導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用1.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題的方法.(重點(diǎn))2.提高學(xué)生綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解題的能力，培養(yǎng)化歸轉(zhuǎn)化的思想意識(shí).(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用閱讀教材P93～P96練習(xí)以上部分，完成下列問(wèn)題.1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如用料最省、利潤(rùn)最大、效率最高等問(wèn)題一般可以歸結(jié)為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而可用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決.2.用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活問(wèn)題的基本思路1.判斷正誤：(1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以解決所有實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題.()(2)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先應(yīng)建立函數(shù)模型，寫出函數(shù)關(guān)系式.()(3)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題需明確實(shí)際背景.()【解析】(1)×.如果實(shí)際問(wèn)題中所涉及的函數(shù)不可導(dǎo)、就不能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解.(2)√.求解實(shí)際問(wèn)題一般要建立函數(shù)模型，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.(3)√.要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義確定自變量的取值.【答案】(1)×(2)√(3)√2.生產(chǎn)某種商品x單位的利潤(rùn)L(x)＝500＋x－，生產(chǎn)________單位這種商品時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是________.【解析】L′(x)＝1－，令L′(x)＝0，得x＝500，∴當(dāng)x＝500時(shí)，最大利潤(rùn)為750.【答案】500750[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問(wèn)2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問(wèn)3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]面積容積的最值問(wèn)題有一塊半橢圓形鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上.設(shè)CD＝2x，梯形的面積為S.(1)求面積S關(guān)于x的函數(shù)，并寫出其定義域；(2)求面積S的最大值.【精彩點(diǎn)撥】(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，按照橢圓方程和對(duì)稱性求面積S關(guān)于x的函數(shù)式；(2)根據(jù)S的函數(shù)的等價(jià)函數(shù)求最大值.【自主解答】(1)依題意，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖所示，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y).∵點(diǎn)C在橢圓上，∴點(diǎn)C滿足方程eq\f(x2,r2)＋eq\f(y2,4r2)＝1(y≥0)，則y＝2eq\r(r2－x2)(0<x<r)，∴S＝eq\f(1,2)(2x＋2r)·2eq\r(r2－x2)＝2(x＋r)eq\r(r2－x2)(0<x<r).(2)記S＝4(x＋r)2(r2－x2)(0＜x＜r)則S′＝8(x＋r)2(r－2x)令S′＝0，解得x＝eq\f(1,2)r或x＝－r(舍去).當(dāng)x變化時(shí)，S′，S的變化情況如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(r,2)))eq\f(r,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)，r))S′＋0－Seq\f(3\r(3)r2,2)∴x＝eq\f(1,2)r時(shí)，S取得最大值eq\f(3\r(3)r2,2)，即梯形面積S的最大值為eq\f(3\r(3)r2,2).1.求面積、體積的最大值問(wèn)題是生活、生產(chǎn)中的常見(jiàn)問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)確定出自變量及其取值范圍，利用幾何性質(zhì)寫出面積或體積關(guān)于自變量的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)求解.2.選擇建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)建立函數(shù)關(guān)系或曲線方程，以利于解決問(wèn)題.[再練一題]1.用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制容器的底面的一邊長(zhǎng)比另一邊長(zhǎng)長(zhǎng)0.5m，那么高為多少時(shí)，容器的容積最大？并求它的最大容積.【解】設(shè)容器底面一邊長(zhǎng)為xm，則另一邊長(zhǎng)為(x＋m，高為eq\f－4x－4x＋,4)＝－2x)m由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1－2x＞0，,x＞0，))解得0＜x＜.設(shè)容器的容積為ym3，則y＝x(x＋－2x)＝－2x3＋＋，所以y′＝－6x2＋＋.令y′＝0，則15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－eq\f(4,15)(舍去).在定義域(0,內(nèi)只有x＝1處使y′＝0，x＝1是函數(shù)y＝－2x3＋＋在(0,內(nèi)的唯一的極大值點(diǎn)，也就是最大值點(diǎn).因此，當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最大值，ymax＝－2＋＋＝，這時(shí)高為－2×1＝(m).故高為m時(shí)，容器的容積最大，最大容積為m3.用料最省、節(jié)能減耗問(wèn)題如圖3-4-1所示，有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海岸的同側(cè)，乙廠位于離海岸40km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50km.兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠鋪設(shè)的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，則供水站圖3-4-1【精彩點(diǎn)撥】先列出自變量，通過(guò)三角知識(shí)列出水管費(fèi)用的函數(shù)，然后求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求出最小值.【自主解答】設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)xkm，則BD＝40km，AC＝(50－x)km，∴BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(402＋x2)(km).又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意，得y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0≤x≤50)，則y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402))，令y′＝0，解得x＝30.當(dāng)x∈[0,30)時(shí)，y′＜0，當(dāng)x∈(30,50]時(shí)，y′＞0,∴當(dāng)x＝30時(shí)函數(shù)取得最小值，此時(shí)AC＝50－x＝20(km)，即供水站建在A，D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省.1.像本例節(jié)能減耗問(wèn)題，背景新穎，信息較多，應(yīng)準(zhǔn)確把握信息，正確理清關(guān)系，才能恰當(dāng)建立函數(shù)模型.2.實(shí)際生活中用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、最節(jié)省時(shí)間等都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值，此時(shí)根據(jù)f′(x)＝0求出極值點(diǎn)(注意根據(jù)實(shí)際意義舍棄不合適的極值點(diǎn))后，函數(shù)滿足左減右增，此時(shí)惟一的極小值就是所求函數(shù)的最小值.[再練一題]2.某工廠需要建一個(gè)面積為512m2【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830090】【解析】如圖所示，設(shè)場(chǎng)地一邊長(zhǎng)為xm，則另一邊長(zhǎng)為eq\f(512,x)m，因此新墻總長(zhǎng)度L＝2x＋eq\f(512,x)(x＞0)，L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝2－eq\f(512,x2)＝0，得x＝16或x＝－16.∵x＞0，∵x＝16.∵L在(0，＋∞)上只有一個(gè)極值點(diǎn)，∴它必是最小值點(diǎn).∵x＝16，∴eq\f(512,x)＝32.故當(dāng)堆料場(chǎng)的寬為16m，長(zhǎng)為32m時(shí)，可使砌墻所用的材料最省.【答案】16m32m[探究共研型]利潤(rùn)最大問(wèn)題探究1在有關(guān)利潤(rùn)最大問(wèn)題中，經(jīng)常涉及“成本、單價(jià)、銷售量”等詞語(yǔ)，你能解釋它們的含義嗎？【提示】成本是指企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)所耗費(fèi)的貨幣計(jì)量，一般包括固定成本(如建設(shè)廠房、購(gòu)買機(jī)器等一次性投入)和可變成本(如生產(chǎn)過(guò)程中購(gòu)買原料、燃料和工人工資等費(fèi)用)，單價(jià)是指單位商品的價(jià)格，銷售量是指所銷售商品的數(shù)量.探究2什么是銷售額(銷售收入)？什么是利潤(rùn)？【提示】銷售額＝單價(jià)×銷售量，利潤(rùn)＝銷售額－成本.探究3根據(jù)我們以前所掌握的解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的思路，你認(rèn)為解決利潤(rùn)最大問(wèn)題的基本思路是什么？【提示】在解決利潤(rùn)最大問(wèn)題時(shí)，其基本思路如圖所示.圖某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a為常數(shù).已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售商品所獲得的利潤(rùn)最大.【精彩點(diǎn)撥】利用待定系數(shù)法先求得參數(shù)a的值，由題意列出利潤(rùn)關(guān)于價(jià)格的函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在(3,6)上的最大值問(wèn)題.【自主解答】(1)因?yàn)閤＝5時(shí)，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，解得a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.從而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)極大值由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.解決最優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟：(1)根據(jù)各個(gè)量之間的關(guān)系列出數(shù)學(xué)模型；(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，確定函數(shù)極值；(3)比較區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值和極值之間的大小，得到最優(yōu)解.[再練一題]3.某食品廠進(jìn)行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本為20元，并且每公斤蘑菇的加工費(fèi)為t元(t為常數(shù)，且2≤t≤5)，設(shè)該食品廠每公斤蘑菇的出廠價(jià)為x元(25≤x≤40)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷售量q與ex成反比，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價(jià)為30元時(shí)，日銷售量為100公斤.(1)求該工廠的每日利潤(rùn)y元與每公斤蘑菇的出廠價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；(2)若t＝5，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價(jià)為多少元時(shí)，該工廠的每日利潤(rùn)最大？并求最大值.【解】(1)設(shè)日銷量q＝eq\f(k,ex)，則eq\f(k,e30)＝100，∴k＝100e30，∴日銷量q＝eq\f(100e30,ex)，∴y＝eq\f(100e30x－20－t,ex)(25≤x≤40).(2)當(dāng)t＝5時(shí)，y＝eq\f(100e30x－25,ex)，∴y′＝eq\f(100e3026－x,ex).由y′＞0，得25≤x＜26，由y′＜0，得26＜x≤40，∴y在[25,26)上單調(diào)遞增，在(26,40]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝26時(shí)，ymax＝100e4.故當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價(jià)為26元時(shí)，該工廠的每日利潤(rùn)最大，最大值為100e4元.[構(gòu)建·體系]1.一個(gè)圓錐形漏斗的母線長(zhǎng)為20，高為h，則體積V的表達(dá)式為________.【解析】設(shè)圓錐的高為h，則圓錐的底面半徑為r＝eq\r(400－h(huán)2)，則V＝eq\f(1,3)π(400－h(huán)2)h.【答案】eq\f(1,3)π(400－h(huán)2)h2.某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬(wàn)元)是產(chǎn)品x(千臺(tái))的函數(shù)，y1＝17x2；生產(chǎn)總成本y2(萬(wàn)元)也是x的函數(shù)，y2＝2x3－x2(x＞0)，為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)________千臺(tái).【解析】構(gòu)造利潤(rùn)函數(shù)y＝y(tǒng)1－y2＝18x2－2x3(x＞0)，y′＝36x－6x2，由y′＝0是x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函數(shù)y在(0，＋∞)上唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).即生產(chǎn)6千臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大.【答案】63.某箱子的容積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0＜x＜60)，則當(dāng)箱子的容積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830091】【解析】V′(x)＝2x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))＋x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)x2＋60x＝－eq\f(3,2)x(x－40).令V′(x)＝0，得x＝40或x＝0(舍).不難確定x＝40時(shí)，V(x)有最大值.即當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為40時(shí)，箱子容積最大.【答案】404.做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若要使其容積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為________.【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，則V＝πR2L＝27π，∴L＝eq\f(27,R2).要使用料最省，只需使圓柱形表面積最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·eq\f(27,R)，∴S′表＝2πR－eq\f(54π,R2).令S′＝0，解得R＝3.∵R∈(0,3)時(shí)，S表單調(diào)遞減，R∈(3，＋∞)時(shí)，S表單調(diào)遞增，∴當(dāng)R＝3時(shí)，S表最小.【答案】35.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本c(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3(萬(wàn)元)，已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬(wàn)元，則產(chǎn)量定為