2023屆高三數學周測試題(二)2023.9.30考試時間：100分鐘班級姓名一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請注意答題的準確度.1．若eq\f(a＋i,1－i)(i是虛數單位)是實數，則實數a的值是．【解析】因為是實數，所以a＋1＝0，所以a＝－1．2．已知集合A＝{x∣y＝lg(x＋1)}，B＝{x∣x≥2}，則A∪B＝．【解析】因為A＝{x∣x＞－1}，B＝{x∣x≥2}，則A∪B＝{x∣x＞－1}．開始k←1S←0S＜20k←k＋2S←S＋開始k←1S←0S＜20k←k＋2S←S＋kYN輸出k結束(第5題圖)恰好乘坐在同一輛車”的概率為．【解析】因為4名學生平均分配共有(AB，CD)，(AC，BD)，(AD，BC)共三種情況，“A，B兩人恰好乘坐在同一輛車”只有(AB，CD)一種情況，故其概率為．4．已知一組數據：9.7，9.9，x，10.2，10.1，若這組數據的均值為10，則這組數據的方差為．【解析】由這組數據的均值為10，可得x＝10.1，所以方差為：．5．右圖是一個算法的流程圖，最后輸出的k＝．S1491625k357911S＜20是是是是否，輸出k＝11【解析】6．在△ABC中，已知A＝45o，C＝105o，BC＝，則AC＝.【解析】因為A＝45o，C＝105o，所以B＝30o，由，解得AC＝1．7．若Sn為等差數列{an}的前n項和，S9＝－36，S13＝－104，則a5與a7的等比中項為．【解析】由S9＝－36，S13＝－104，可解得a1＝4，d＝－2，所以a5＝－4，a7＝－8.設a5與a7的等比中項為x，則x2＝a5a7＝32，所以x＝±4.8．若正四棱錐的底面邊長為，體積為8，則其側面積為.【解析】因為V＝＝8，所以h＝3，所以斜高.所以其側面積為.9．已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x，則不等式f(x)＜－1的解集是．【解析】因為當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x，且f(x)是定義在R上的奇函數，所以當x∈(－∞，0)時，－x∈(0，＋∞)，則f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)．又因為f(x)＜－1，顯然f(0)＝0不成立，故，所以解集為．10.設P是函數圖象上異于原點的動點，且該圖象在點P處的切線的傾斜角為θ，則θ的取值范圍是．【解析】因為．所以，又θ∈[0，π)，所以θ∈．11．設為銳角，若，則的值為．【解析】因為為銳角，所以，所以．所以．12．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，焦距為2c，若橢圓E與直線y＝eq\r(3)(x＋c)的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則橢圓的離心率為．【解析】因為直線y＝eq\r(3)(x＋c)的斜率為eq\r(3)，所以傾斜角∠MF1F2＝60o，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝30o，所以∠F1MF2＝90o．因為F1F2＝2c，所以MF1＝c，MF2＝eq\r(3)c，又MF1＋MF2＝2a，所以c＋eq\r(3)c＝2a，即，所以離心率．13．在邊長為1的正△ABC中，已知，，x＞0，y＞0，且x＋y＝1，則的最大值為．Ay【解析】如圖建系，則，AyED因為x＋y＝1，所以y＝1－x，則，0＜x＜1．EDOCBx所以，OCBx所以．所以當時，的最大值為．14.已知f(x)＝x3－2x2＋x＋a，g(x)＝－2x＋.若對任意的x1∈[－1，2]，存在x2∈[2，4]，使得f(x1)＝g(x2)，則實數a的取值范圍是．【解析】先求得f(x)＝x3－2x2＋x＋a在x∈[－1，2]上的值域為[a－4，a＋2]，再求得g(x)＝－2x＋在x∈[2，4]上的值域為．由已知，可得[a－4，a＋2]，所以．二、解答題：本大題共4小題，共計58分.請注意：答題要規范，步驟要完整.15.(本小題滿分14分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．(1)求A的大小；(2)若，求△ABC的面積．【解析】（1）法一：在△ABC中，由正弦定理，及，得，…………………3分即，因為A∈(0，π)，所以，所以，…………6分所以.……………………8分法二：在△ABC中，由余弦定理，及，得，…………3分所以，所以，………………6分因為A∈(0，π)，所以.…………………8分（2）由，得，………………11分所以△ABC的面積為.………………14分16.(本小題滿分14分)如圖，四棱錐PABCD中，為菱形ABCD對角線的交點，M為棱PD的中點，MA＝MC.(1)求證：PB平面AMC；APAPDBCOMO（第16題）(2)求證：平面PBD平面AMC．【解析】（1）連結，因為為菱形ABCD對角線的交點，所以為BD的中點，又M為棱PD的中點，所以，……4分又平面AMC，平面AMC，所以PB平面AMC；……6分（2）在菱形ABCD中，ACBD，且為AC的中點，又MAMC，故ACOM，……8分而OMBD，OM，BD平面PBD，所以AC平面PBD，……11分又AC平面AMC，所以平面PBD平面AMC.……14分17.(本小題滿分14分)煙囪向其周圍地區散落煙塵而污染環境．已知落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離成反比，現有兩座煙囪相距10km，其中甲煙囪噴出的煙塵濃度是乙煙囪的2倍，在距甲煙囪1km處的煙塵濃度為2個單位/m3，現要在甲、乙兩煙囪之間建立一所學校.問學校建在何處，煙塵對學校的影響最小？【解析】設學校建立在距離甲煙囪xkm處，則該處甲、乙兩煙囪的煙塵濃度分別為：，，…3分由已知，可得：當x=1時，.…5分所以在學校的煙塵濃度為.……………7分所以.當且僅當，即時，取=.……………13分故學校應建在距離甲煙囪()處，煙塵對學校的影響最小.………14分18.(本小題滿分16分)已知函數．(1)求函數的最小值；(2)若，使得成立，求實數的最大值；(3)令是函數圖象上任意兩點，且滿足求實數的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，令，得．………1分因為當時，；當時，，所以在(0，1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增．…2分所以當x﹦1時，的最小值為1．…3分（2），.，，使得成立．令，則，………6分令，則由可得或（舍）當時，則在上單調遞減；當時，則在上單調遞增.，在上恒成立.在上單調遞增.，即.………9分實數的最大值為.………10分（3）,對于任意的，