

(1)玻恩---卡門周期性邊界條件設在實際晶體外，仍然有無限多個完全相同的晶體相連接，各晶體中相對應的原子的運動情況都一樣。晶體中任一個原子，當其原胞標數增加N（N為晶體中原胞的個數）后，其振動情況復原。由N個原胞組成的單原子鏈，由玻恩---卡門周期性邊界條件:對于一維布拉維晶格(原胞標數與原子標數相同):整數(2)波矢q的取值由連續介質波的傳播速度：在長波近似的情況下，晶體可視為連續介質，格波可視為彈性波。例1.求由5個原子組成的一維單原子晶格的振動頻率。設原子質量為m，恢復力常數為(只考慮近鄰原子間的相互作用)。由玻恩---卡門周期性邊界條件:解:設最近鄰原子間的恢復力系數為，則:將試探解代入振動方程得色散關系:S為整數3.1.2一維雙原子鏈(復式格)的振動1.運動方程和解(1)模型:一維無限長原子鏈，原子質量為m和M，且m<M。相鄰原子間距均為a，恢復力系數為。(晶格常量為2a)2n2n-12n+12n+22n-2mM質量為M的原子編號為2n-2、2n、2n+2、···質量為m的原子編號為2n-1、2n+1、2n+3、···x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考慮最近鄰原子的相互作用，則有：(2)方程和解其他原子位移可按下列原則得出:(1)同種原子周圍情況都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。(2)相隔一個晶格常數2a的同種原子，相位差為2aq。若A，B不全為零，必須其系數行列式為零，即:推導略0(+)-----光學支格波，A(-)-----聲學支格波

(1)色散曲線折合質量晶格振動波矢的數目=晶體的原胞個數晶格振動頻率(振動模式)的數目=晶體中原子的自由度數3.聲學波和光學波在長波近似的情況下，聲學支格波與彈性波的情況類似。(1)當波矢q0時,推導略長光學波，原胞的質心保持不動。所以定性地說，長光學波代表原胞中兩個原子的相對振動。

光學支格波，相鄰原子振動方向是相反的。

聲學支格波，相鄰原子振動方向是相同的。

可以證明，q=/2a時，在聲學支格波上，質量為m的輕原子保持不動；在光學支格波上，質量為M的重原子保持不動。

例2:一維無限長原子鏈，原子質量為m和M，且m<M

。靠得較近的兩個原子構成一個分子。設一個分子內兩原子平衡位置的距離為b，恢復力系數為1，分子間兩原子間的恢復力系數為2，晶格常量為a(如圖所示)，求色散關系。a2n-22n2n+12n+22n-1Mmb12解: